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新时代大学数学系列教材 线性代数
第六章线性空间与线性变换C=a第二节线性空间的基、维数与坐标数二（和十）六2业
第二节 线性空间的基、维数与坐标 第六章 线性空间与线性变换
线性代数第二节钱性空间的基、维数与坐标基与维数目录生标基变换与生标变换高事教商出版社1新时代大学数学东列教材
一 二 三 线性代数 第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 基与维数 坐标 基变换与坐标变换
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标一.基、维数与坐标推广PR"线性空间基最大无关组秩维数例1.1，……，，为R"的一个基，R"的维数为n任n个线性无关的n维向量都是R"的一个基高教育出社11新时代大学数学东利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数 一.基、维数与坐标 Rn 线性空间 最大无关组 基 秩 维数 例1. 1 , ., n为Rn的一个基，Rn的维数为 n . 任n 个线性无关的n 维向量都是Rn的一个基
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标定义1在线性空间V中，如果存在n个向量（元素）口1，，线性无关，且V中任n+1个向量都线性相关，则称i，…，，为V的一组基，n为V的维数维数为n的线性空间称为n维线性空间易知：（1）口，，.，口，为线性空间V的基的充要条件是：(i）ai,az,La线性无关：（i）V中任一元素a总可由aa,L，a线性表示(2）n维线性空间V中任n个线性无关的向量都是V的一个基高教育出版社11新时代大学数学票利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数 定义1 在线性空间V 中，如果存在n 个向量(元素) 1 , ., n线 性无关，且V 中任n +1个向量都线性相关，则称 1 , ., n为V 的一组基，n 为V 的维数. 维数为 n 的线性空间称为n维线性空间. 易知： (1) 1 , ., n为线性空间V的基的充要条件是： (2) n维线性空间V 中任n 个线性无关的向量都是V 的一个基
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标定义2设1，.…,,为线性空间(V,P,+)的基，□EV，只=a,++annao，…,anEP,称(ao，",an）为在基，..，下的坐标例2.求P，[x|的一个基及其维数，并求f(x）=1+2x-x3在该基下的坐标解由于只有a=a=..=a=0时，才有ao +apx+ ... + an-pr-l= 0所以，1,x,,xn-1线性无关高教育出版社11新时代大学数学系利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数 定义2 设 1 , ., n为线性空间(V, P, +, · )的基， ∈V ， = a1 1 + ··· + an n , a0 , ···, an ∈P,称(a0 , ···, an ) 为 在基 1 , ., n下的坐标. 例2. 求Pn [x]的一个基及其维数, 并求 f (x) = 1 + 2x – x 3 在该基下的坐标. 解 由于只有a0 = a1 = ··· = an-1= 0时，才有 a0 + a1x + ··· + an-1x n-1 = 0 所以，1, x, ···, x n-1 线性无关
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标 P, (x) EP, [xl,p, (x) = ao I + aix + .. + an-rxn-1故，1,x,…,x-1为P,[x]的一组基，维数为nf(x)=1·1+2·x-1·x3所以,f(x)在该基下的坐标为（1,2,0,-1,0，，0)例3所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域R上的一个线性空间.求V的一组基与维数，并求082e2B=一9-130在该基下的坐标首高事教育出服社1新时代大学数学系利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数 pn (x) ∈Pn [x]，pn (x) = a0 1 + a1x + ··· + an-1x n-1 故，1, x, ···, x n-1 为Pn [x]的一组基，维数为n. f (x) = 1·1 + 2 · x –1 · x 3 所以, f (x) 在该基下的坐标为 (1, 2, 0, -1, 0, ., 0). 例3 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘法，构 成实数域R上的一个线性空间．求V 的一组基与维数, 并求 在该基下的坐标
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标al002000a000α0 10解设El=E12=-E2=℃—,E22=S06000elE考虑kEu+kE12+kE21+kE22=0akik20a000即Cks kaa-Co 0m即ki=k2=k3=k3=0即E11E12,E21,E22线性无关首高教育出服社1新时代大学数学票利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数 解 设
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标ai20.aei1iv有A=anEn+aE12+a2E21+a22E22对于任意二阶实矩阵A=ea21a220因此E11E12E21E22为的一组基而矩阵1在这组基下的坐标是(a1g a129 a219 an)002e2B===2E11+0E12+(-1)E21+3E2230e-1所以，B在该基下的坐标为（20,-1,3）首高教育出服社1新时代大学数争票利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数
线性代数第二节线性空间的基、维数与坐标例4子空间V=x|Ax=0,A口Rmxm,基：基础解系维数：n-R(A)是R的子空间V=((x, y,z)O例5求I的基与维数V= L(O ),=(2,-1,1)解为什么？线性无关，口为V的基V的维数：1首高教育出服社11新时代大学数学东利教材
第二节 线性空间的基、维数与坐标 新时代大学数学系列教材 线性代数 例4 子空间V= {x | Ax = 0, A Rm×n},基: 基础解系 维数: n – R(A) 例5 解 为什么? V = L( ), = (2, -1, 1) 线性无关, 为V 的基 V 的维数: 1