第2章模糊理论与技术基础 2.1模糊集合论 2.1.1普通集合与模糊集合的基本概念 1.普通集合 (1)普通集合的基本概念 在普通集合中,论域U中的任意给定的一个元素u,如果它具 有集合A的特性,也就是说它是集合A的元素,此时,我们可以用 记号 L∈A 来表示,我们说元素u属于A:如果元素u不具备集合A的特性, 我们说元素u不属于集合A,此时记为 u A (2)普通集合的表示法 般地,我们常用大写字母A、B、C、D 来表示集 合,而用小写字母a、b、c、d、来表示集合的元素。常用 的集合表示法有列举法、描述法和文字叙述法。 列举法:列举法是把集合中的所有元素一一列举出来的集合表 示法,如由张三、李四、王老五组成的集合记为 张三、李四、王老五 当然,也可记为 李四、王老五、张三} 王老五、李四、张三}
19 第 2 章 模糊理论与技术基础 2.1 模糊集合论 2.1.1 普通集合与模糊集合的基本概念 1.普通集合 (1) 普通集合的基本概念 在普通集合中，论域 U 中的任意给定的一个元素 u ，如果它具 有集合 A 的特性，也就是说它是集合 A 的元素，此时，我们可以用 记号 u A 来表示，我们说元素 u 属于 A ；如果元素 u 不具备集合 A 的特性， 我们说元素 u 不属于集合 A ，此时记为 u A (2) 普通集合的表示法 一般地，我们常用大写字母 A 、 B 、C 、 D 、……来表示集 合，而用小写字母 a、b 、c 、 d 、……来表示集合的元素。常用 的集合表示法有列举法、描述法和文字叙述法。 列举法：列举法是把集合中的所有元素一一列举出来的集合表 示法，如由张三、李四、王老五组成的集合记为 {张三、李四、王老五} 当然，也可记为 {李四、王老五、张三} 或 {王老五、李四、张三}
即只要两个集合包含的元素相同,不管各个元素在集合中出现的顺 序如何,它们都是同一个集合。列举法具有简单、明了的特点,它 般适合于集合元素较少的情形 描述法:描述法是采用描述集合中所有元素的共同特性来表示 集合的一种集合表示方法,如机械系身高高于1.75m的所有男同学 就表示了该系所有身高高于1.75m的男同学组成的集合。设P表示 给定的一个性质,具有性质P的所有元素组成的集合A记为 A={l|P(a)} 上式中,P(u)表示“具有性质P的元素”。 如机械系身高高于1.75m的所有男同学就表示了该系所有身 高高于1.75m的男同学组成的集合,可表示为 A={机械系所有男同学|其身高高于1.75 描述法能清晰地表述集合中所有元素所具有的性质。 文字叙述法:文字叙述法是用文字来描述集合元素的特征的 种集合表示法,如实数集合可以表示为 R={实数} (3)特征函数 从上面的讨论可以知道,对于论域中的任意一个元素和一个 集合A来说,它要么属于A,要么不属于A,两者必居其一。如 用函数来表示,则有 1当u∈A时 0当ugA时 2.模糊集合 (1)模糊概念 为了定量地描述一个模糊的概念或模糊事物,美国自动控制专 家、应用数学家、加利福尼亚大学的扎德教授,在1965年引入了 模糊集合( Fuzzy Sets)这一概念,扎德引入模糊集的基本思想是:将
20 即只要两个集合包含的元素相同，不管各个元素在集合中出现的顺 序如何，它们都是同一个集合。列举法具有简单、明了的特点，它 一般适合于集合元素较少的情形。 描述法：描述法是采用描述集合中所有元素的共同特性来表示 集合的一种集合表示方法，如机械系身高高于 1.75m 的所有男同学 就表示了该系所有身高高于 1.75m 的男同学组成的集合。设 P 表示 给定的一个性质，具有性质 P 的所有元素 u 组成的集合 A 记为 A ={ u | P ( u )} 上式中， P(u) 表示“具有性质 P 的元素”。 如机械系身高高于 1.75 m 的所有男同学就表示了该系所有身 高高于 1.75m 的男同学组成的集合，可表示为 A ={机械系所有男同学 | 其身高高于 1.75 m } 描述法能清晰地表述集合中所有元素所具有的性质。 文字叙述法：文字叙述法是用文字来描述集合元素的特征的一 种集合表示法，如实数集合可以表示为 R ={实数} (3) 特征函数 从上面的讨论可以知道，对于论域中的任意一个元素 u 和一个 集合 A 来说，它要么属于 A ，要么不属于 A ，两者必居其一。如 用函数来表示，则有 = 0 1 x (u) A 当 时 当 时 u A u A 2.模糊集合 (1) 模糊概念 为了定量地描述一个模糊的概念或模糊事物，美国自动控制专 家、应用数学家、加利福尼亚大学的扎德教授，在 1965 年引入了 模糊集合(Fuzzy Sets)这一概念，扎德引入模糊集的基本思想是：将
