一种新的动态矢量 Preisach磁滞模型 1概述 压电陶瓷是一种具有压电效应的多晶体,因其生产工艺和陶瓷生产工艺相似(原料粉碎, 成型,高温烧结…)而得名 某些各向异性晶体,在机械力作用下,产生形变使带电粒子发生相对位移,从而在晶 体表面出现束缚电荷,这种现象称为压电效应晶体的这种性质称为压电性压电性是居里兄 弟于1880年在单晶体上发现的几个月后,他们又用实验验证了逆压电效应,即给晶体施加 电场时,晶体会产生几何形变1940年以前,只有单晶压电材料,由于存在多种缺点(如易溶 于水),未能得到广泛应用 压电陶瓷迟滞特性是影响压电陶瓷驱动器位移输出精度的主要因素。当前,用于微米 或亚微米级精度的精微定位和操作的微动机器人的硏宄已成为机器人硏究领域的前沿课题 之一。微动机器人驱动元件的选择和使用,直接关系到最终的控制性能指标。目前得到广泛 应用的微小位移驱动元件有精密直线电机、记忆合金、磁致伸缩类元件、压电/电致伸缩类 元件等。其中压电陶瓷驱动器以其独有的高刚度、高频响和高控制精度等优点,在微定位、 微驱动等领域越来越受到研究人员的重视。但是在实际应用过程中,其本身一些固有特性(如 迟滞、蠕变、温度等特性)也给高精度的位移控制带来一定的影响。其中的迟滞特性是影响 位移输出精度的主要环节,对迟滞特性的建模和补偿是获得压电驱动器高精度输出的关键。 目前,国内对压电陶瓷控制的研究一般集中在将压电陶瓷的电压位移特性线性化并利用反 馈进行控制";或将压电陶瓷位移特性的主滞环进行分段拟合逼近来进行控制。这些方法虽然 可以在一定程度上降低迟滞特性的影响,但对于控制序列复杂或迟滞滞环较大的情况,分段 拟合逼近的方法通常难以达到令人满意的效果,并且在有些情况下难以安装高精度位移传感 器对输出位移进行检测,因此也就不能建立一个有效的反馈控制。此外,不同晶体结构,自 发极化情况有所不同为了便于说明,本文以Pb∏O晶体为例(目前广泛使用的PZT二元系 压电陶瓷是 Pbcro和PbIO按一定比例组成的,这两种晶体同为钙钦矿型结构)在居里点 (490℃)以上,PbO3的晶胞是立方晶系a=b=c),当温度降至居里点以下时,变为四方晶系 (a=b护。),即。轴变长或变短了,氧离子被挤出铅离子中心所在的平面,同时铅离子偏离 氧多面体护心,这样就造成c轴方向上正负电荷中心不重合,晶胞产生了极化,这就是自发 极化12]这是离子位移极化对自发极化的贡献,实际上,晶胞自发极化还应包含电位移极化 的贡献由于各部分晶胞自发极化方向(c轴方向)取向可能不同,这样晶体内就出现了电畴一 自发极化方向一致的小区域,如图1(a)所示电畴与铁磁质中的磁畴十一分相似!3 经典的 Preisach模型只能描述静态磁滞行为,而电机、变压器等电力设备及磁记录仪 器常工作于交变的电磁场中,为此需要建立描述交变磁滞行为的动态模型.文献「」曾从输 入依赖关系模型(非线性模型的另一种形式)出发,建立了交变场的动态模型[z7及动态矢量 模型[3],但其动态矢量模型仅仅考虑了不可逆过程的影响,而对交变场的可逆过程未予以 考虑,因此,该动态矢量模型仅是一个适用于各向同性材料的二维模型本文提出了一种描 述各向异性材料的动态矢量 Preisach模型,讨论了其分布函数的确定方法 2模型的建立 非线性模型的数学表示为 f() y(a,Bu(t))ragu(t )dedB+ r(uau(t )da
一种新的动态矢量 Preisach 磁滞模型 l 概述 压电陶瓷是一种具有压电效应的多晶体，因其生产工艺和陶瓷生产工艺相似(原料粉碎， 成型，高温烧结……)而得名. 某些各向异性晶体，在机械力作用下，产生形变.使带电粒子发生相对位移，从而在晶 体表面出现束缚电荷，这种现象称为压电效应.晶体的这种性质称为压电性.压电性是居里兄 弟于 1880 年在单晶体上发现的.几个月后，他们又用实验验证了逆压电效应，即给晶体施加 电场时，晶体会产生几何形变.1940 年以前，只有单晶压电材料，由于存在多种缺点(如易溶 于水)，未能得到广泛应用. 压电陶瓷迟滞特性是影响压电陶瓷驱动器位移输出精度的主要因素。当前，用于微米 或亚微米级精度的精微定位和操作的微动机器人的研究已成为机器人研究领域的前沿课题 之一。微动机器人驱动元件的选择和使用，直接关系到最终的控制性能指标。目前得到广泛 应用的微小位移驱动元件有精密直线电机、记忆合金、磁致伸缩类元件、压电/电致伸缩类 元件等。