10-13静电场的能量能量密度 设在某时刻两极板之间的电势差为U,Ur +q 此时若把+dq电荷从带负电的负极板 搬运到带正电的正极板,外力所作的 功为 q dA=(U71-U2 q dg a rg O C 2C 2- CU UEU-U W 2C 2 CU=O 电容器所储存的静电能 外力克服静电场力作功, =-CU 把非静电能转换为带电 2C2 体系的静电能
10－13 静电场的能量 能量密度 一、电容器的电能 设在某时刻两极板之间的电势差为U， 此时若把+dq电荷从带负电的负极板 搬运到带正电的正极板，外力所作的 功为 电容器所储存的静电能 2 2 2 1 2 CU C Q We ＝ = 外力克服静电场力作功， 把非静电能转换为带电 体系的静电能 + + + + + - - - - - d E dq +q -q U1 U2 dA (U U )dq = 1 − 2 dq C q = = Q dq C q A 0 C Q 2 2 = C Q We 2 2 = CU = Q U U1 −U2 2 2 CU =
1、静电场的能量 对于极板面积为S、极板间距为砰平板电容器,电场所 占的体积为S,电容器储存的静电能为 2(e=1 M=-CU21 eS SSE d 2 2 电容器所具有的能量与极板间电场E和D有关,E和D是极板 间每一点电场大小的物理量,所以能量与电场存在的空间有 关,电场携带了能量。 2、电场的能量密度 定义:单位体积内的能量 0.=2E 对于任意电场,本结论都是成立的
二、静电场的能量 能量密度 1、静电场的能量 对于极板面积为S、极板间距为d平板电容器，电场所 占的体积为Sd，电容器储存的静电能为 (Ed) SE d d S We CU2 2 2 2 1 2 1 2 1 = ＝ = 2、电场的能量密度 定义：单位体积内的能量 2 2 1 e = E 对于任意电场，本结论都是成立的。 电容器所具有的能量与极板间电场E和D有关，E和D是极板 间每一点电场大小的物理量，所以能量与电场存在的空间有 关，电场携带了能量
例1、球形电容器的内、外半径分别为R1 和R2,所带的电量为±Q。若在两球之间 充满电容率为的电介质,问此电容器电 R 场的能量为多少。 解:若电容器两极板上电荷的分布是均匀的, 则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得 球壳间的电场强度的大小为 E 电场总能量为 4丌Er 电场的能量密度为 g0Q dr e-5t2 8丌Er 32丌Er 取半径为r、厚为dr的球壳,其体 积为d4rPdr。所以此体积元内 8兀E(R,R 的电场的能量为 drdr dr 322Er 8丌Er
例1、球形电容器的内、外半径分别为R1 和R2，所带的电量为±Q。若在两球之间 充满电容率为ε的电介质，问此电容器电 场的能量为多少。 R1 R2 解：若电容器两极板上电荷的分布是均匀的， 则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得 球壳间的电场强度的大小为 2 4 r Q E ＝ 电场的能量密度为 2 4 2 2 2 32 1 r Q e E = ＝ 取半径为r、厚为dr的球壳，其体 积为dV=4πr 2dr。所以此体积元内 的电场的能量为 dr r Q r dr r Q dWe e dV 2 2 2 2 4 2 8 4 32 = = = 电场总能量为 = − = 1 2 2 2 2 1 1 8 8 2 1 R R Q dr r Q W R R e
例2、一个球半径为R,体电荷密度为p,试利用电场能量公式 求此带电球体系统的静电能。 r≤R 3E05r R 2 388 r Fr≥R R 8.8E w=medv= REE EZ oof ex ardr+ 2dr 0 R 2 R EoE OR ()24m2dr+ )urdr 023En6 r 2. 4xp2R34丌p2R34xp2Rs 十 5×18E18E06,15E0r
例2、一个球半径为R，体电荷密度为，试利用电场能量公式 求此带电球体系统的静电能。 R r r R r E r = ˆ 3 0 1 r r R r R E r = ˆ 3 2 0 3 2 = = dV E W w dV r e 2 2 0 = + R r R r r dr E r dr E 2 2 0 2 0 2 2 0 1 4 2 4 2 = + R r r R r r r dr r R r dr r 2 2 2 0 3 0 0 2 2 0 0 ) 4 3 ( 2 ) 4 3 ( 2 r r R R 0 2 5 0 2 5 18 4 5 18 4 + = r R 0 2 5 15 4 =
例:求均匀带电球体內外的电场能已知球体带电量为Q, 半径R内外电容率分别为E1,E2 解:由高斯定理容易求出 R Or 内4兀E1R 外4丌E2r R 8 ldv drdr 2(4兀E1 R 408 R a ea dy 62(94m2b Q 外 R2(4丌E,r 8Ta r 外 W内1 如果E1=E2则 W如5 外