普通集合的完全隶属关系加以扩充,使元素对“集合”的隶属度由 只能取0和1这两种值,拓展为取[0,1区间中的任意一个数值, 并且这个取值越大,表示元素隶属于这个模糊概念的程度就越大 反之,就越小。从而,我们可以用定量的方法去研究模糊现象和模 糊事物了。由此可见,模糊集合是在普通集合的基础上发展起来的, 它的提出和发展具有十分重要的意义 (2)模糊集合 定义2-1由映射 4:U→>[0,1 所刻划的集合称为U上的一个模糊子集,记为A,其中 4()(∈[0.1]是对于任意∈U所指定的一个数,称之为l对A 的隶属度 显然,从集合的发展历史来讲,模糊集合是在普通集合的基础 上发展起来的,而从集合的性质来讲,普通子集仅是模糊子集的特 殊形态,即当隶属度μA(u)的值只为{0,1}时,模糊子集就蜕化成 了普通子集了 (3)模糊集合的表示方法 当论域U只包含有限个元素时,即 我们可以用扎德表示法、向量表示法和序偶表示法来表示一个模糊 集合 扎德表示法:该方法将模糊集A表示为 A=4(1)/a1+uA(2)/2+…+A(un)/un 注意,上式中4A(l1)/1表示的不是“分数”,而只表示元素u1与
21 普通集合的完全隶属关系加以扩充，使元素对“集合”的隶属度由 只能取 0 和 1 这两种值，拓展为取[0，1]区间中的任意一个数值， 并且这个取值越大，表示元素隶属于这个模糊概念的程度就越大， 反之，就越小。从而，我们可以用定量的方法去研究模糊现象和模 糊事物了。由此可见，模糊集合是在普通集合的基础上发展起来的， 它的提出和发展具有十分重要的意义。 (2) 模糊集合 [定义 2-1] 由映射 ( ) : [0,1] ~ ~ u u U A A → → 所 刻 划 的 集 合称 为 U 上 的 一 个 模 糊子 集 ， 记为 ~ A ，其中 ( ) ~ A u ([0,1]) 是对于任意 uU 所指定的一个数，称之为 u 对 ~ A 的隶属度。 显然，从集合的发展历史来讲，模糊集合是在普通集合的基础 上发展起来的，而从集合的性质来讲，普通子集仅是模糊子集的特 殊形态，即当隶属度 ( ) ~ A u 的值只为{0，1}时，模糊子集就蜕化成 了普通子集了。 (3) 模糊集合的表示方法 当论域 U 只包含有限个元素时，即 { , ,..., } U = u1 u2 un 我们可以用扎德表示法、向量表示法和序偶表示法来表示一个模糊 集合。 扎德表示法：该方法将模糊集 ~ A 表示为 A A u u A u u A un un ( )/ ( )/ ... ( )/ ~ ~ ~ 1 1 2 2 ~ = + + + 注意，上式中 A ui ui ( )/ ~ 表示的不是“分数”，而只表示元素 i u 与
4(1)之间的一种对应关系,它表示元素u1隶属于模糊集A的隶 属度为44(l2),上式中的“+”也不是表示通常的“求和”的意义 而是表示模糊子集在论域U上的整体 向量表示法:该方法将模糊集A表示为 A=(HA(u1),p4(2),…,pA(un) 此时的模糊集将由所有的元素u隶属于模糊集A的隶属度所组成 的向量来表示,并称这个向量为模糊向量。很显然,模糊向量的所 有元素均是[⑩0,1之间的实数 序偶表示法:该方法将模糊集A表示为 A={(4A(u1),1)(A(2),2),…,(A(un),Ln) 2.1.2截集与分解定理 1.截集的概念 模糊集合理论的提出,使人们用定量的手段来刻划模糊现象成 为可能。但在实际应用中,经常遇到需要将模糊集转化成普通集的 例子。此时,截集在模糊集与普通集的互相转化中起着重要的桥梁 作用。借助于截集,我们可以将一个模糊集合转化成若干个普通集 合,模糊集A的λ截集一般用A2表示。这在实际应用中是很有用 的 定义2-2]设A是论域U中一个模糊集,称 A2={ul|4A(u)≥A,u∈U},0≤A≤1 为模糊集A的λ弱截集,它是一个普通集合,其中λ称为置信水平 (或水平),而 A={ulA(a)>A,u∈U},0≤λ≤1 称为模糊集A的A强截集
