《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，C）第三章 3-2逆矩阵

第三章矩阵的运算$ 3.2逆矩阵

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵

第三章矩阵的运算一、引入在数的运算中，当数a≠0时，有aa-1 =a-'a =1,其中α_ 为a 的倒数，（或称的逆)在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A-1,使得AA-1 =A-A= E则矩阵A-称为A的可逆矩阵或逆阵

第三章 矩阵的运算 , 1 1 AA  A A  E   则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 1 A 1, 1 1     aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1  其中  为 a 的倒数，（或称 a 的逆） 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 ,使得 一、引入

第三章矩阵的运算二、逆矩阵的定义定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵例如,B=AF有AB=BA=E，所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵， 若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的定义 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B                 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如

第三章矩阵的运算说明：(1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的若设B和C是A的可逆矩阵，则有AB= BA= E, AC =CA=E,可得 B= EB = (CA)B =C(AB)= CE =C所以A的逆矩阵是唯一的,记作A-1B=C=A-1

第三章 矩阵的运算 说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB  BA  E, AC  CA  E, 可得 B  EB  CAB  CAB  CE  C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A .   

第三章矩阵的运算三、矩阵可逆的充分必要条件al0121.伴随矩阵an1(12272n设A=anlan2annn2称为A的伴随矩阵nn2

第三章 矩阵的运算 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A              称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a              三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵

第三章矩阵的运算21例题1、求矩阵A=的伴随矩阵310A =-2, A2 =6, A3 =1店A= 6 -3 -3A21 = 4, A22 =-3, A23 = -2,-5-21A31 = 1, A32 = -3, A33 = -5

第三章 矩阵的运算 例题1、求矩阵 的伴随矩阵.               1 0 2 3 1 0 1 2 1 A * 2 4 1 6 3 3 1 2 5 A                 11 12 13 21 22 23 31 32 33 2, 6, 1 4, 3, 2, 1, 3, 5 A A A A A A A A A              

第三章 矩阵的运算Ai=jA+a+12inin0itjA]i=j.A-aziAi +...+a,niInj0itj

第三章 矩阵的运算 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j                  

第三章矩阵的运算21-141-2AA*=306-3-3-5-2-2A*A=6 -3 -33-215一

第三章 矩阵的运算 * 1 2 1 2 4 1 3 1 0 6 3 3 1 0 2 1 2 5 AA                            * 2 4 1 1 2 1 6 3 3 3 1 0 1 2 5 1 0 2 A A                           

第三章 矩阵的运算可得：[IA]011[A|AA*=A*A=AEA只要A±0，就有A(1)A=E)=(一

第三章 矩阵的运算 可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A                1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只 要    ，就有

第三章矩阵的运算2.定理（可逆的充分必要条件）n阶方阵A可逆→A± O，且A-1A证明已证。"←"(充分)"="(必要)若A可逆，则存在A-，使得AA-1 =E两边取行列式，得 |AA-1 HAIA-1=E=1所以I A↓+ 0

第三章 矩阵的运算 2.定理（可逆的充分必要条件） 1 1 | | 0 | | n A A A A A 阶方阵 可逆    ，且   证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E   若 可逆，则存在 ，使得  两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E      所以 | A| 0