新时代大学数学系列教材线性代数首高等教育出服社
新时代大学数学系列教材 线性代数
第三章n维向量空间C=第三节向量组的秩与极大无关组数二（和十）六2业
第三节 向量组的秩与极大无关组 第三章 n维向量空间
线性代数第三节向重组的秩与极大无关组目录向量组的铁与极大无关组Rn的基、维数与生标高事教商出成社新时代大学数学东列教材
一 二 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 新时代大学数学系列教材 向量组的秩与极大无关组 Rn 的基、维数与坐标
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数一、向量组的秩与极大无关组的概念例1□,= (1, 0, 1), 2 =(1, -1, 1), □ 3= (2, 0, 2)123线性相(因为0-10=0)关2口1，口，线性无关；□2，口3线性无关极大无关组首高事教有出服社新时代大学数学系利教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 一、向量组的秩与极大无关组的概念 例1 1 = (1, 0, 1), 2 =(1, -1, 1), 3 = (2, 0, 2) . 1 , 2 , 3 线性相 关. 1 , 2 线性无关； 2 , 3 线性无关. 极大无关组
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数定义设向量组T满足1在T中有r个向量，，…,，线性无关；20T中任意r+1个向量都线性相关；则称，2…，，是向量组T的一个极大无关组，数r为向量组T的秩极大无关组一般不惟一，秩是惟一的若向量组线性无关，则其极大无关组就是它本身，秩=向量个数意事教出新时代大学数学东利教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 定义 设向量组T满足 1 o 在T中有r 个向量 1 , 2 , ., r 线性无关； 2 o T中任意r + 1个向量都线性相关； 则称 1 , 2 , ., r 是向量组T的一个极大无关组，数 r 为向量组T的 秩. 极大无关组一般不惟一，秩是惟一的. 若向量组线性无关，则其极大无关组就是它本身，秩 = 向量个数
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数向量组线性无关（相关）向量组的秩=（向量组所含向量个数例2R"的秩为n.且任意n个线性无关的n维向量均为R"的一个极大无关组矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；矩阵A的行秩：A的行向量组的秩首意教有古成社1新时代大学数学集列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 向量组线性无关(相关) 向量组的秩 = (<)向量组所含向量个数. 例2 Rn 的秩为 n, 且任意 n 个线性无关的 n 维向量 均为Rn 的一个极大无关组. 矩阵A的列秩：A的列向量组的秩； 矩阵A的行秩：A的行向量组的秩
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数定理1若A，%初等变换?B.则A的任意k个(1≤k≤n）个列向量与B的对应k个列向量有相同的线性相关性证每初等变势?BA任取A的k个列向量所得AX=0与BX=0同时有非零解或只有零解A,的列向量与B的列向量有相同的线性相关性意事教出新时代大学教学集列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 则A的任意 k个( 1≤ k ≤ n)个列向量与 B 的对应 k 个列向量有相同的线性相关性. 定理1 若 证 任取A的k个列向量所得 Ak X = 0 与 Bk X = 0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数定理2矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩证设R(A)=r,A%衍初等变势?B(行阶梯形矩阵）B有r个非零行，B的r个非零行的非零首元素所在的r个列向量为什么线性无关，为B的列向量组的极大无关组为什么？A中与B的这r个列向量相对应的r个列向量也是A的列向量组的极大无关组。故A的列秩等于r。同理，由RA)=R(A)，及A的行向量即AT的列向量，可得A的行秩等于r首高等教有出服社新时代大学数学东列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩. 证 设 R(A) = r, B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在的r 个列向量 线性无关， 为什么？ 为B的列向量组的极大无关组. 为什么？ A中与B的这 r 个列向量相对应的r 个列向量也是A的列向量组 的极大无关组. 故 A 的列秩等于 r . 同理，由R(A) = R(AT), 及A的行向量即 AT 的列向量， 可得A的行秩等于 r
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数定理2的证明一一求向量组的秩和极大无关组的方法例3 求向量组 口,=(1,2,0,3), ,=(2,-1,3,1), □ 3=(4,-7,9,-3)的秩和一个极大无关组，并判断线性相关性。解0ael401aelae6015A=(,, ,,1RB)0-1C0-5 -15g0g3所以，秩（1，2,3)=2<1，2，口线性相关3.口，口，为一个极大无关组高等教出社新时代大学数学东列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 定理2的证明——求向量组的秩和极大无关组的方法. 例3 求向量组 1 = (1, 2, 0, 3), 2 = (2, -1, 3, 1), 3 = (4, -7, 9, -3) 的秩和一个极大无关组，并判断线性相关性. 解 A=( 1 T , 2 T , 3 T) 所以, 秩( 1 , 2 , 3 ) = 2 < 3. 1 , 2 , 3 线性相关. 1 , 2为一个极大无关组
第三节向量组的秩与极大无关组线性代数例4求向量组 □,=(1,2,0,3),2 =(2,-1,3,0)3=(4,-7,9,-3)的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出40ael解A=(, ,,B)0e0-20ael一CO13C所以，BRa,=- 2a, +3a20cOC10000高等教出社新时代大学数学东列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第三节向量组的秩与极大无关组 例4 求向量组 1 = (1, 2, 0, 3), 2 = (2, -1, 3, 0) 3 = (4, -7, 9, -3) 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出. 解 A=( 1 T , 2 T , 3 T)