其中压电陶瓷驱动器以其独有的高刚度、高频响和高控制精度等优点，在微定位、 微驱动等领域越来越受到研究人员的重视。但是在实际应用过程中，其本身一些固有特性(如 迟滞、蠕变、温度等特性)也给高精度的位移控制带来一定的影响。其中的迟滞特性是影响 位移输出精度的主要环节，对迟滞特性的建模和补偿是获得压电驱动器高精度输出的关键。 目前，国内对压电陶瓷控制的研究一般集中在将压电陶瓷的电压/位移特性线性化并利用反 馈进行控制";或将压电陶瓷位移特性的主滞环进行分段拟合逼近来进行控制。这些方法虽然 可以在一定程度上降低迟滞特性的影响，但对于控制序列复杂或迟滞滞环较大的情况，分段 拟合逼近的方法通常难以达到令人满意的效果，并且在有些情况下难以安装高精度位移传感 器对输出位移进行检测，因此也就不能建立一个有效的反馈控制。此外，不同晶体结构，自 发极化情况有所不同.为了便于说明，本文以 PbTIO 晶体为例(目前广泛使用的 PZT 二元系 压电陶瓷是 PbzrO 和 PbTIO;按一定比例组成的，这两种晶体同为钙钦矿型结构).在居里点 (490℃)以上，PbTIO3 的晶胞是立方晶系(a=b=c)，当温度降至居里点以下时，变为四方晶系 (a=b 护。)，即。轴变长或变短了，氧离子被挤出铅离子中心所在的平面，同时铅离子偏离 氧多面体护心，这样就造成 c 轴方向上正负电荷中心不重合，晶胞产生了极化，这就是自发 极化 12].这是离子位移极化对自发极化的贡献，实际上，晶胞自发极化还应包含电位移极化 的贡献.由于各部分晶胞自发极化方向(c 轴方向)取向可能不同，这样晶体内就出现了电畴— 自发极化方向一致的小区域，如图 1(a)所示.电畴与铁磁质中的磁畴十一分相似!3 经典的 Preisach 模型只能描述静态磁滞行为，而电机、变压器等电力设备及磁记录仪 器常工作于交变的电磁场中，为此需要建立描述交变磁滞行为的动态模型.文献「1」曾从输 入依赖关系模型(非线性模型的另一种形式)出发，建立了交变场的动态模型[z7 及动态矢量 模型[3]，但其动态矢量模型仅仅考虑了不可逆过程的影响，而对交变场的可逆过程未予以 考虑，因此，该动态矢量模型仅是一个适用于各向同性材料的二维模型.本文提出了一种描 述各向异性材料的动态矢量 Preisach 模型，讨论了其分布函数的确定方法. 2 模型的建立 非线性模型的数学表示为
式中,u(t)和f)分别表示输入和对应输出;场和又表示单元磁滞算子.将式(1)沿各个方向进 行矢量迭加,得非线性模型的矢量形式为 声(t) ,(t),y) ragu, (t )dudp)do+ a, p)Aue 式中,u(t)为输入沿极角91指定方向上的投影;e}为沿极角甲指定方向上的单位矢量 非线性樟型的三维矢量形式为 (r)dad B sinHdBciy+ p B)uxi()da sinAdea, (3) 式(2,)和(3)便是扩展矢量 Preisach模型,在式(2)和(3)中分别引入与输出变化速度相 关的项后可表示为: 二维情况 4 a, s (L )Caa ids.+ (cr, d i ct, p lu,(t )da 三维情况 (t),g,6 )dedi sin/c(dg. 将与输出变化速度相关联的项进行幂级数展开,仅保留一次项,整理如下 二维情况
式中，u(t)和 f <t)分别表示输入和对应输出;场和又表示单元磁滞算子. 将式(1)沿各个方向进 行矢量迭加，得非线性模型的矢量形式为: 式中，u,(t)为输入沿极角 91 指定方向上的投影;e}为沿极角甲指定方向上的单位矢量. 非线性樟型的三维矢量形式为 式(2,) 和( 3)便是扩展矢量 Freisach 模型，在式(2)和(3)中分别引入与输出变化速度相 关的项后可表示为： 二维情况 三维情况 将与输出变化速度相关联的项进行幂级数展开，仅保留一次项，整理如下. 二维情况