22( ) ~ A ui 之间的一种对应关系，它表示元素 i u 隶属于模糊集 ~ A 的隶 属度为 ( ) ~ A ui ，上式中的“+”也不是表示通常的“求和”的意义， 而是表示模糊子集在论域 U 上的整体。 向量表示法：该方法将模糊集 ~ A 表示为 ~ A = ( ( ), ( ),..., ( )) ~ ~ ~ A u1 A u2 A un 此时的模糊集将由所有的元素 i u 隶属于模糊集 ~ A 的隶属度所组成 的向量来表示，并称这个向量为模糊向量。很显然，模糊向量的所 有元素均是[0，1]之间的实数。 序偶表示法：该方法将模糊集 ~ A 表示为 ~ A ={ ( ( ), ),( ( ), ),...,( ( ), ) ~ ~ ~ A u1 u1 A u2 u2 A un un } 2.1.2 截集与分解定理 1.截集的概念 模糊集合理论的提出，使人们用定量的手段来刻划模糊现象成 为可能。但在实际应用中，经常遇到需要将模糊集转化成普通集的 例子。此时，截集在模糊集与普通集的互相转化中起着重要的桥梁 作用。借助于截集，我们可以将一个模糊集合转化成若干个普通集 合，模糊集 A 的 截集一般用 A 表示。这在实际应用中是很有用 的。 [定义 2-2] 设 ~ A 是论域 U 中一个模糊集，称 { | ( ) , } ~ A = u A u u U , 0 1 为模糊集 ~ A 的 弱截集，它是一个普通集合，其中 称为置信水平 (或水平)，而 { | ( ) , } ~ A = u A u u U , 0 1 称为模糊集 ~ A 的 强截集
取一个模糊集A的λ截集,实际上就是将其隶属函数按下式转 化成为特征函数 当μA()≥λ时 (u) 0当u:()<时 这种转换可以用图2-1来表示。图2-1直观地表示其隶属度大 于λ的所有元素构成了模糊集A的截集A2。由于截集概念的提出, 将论域U中的所有元素分成两部分,一部分为属于A2的元素,另 一部分为不属于A的元素,这样,就实现了模糊集与普通集合之 间的转换。 u(u) 图2-1模糊集截集的特征函数 下面用一个简单的例子来说明模糊集与模糊集的截集之间的 转化。 设模糊集A表示“年轻人”这一个模糊概念,Hx(张三)=0.9 2(李四)=0.8,H(王老五)=0.4,则有如下截集 A0g={张三} A08={张三,李四 A04={张三,李四,王老五} 在实际应用中,我们可以改变置信水平的大小,来获得满足相
23 取一个模糊集 ~ A 的 截集，实际上就是将其隶属函数按下式转 化成为特征函数 = 0 1 x (u ) A 当μ λ时 当μ λ时 ( ) ( ) ~ ~ u u A A 这种转换可以用图 2-1 来表示。图 2-1 直观地表示其隶属度大 于 的所有元素构成了模糊集 ~ A 的截集 A 。由于截集概念的提出， 将论域 U 中的所有元素分成两部分，一部分为属于 A 的元素，另 一部分为不属于 A 的元素，这样，就实现了模糊集与普通集合之 间的转换。 A x (u) A 1 ( ) ~ A u 0 ( ) ~ A u U x (u) A x (u) A 图 2-1 模糊集截集的特征函数 下面用一个简单的例子来说明模糊集与模糊集的截集之间的 转化。 设模糊集 ~ A 表示“年轻人”这一个模糊概念， A ~ (张三)=0.9， A ~ (李四)=0.8， A ~ (王老五)=0.4，则有如下截集 A0.9 ={张三} A0.8 ={张三，李四} A0.4 ={张三，李四，王老五} 在实际应用中，我们可以改变置信水平的大小，来获得满足相
应要求的元素的集合,这在模糊模式识别和模糊综合评价中经常用 到。因而,在工程方案设计中,截集是一个很有用的概念。 2.模糊集之间的距离 我们常用空间两点之间的距离描述空间两物体之间相距多远 同样,我们也可采用两模糊集之间的距离来描述两模糊集之间的模 糊相似程度。此外,模糊集之间的距离还常用来度量模糊集的模糊 性。模糊集之间的距离多种多样,其中,常用的模糊集之间的距离 介绍如下。 海明( Hamming)距离:设A和B是论域U={u1,l2,Ln}上 的两个模糊集,则称 D(A,B)=∑m(1)-(u 为A和B的相对海明距离。 当U=[a,]是实数轴上的有限闭区间时,则有 n(B)=、1 B a1()-2() 欧几里得( Euclid距离:设A和B是论域U={ 上的两个模糊集,则称 vy2((n)-2) D2(A,B)= 为A和B的相对欧几里得距离。 当U=[a,月是实数轴上的有限闭区间时,则有 D2(A,B)=- B-a va a(u)-uB(u)ldu