, , . : . , 1 2 半径 內外电容率分别为 例 求均匀带电球体內外的电场能已知球体带电量为 R Q R Q 1 2 2 2 3 1 4 4 : : r Q E R Qr E 內 = 外 = 解 由高斯定理容易求出 R Q r dr R Qr W E dV R V 12 2 2 3 1 0 2 1 1 40 4 2 2 4 1 = = = 內 內 內 R Q r dr r Q W E dV R V 22 2 2 2 2 2 2 2 8 4 2 2 4 1 = = = 外 外 外 51 1 = 2 = 外 如果 则 內 WW
例题 求电量为Q0、半径为R的均匀带电球面的 静电能 解:设U=0 2 1r0dQ每一个l所在 2g46R 处的电势 8tFo R
例题 1、求电量为Q 0、半径为R的均匀带电球面的 静电能。 解：设 U= 0 We = UdQ 2 1 每一个dQ 所在 处的电势 = 0 0 0 2 4 1 Q R Q dQ R Q 0 2 8 0 = R
例题一平行板电容器的板极面积为S,间距为d, 充电后两极板上带电分别为士Q。断开电源后再把 两极板的距离拉开到2d。求(1)外力克服两极板相 互吸引力所作的功;(2)两极板之间的相互吸引力。 (空气的电容率取为0)。 解(1)两极板的间距为d和2l时,平行板电容器 的电容分别为 S 0 2d 板极上带电±Q时所储的电能为 02d 1Q2.2d w 28c 8S 2 8s
例题 一平行板电容器的板极面积为S，间距为d， 充电后两极板上带电分别为± Q。断开电源后再把 两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相 互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。 （空气的电容率取为ε0）。 d S C d S C 2 , 1 0 2 0 = = S Q d W S Q d C Q W 0 2 2 0 2 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 = = ， = 板极上带电± Q时所储的电能为 解 （1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器 的电容分别为 Q S d1 Q S d2
故两极板的间距拉开到2后电容器中电场能量的 增量为 1Qd △W=H21=2E0S (2)设两极板之间的相互吸引力为F,拉开两极板 时所加外力应等于F,外力所作的功A=Fd,所以 d 2as
S Q d W W W 0 2 2 1 2 1 ＝ － = （2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板 时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以 S Q d A F 0 2 2 = = 故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的 增量为 Q S d1 Q S d2
例平行板空气电容器每极板的 面积S=3×102m2,板极间的距 离d=3×10m。今以厚度为d + 1×103m的铜板平行地插入电 容器内。(1)计算此时电容器 的电容;(2)铜板离板极的距 离对上述结果是否有影响?(3) 使电容器充电到两极板的电势 差为300后与电源断开,再把 B 铜板从电容器中抽出,外界需 作功多少功? 解:(1)铜板未插入前的电容为C≤0
例 平行板空气电容器每极板的 面积S= 3×10-2m2 ，板极间的距 离d = 3×10-3m 。今以厚度为d ’ = 1×10-3m的铜板平行地插入电 容器内。（1）计算此时电容器 的电容；（2）铜板离板极的距 离对上述结果是否有影响？（3） 使电容器充电到两极板的电势 差为300V后与电源断开，再把 铜板从电容器中抽出，外界需 作功多少功？ d S C 0 解： （1）铜板未插入前的电容为 = d1 d2 d d + − C1 C2 A B
设两板极上带有电荷±q,铜板两表面上将分别产生感 应电荷,面密度也为士σ,此时空气中场强不变,铜 板中场强为零。两极板A、B的电势差为 U=V-v=Ed+ed = E(d-d)q(d-d) + 所以铜板插入后的电容C为 q 0 B 2)由上式可见,C的值与l1和d2 无关(d1增大时,d2减小。d1+ d2=dd不变),所以铜板离极板 的距离不影响C的值 B d
设两板极上带有电荷±q, 铜板两表面上将分别产生感 应电荷，面密度也为± σ ，此时空气中场强不变，铜 板中场强为零。两极板A、B的电势差为 d d S V V q C A B − = = 0 － 所以铜板插入后的电容C’为 ( ) ( ) S q d d U VA VB E d E d E d d 0 0 1 0 2 0 − = － = ＋ ＝ − = 2）由上式可见，C’ 的值与d1和d2 无关（ d1增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d' 不变），所以铜板离极板 的距离不影响C’的值 d1 d2 d d + − C1 C2 A B
