《线性代数》课程教学资源（课件讲稿，C）第二章 2-2向量及其线性运算

第二章矩阵与向量第二节向量及其线性运算

第二章 矩阵与向量 第二节 向量及其线性运算

第二章矩阵与向量3123x - 2x2 =12,+×2X22xi + x2 =1.2312(2, -3)21232(-3)2XX2

第二章 矩阵与向量        2 1. 3 2 12, 1 2 1 2 x x x x 3 2 12 2 1 1        1 x  2 x  1 2 3 2 12 2 1 1 x x                      2, 3    3 2 12 2 3 2 1 1                      

第二章矩阵与向量ax, +ai2x +...+ainxn = ba21i +a2X, +...+a2nX, =b=baniXi +an2X, +...+annXnnnbdind12allbanla2ainb2a22an1a2nb,a21a22azn+X2Xi+xn..6anlab.naa.nman2nlnnnXX

第二章 矩阵与向量                    n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n n n nn n a a a b a a a b a a a b             1 x  2 x  n x  11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 n n n n n nn n a a a b a a a b x x x a a a b                                                    

第二章矩阵与向量一、n维向量概念定义2.2.1由n个数组成的有序数组(ai，a2，…an)称为一个n维向量α= (aj, az, ... an)其中第i个数a;（i=l,2,，n）称为n维向量α的第i个分量或坐标分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量

第二章 矩阵与向量 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为 一个n维向量.  = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维 向量  的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量

第二章矩阵与向量零向量0 =(0, 0, ... , 0)负向量一α=(一aj,一az,..,一an)(—ai,—a ..., —an)称为α=(ai, a,... an)的负向量.记为一αα= (a, a, ..., an)行向量

第二章 矩阵与向量 零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 ( －a1 , －a2 , ., －an )称为 = ( a1 , a2 , . an )的 负向量.记为－ . － = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量  = ( a1 , a2 , ., an )

第二章矩阵与向量aa2α=列向量向量相等两个向量α= (a1, a2, ... an), β= (b 1, b 2, ... b n) (i = 1, 2, ... , n)α=β<>a,=bi

第二章 矩阵与向量 列向量 1 2 =( , , , ) 1 2 T n n a a a a a a               两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b 1 , b 2 , . b n ) ， 向量相等  =  ai = bi ( i = 1, 2, . , n)

第二章矩阵与向量二、n维向量的线性运算定义2.2.2 设α= (ai, a2, ..., an), β=(b 1, b 2, ..., b n)都是n维向量，向量(ai +bi,az+ bz，.…,an+bn)称为向量α与的和，记作α+β，即α+ β= (ai + bi, a, + b2, ..., an + bn)由负向量即可定义向量的减法：α -β= α+(β) =(ai -br,..., an -bn)定义2.2.3设α=（ai,az，…an)，是实数，定义Nα= (aj, Za, ..., an)称为数与向量α的乘积，记作α，简称为数乘

第二章 矩阵与向量 定义2.2.2 设 = ( a1 , a2 , ., an )，  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为 向量与的和，记作+，即  +  = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法：  = (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积，记作 ，简称为数乘. 设 = ( a1 , a2 , ., an 定义2.2.3 )， 是实数，定义

第二章 矩阵与向量线性方程组的向量表示b1,a11xi+a12x2+..+一ainna21xi+a22X2+...+a2n.n丰b2，bmamli+am2x2+...amnXnβai+aanX2+Xn

第二章 矩阵与向量     1 1 2 2 x  x   x   n n 线性方程组的向量表示                    . , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m m n n m n n n n    

第二章矩阵与向量向量的加法及数乘运算满足8条运算律设α、β、是n维向量，0是n维零向量，k、l是任意实数。(1)α+β=β+α(2)(α+β)+y=α+(β+)(3)α+0=α(4)α+(一α)=0

第二章 矩阵与向量 向量的加法及数乘运算满足8条运算律 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数

第二章矩阵与向量(5)1α=α(6)(kl)α=k(lα)(7)k(α+β)=kα+kβ(8)(k+l)α=kα+lα向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

第二章 矩阵与向量 (7) k ( +  ) ＝ k + k (8) ( k + l )  = k + l (6) ( k l )  = k ( l ) (5) 1· =  向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算