24 应要求的元素的集合，这在模糊模式识别和模糊综合评价中经常用 到。因而，在工程方案设计中，截集是一个很有用的概念。 2.模糊集之间的距离 我们常用空间两点之间的距离描述空间两物体之间相距多远。 同样，我们也可采用两模糊集之间的距离来描述两模糊集之间的模 糊相似程度。此外，模糊集之间的距离还常用来度量模糊集的模糊 性。模糊集之间的距离多种多样，其中，常用的模糊集之间的距离 介绍如下。 海明(Hamming)距离：设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上 的两个模糊集，则称 = = − n i A ui B ui n D A B 1 ~ ~ 1 ( ) ( ) 1 ( , ) ~ ~ 为 ~ A 和 ~ B 的相对海明距离。 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 − − = ( ) ( ) 1 ( , ) ~ ~ ~ ~ D1 A B A u B u d u 欧几里得(Euclid)距离：设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，则称 = = − n i A ui B ui n D A B 1 2 ~ ~ 2 ( ( ) ( )) 1 ( , ) ~ ~ 为 ~ A 和 ~ B 的相对欧几里得距离。 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 D A B ( A (u) B (u))du 1 ( , ) ~ ~ ~ ~ 2 − − =
闵可夫斯基( Minkowski)距离:设A和B是论域 U={u1,l2…,un}上的两个模糊集,则称 D2(AB)=∑().-p2(n) 为A和B的相对闵可夫斯基距离。其中p为适当选择的参数。 当U=[a,6是实数轴上的有限闭区间时,则有 1/P )3(A,B) A (u)-uB(u)du B 下面这一种模糊距离也是经常用到的: 设A和B是论域U={u12u2…,ln}上的两个模糊集,则A和 B的距离可以定义为 ∑=4n)-2) D4(A,B)=1 ∑(HA(u)-2(n2) 当U=[a,B是实数轴上的有限闭区间时,则有 Aa(u)-bB(udu D(A, B) u,(u)+ug(udu 3贴近度 上面的模糊距离刻划了两模糊集之间“相距多远”,并且,如 果两模糊集之间的模糊距离越大,认为此两模糊集之间就相距越 远,否则,就相距越近。下面将要讨论的贴近度则刻划了两模糊集
25 闵可夫斯基 (Minkowski) 距 离 ： 设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，则称 p n i p A ui B ui n D A B 1/ 1 ~ ~ 3 ( ) ( ) 1 ( , ) ~ ~ = − = 为 ~ A 和 ~ B 的相对闵可夫斯基距离。其中 p 为适当选择的参数。 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 p p D A B A u B u u 1/ ~ ~ 3 ( ) ( ) d 1 ( , ) ~ ~ − − = 下面这一种模糊距离也是经常用到的： 设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，则 ~ A 和 ~ B 的距离可以定义为 = = − − = n i A i B i n i A i B i u u u u D A B 1 1 ~ ~ 4 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( , ) ~ ~ ~ ~ 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 + − = u u u u u u D A B A B A B ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( , ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 3.贴近度 上面的模糊距离刻划了两模糊集之间“相距多远”，并且，如 果两模糊集之间的模糊距离越大，认为此两模糊集之间就相距越 远，否则，就相距越近。下面将要讨论的贴近度则刻划了两模糊集