(t),g)raur(t) clad B idφ d. ))u(t)de 三维情况 :)=/n()+P2n,d- dt (a,,us.i():, O)raul, e(r )dadA sinf/dodo t d e r"(a,, 6)Jus, s (l da sinfldtdo, 式中,f0(1)和f01(1)分别代表式(2)和(3所表示的项式(4)和(5)即为本文考虑动态可 逆磁化过程后的动态矢量 preisach模型 3二维情况下分布函数的确定 将H(a,B,2(1),q)和r(a,B)分别用有限傅立叶级数展开后代入式(4),得 f()=)()1∑ 、(a,B3,n1()rn()dadqg+ 假定沿极角9和头指定向进行测试,则 j/(2N+1)(j=0,1,…2N); 9=kr/(2M+1)(k=0,1,…;2M) 设o和g,9间的夹角分别为q=-,g"=9-9表示输入沿9,方向由负饱和 状态单调地增加到α,再单调减小到u.且保持不变时,相应的输出衰减到稳态值时的弛豫 时间,ra表示输入沿9方向由负饱和状态单调增加到a,再单调减小到β,然后再单调增 加到,且保持不变时,相应的输出衰减到其稳态值时的弛豫时间引入函数
三维情况 式中， 0 f t( ) 和 01 f t( ) 分别代表式(2)和(3)所表示的项.式((4)和(5)即为本文考虑动态可 逆磁化过程后的动态矢量 preisach 模型. 3 二维情况下分布函数的确定 将 '( , , ( ), ) u t 和 r'( , ) 分别用有限傅立叶级数展开后代入式(4)，得 设 和 j ，k 间的夹角分别为 ' = − j ， '' = − k 表示输入沿 j 方向由负饱和 状态单调地增加到 ，再单调减小到 j u 且保持不变时，相应的输出衰减到稳态值时的弛豫 时间; u 表示输入沿 j 方向由负饱和状态单调增加到 ，再单调减小到 ，然后再单调增 加到 j u 且保持不变时，相应的输出衰减到其稳态值时的弛豫时间.引入函数
g,(a,,"(a)-{xm-x咖)/2. 同样,设τ。表示输入沿方向由负饱和状态单调增加到a后保持不变,相应的输出 衰减到其稳态值时的驰豫时间:。-表示沿方向的输人由正饱和状态单调减小到a后保 持不变,相应的输出衰减到其稳态值时的驰豫时间引入函数 g(a)m(ra+ta)/2, 再引如函数pn(a,B,u(1)和pm(a)他们与n(a,B,un(O)和n(a)之间的关系为: P(a, B, uo(r))= /(a,P,u,(2)ru (o dae c≥ FCa) rn(a)au(t)da. 进而有 2+cosp. Tacos Bcos,u,(r)ets ]dg=a(a,F,u,(()):(6) x/2十q cosp c ng P.(acos) 一f21v 对各个不同的方向进行测试,最后由式(6)和(7可得2(M+n+1)个方程的联立方程组, 解该方程组,得Pn(a,B,u(1)和P'm(a)的值,因此有 (a,B,s,故2())= 2 eayi -a P(a B, u,(4))(aap)] r(a, p)-yemp(1/2)dPm(a)i'da 通过对压电陶瓷特性的研究,采用 Pre is ach模型对压电陶瓷的迟滞特性进行建模, 并进行了相应的实验研究,实验结果证明该方法可以很好地降低压电陶瓷迟滞特性对位移输 出性能的影响。另外,采用压电陶瓷位移输出不能回复到初始零电压状态的处理方法与实际 情况吻合得更好。将该模型作为控制系统的前馈环节,可以进一步降低压电陶瓷迟滞特性的 影响,有效地提高压电陶瓷的控制精度。 机械电子4班赵春雷学号:04S008262
同样，设 ' + 表示输入沿 k 方向由负饱和状态单调增加到 后保持不变，相应的输出 衰减到其稳态值时的驰豫时间； ' − 表示沿 k 方向的输人由正饱和状态单调减小到 后保 持不变，相应的输出衰减到其稳态值时的驰豫时间.引入函数 再引如函数 ( , , ( )) n p u t 和 ' ( ) m p 他们与 ( , , ( )) n u t 和 ( ) m r 之间的关系为： 进而有 对各个不同的方向进行测试，最后由式(6)和(7)可得 2 (M+n +1)个方程的联立方程组， 求解该方程组，得 ( , , ( )) n p u t 和 ' ( ) m p 的值，因此有 通过对压电陶瓷特性的研究，采用 P re is ach 模型对压电陶瓷的迟滞特性进行建模， 并进行了相应的实验研究，实验结果证明该方法可以很好地降低压电陶瓷迟滞特性对位移输 出性能的影响。另外，采用压电陶瓷位移输出不能回复到初始零电压状态的处理方法与实际 情况吻合得更好。将该模型作为控制系统的前馈环节，可以进一步降低压电陶瓷迟滞特性的 影响，有效地提高压电陶瓷的控制精度。 机械电子 4 班 赵春雷 学号：04S008262 2005-4-3