之间的贴近程度。同模糊距离一样,在工程方案设计中,贴近度也 是一个十分有用的概念 [定义2-7]一般地,对于论域U上的两个模糊集A和B的贴近度, 记为a(A,B),要求满足 o(A,A)=1:(U,φ)=0 o(A,B)=a(B,A)≥0 若对于任意u∈U,有A(u)≤g(u)≤pC(l)或者 4()≥HB(u)≥c(u),则有 (A,B)≥a(A,C) 常用的贴近度包括距离贴近度、基于基数的贴近度和格贴近 度。与上述模糊距离相对应,距离贴近度又有海明贴近度、欧几里 得贴近度、闵可夫斯基贴近度和其它形式的贴近度。 [定义2-8](海明贴近度)设A和B是论域U={u1,u2…,un}上的 两个模糊集,则称 (421-242=1-10)-u 为海明贴近度 当U=[a,]是实数轴上的有限闭区间时,则有 G1(A,B)=1 (u)-HB(u)du B [定义2-9](欧几里得贴近度)设A和B是论域U={1,2x…,un} 上的两个模糊集,则称 2(A,B)=1-D2(A,B)=1 (A(l1)-2(1)
26 之间的贴近程度。同模糊距离一样，在工程方案设计中，贴近度也 是一个十分有用的概念。 [定义 2-7] 一般地，对于论域 U 上的两个模糊集 ~ A 和 ~ B 的贴近度， 记为 ( , ) ~ ~ A B ，要求满足 ⚫ ( , ) 1 ~ ~ A A = ； (U,) = 0 ⚫ ( , ) ( , ) 0 ~ ~ ~ ~ A B = B A ⚫ 若对于任意 uU ，有 ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ A u B u C u 或者 ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ A u B u C u ，则有 ( , ) ( , ) ~ ~ ~ ~ A B A C 常用的贴近度包括距离贴近度、基于基数的贴近度和格贴近 度。与上述模糊距离相对应，距离贴近度又有海明贴近度、欧几里 得贴近度、闵可夫斯基贴近度和其它形式的贴近度。 [定义2-8] (海明贴近度) 设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的 两个模糊集，则称 ( , ) 1 ( , ) ~ ~ 1 ~ ~ 1 A B = − D A B = = − − n i A ui B ui n 1 ( ) ( ) 1 1 ~ ~ 为海明贴近度。 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 A B A (u) B (u)du 1 ( , ) 1 ~ ~ ~ ~ 1 − − = − [定义2-9] (欧几里得贴近度) 设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，则称 ( , ) 1 ( , ) ~ ~ 2 ~ ~ 2 A B = − D A B = = − − n i A ui B ui n 1 2 ( ( ) ( )) 1 1 ~ ~
为欧几里得贴近度 当U=[a,B是实数轴上的有限闭区间时,则有 2(A,B)=1 (44(u)-y(a)2da [定义2-10](闵可夫斯基贴近度)设A和B是论域 U={u1,u2x…,un}上的两个模糊集,则称 a3(A,B)=1-[D(A,B)=1-2(1)-2(u 为闵可夫斯基贴近度 当U=[a,6是实数轴上的有限闭区间时,则有 o3(A,B)=1 u,(u)-uB(u d 除上面三种与模糊距离相对应的贴近度外,还有下面一种常用 的与距离相对应的另一种形式的贴近度 A(1)-pB(u1 4(A,B)=1-D4(A,B)=1- ∑(1(u1)+2(u2) 当U=[a,B是实数轴上的有限闭区间时,则有 4(n)-H2()d 4(A,B)=1 (,(u)+uB(u))du 下面介绍两种基于基数的贴近度。 [定义2-11(基于基数的贴近度)设A和B是论域
27 为欧几里得贴近度。 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 − − = − A B ( A (u) B (u)) du 1 ( , ) 1 2 ~ ~ 2 ~ ~ [ 定 义 2-10] ( 闵 可 夫 斯 基 贴 近 度 ) 设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，则称 p (A, B) 1 [D (A, B)] ~ ~ 3 ~ ~ 3 = − p n i A ui B ui n = = − − 1 ( ) ( ) 1 1 ~ ~ 为闵可夫斯基贴近度。 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 A B u u u p A ( ) B ( ) d 1 ( , ) 1 ~ ~ ~ ~ 3 − − = − 除上面三种与模糊距离相对应的贴近度外，还有下面一种常用 的与距离相对应的另一种形式的贴近度 ( , ) 1 ( , ) ~ ~ 4 ~ ~ 4 A B = − D A B = = + − = − n i A i B i n i A i B i u u u u 1 1 ( ( ) ( )) ( ) ( ) 1 ~ ~ ~ ~ 当 U = [, ] 是实数轴上的有限闭区间时，则有 + − = − u u u u u u A B A B A B ( ( ) ( ))d ( ) ( ) d ( , ) 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 下面介绍两种基于基数的贴近度。 [ 定 义 2-11] （ 基 于 基 数 的 贴 近 度 ） 设 ~ A 和 ~ B 是论域
U={u1,l2x…,un}上的两个模糊集,则称 nB∑a1(n)A2(n 042)=14uA)vp( 当扎UB=时 为基于基数的贴近度 式中,A=∑H(n2)称为模糊集A的基数。 4∩B2∑1(x)AH2(x2) 当儿UB≠阴 06(A,B)=A+B u(u )+2AB(u, 同模糊语义距离一样,贴近度在工程方案设计中也有着广泛的 应用 4.相似度 为了刻划两模糊集之间的相似程度,除可以采用上述介绍的各 种模糊距离、贴近度外,还可以采用下面介绍的两模糊集之间的相 似度来刻划 设A和B是论域U={u1,l12…,un}上的两个模糊集,为了讨 论方便,现用两个模糊向量 A=( B=(b,b2…,bn) 来表示论域U={u1,2…,Ln}中所有元素l1(=1,2…,n)隶属于
28 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，则称 = = = = 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( , ) 1 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 ~ ~ ~ ~ n i A i B i n i A i B i u u u u A B A B A B 当 时 当 时 = ~ ~ ~ ~ A B A B 为基于基数的贴近度。 式中， = = n i A A ui 1 ~ ( ) ~ 称为模糊集 ~ A 的基数。 + = + = = = = 0 ( ) ( ) 2 [ ( ) ( )] 2 ( , ) 1 1 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 6 ~ ~ ~ ~ n i n i A i B i n i A i B i u u u u A B A B A B 当 时 当 时 = ~ ~ ~ ~ A B A B 同模糊语义距离一样，贴近度在工程方案设计中也有着广泛的 应用。 4.相似度 为了刻划两模糊集之间的相似程度，除可以采用上述介绍的各 种模糊距离、贴近度外，还可以采用下面介绍的两模糊集之间的相 似度来刻划。 设 ~ A 和 ~ B 是论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 上的两个模糊集，为了讨 论方便，现用两个模糊向量 ( , ,..., ) 1 2 ~ A = a a an ( , ,..., ) 1 2 ~ B = b b bn 来表示论域 { , ,..., } U = u1 u2 un 中所有元素 u (i 1,2,...,n) i = 隶属于