第一章数字电路基础 目的要求: 1.了解正逻辑与负逻辑规定,掌握逻辑运算中的三种基本运算:与、或、非运 2.掌握常用的逻辑函数表示方法及它们之间相互转换 3.掌握逻辑代数的定律和运算规律。 4.掌握逻辑函数的代数法化简和卡诺图化简法。 主要内容: 1.逻辑运算中的三种基本运算,逻辑函数表示方法及它们之间相互转换 2.逻辑代数的定律和运算规则 3.逻辑函数的代数化简法 4最小项的定义与性质,逻辑函数的最小项表达式。逻辑函数的卡诺图化简法 5.无关项的概念,具有无关项函数的卡诺图化简法 三.重点和难点: 1.逻辑运算中的三种基本运算,逻辑函数表示方法及它们之间相互转换 2.用代数法化简逻辑函数的方法(难点) 3.逻辑函数的卡诺图化简法(难点) 四.课时数:12学时 1.1逻辑代数的基本运算 基本概念 1.数字信号的特点 数字信号在时间上和数值上均是离散的。 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流
第一章 数字电路基础 一．目的要求： 1．了解正逻辑与负逻辑规定，掌握逻辑运算中的三种基本运算：与、或、非运 算。 2．掌握常用的逻辑函数表示方法及它们之间相互转换. 3．掌握逻辑代数的定律和运算规律。 4．掌握逻辑函数的代数法化简和卡诺图化简法。 二．主要内容： 1．逻辑运算中的三种基本运算，逻辑函数表示方法及它们之间相互转换。 2．逻辑代数的定律和运算规则 3．逻辑函数的代数化简法 4 最小项的定义与性质，逻辑函数的最小项表达式。逻辑函数的卡诺图化简法 5．无关项的概念，具有无关项函数的卡诺图化简法 三．重点和难点： 1．逻辑运算中的三种基本运算，逻辑函数表示方法及它们之间相互转换. 2． 用代数法化简逻辑函数的方法(难点) 3．逻辑函数的卡诺图化简法(难点) 四．课时数：12 学时 1．1 逻辑代数的基本运算 一、 基本概念 1.数字信号的特点 数字信号在时间上和数值上均是离散的。 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。 V t (V) (ms) 5 0 10 20 30 40 50
图1.1典型的数字信号 2、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号,用两个电平(高电平和低电平)分别来表示两个逻辑 值(逻辑1和逻辑0) 有两种逻辑体制: 正逻辑体制规定:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0 负逻辑体制规定:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0 如果采用正逻辑,图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。 逻辑1 3、在数字电路中,输入信号是“条件”,输出信号是“结果”,因此输入、输出 之间存在一定的因果关系,称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、图形和真值 表来描述。 、基本逻辑运算 1.与运算一一只有当决定一件事情的条件全部具备之后,这件事情才会发生。 我们把这种因果关系称为与逻辑。 与逻辑举例:图1.2(a)所示,A、B是两个串联开关,L是灯,用开关控制灯 亮和灭的关系如图2(b)所示。 设1表示开关闭合或灯亮;0表示开关不闭合或灯不亮,则得真值表图2(c)所
图 1.1 典型的数字信号 2、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑 值（逻辑 1 和逻辑 0） 有两种逻辑体制： 正逻辑体制规定：高电平为逻辑 1，低电平为逻辑 0。 负逻辑体制规定：低电平为逻辑 1，高电平为逻辑 0。 如果采用正逻辑，图 1.1 所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。 逻辑0 逻辑1 逻辑0 逻辑1 逻辑0 3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出 之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、图形和真值 表来描述。 二、基本逻辑运算 1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。 我们把这种因果关系称为与逻辑。 与逻辑举例：图 1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯 亮和灭的关系如图 2（b）所示。 设 1 表示开关闭合或灯亮；0 表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图 2（c）所 示
灯L 不闭合不闭合不亮 L 不闭合闭合 闭合不闭合不亮 闭合闭合 亮 (c) 图1.2与逻辑运算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符 若用逻辑表达式来描述,则可写为L=A.B 与运算的规则为:“输入有0,输出为0:输入全1,输出为1”。 数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路,其逻辑符号如图(d)所示。 与运算可以推广到多变量:L=A.B·C… 2.或运算一一当决定一件事情的几个条件中,只要有一个或一个以上条件具备, 这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。 或逻辑举例:如图1.3(a)所示,或运算的真值表如图1.3(b)所示,逻 辑真值表如图1.3(c)所示。若用逻辑表达式来描述,则可写为 L=A+B 或运算的规则为:“输入有1,输出为1;输入全0,输出为0
V A L B (a) A B L 不闭合 不闭合 不亮 灯 不闭合 闭合 不亮 闭合 闭合 闭合 亮 不闭合 不亮 A B L 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 A & B L=A· B (b) (c) (d) 图 1.2 与逻辑运算 （a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符 若用逻辑表达式来描述，则可写为 与运算的规则为： “输入有 0，输出为 0；输入全 1，输出为 1”。 数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。 与运算可以推广到多变量： L A B C …… 2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备， 这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。 或逻辑举例：如图 1.3（a）所示，或运算的真值表如图 1.3（b）所示，逻 辑真值表如图 1.3（c）所示。若用逻辑表达式来描述，则可写为 L＝A+B 或运算的规则为：“输入有 1，输出为 1；输入全 0，输出为 0”。 L A B
开关A开 灯L 不闭合不闭合 不闭合闭合 闭合不闭合亮 闭合闭合 亮 B L=A+B 0 0 (c) 图1.3或逻辑运算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符号 在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路,其逻辑符号如图(d)所 示。或运算也可以推广到多变量:L=A+B+C+…… 3.非运算一一某事情发生与否,仅取决于一个条件,而且是对该条件的否定。 即条件具备时事情不发生;条件不具备时事情才发生 非逻辑举例:例如图14(a)所示的电路,当开关A闭合时,灯不亮;而当 A不闭合时,灯亮。其真值表如图14(b)所示,逻辑真值表如图14(c)所示。 若用逻 辑表达 开关A 灯 式来描 不闭合 闭合 不亮 述,则 可写 为 L=A A 1.4非 逻辑 算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符号
V A 开关 (d) L=A (c) 0 (b) 1 L=A 1 不闭合 A 0 闭合 不亮 A 灯 L 亮 (a) R L A A L=A 1 1 图 1.3 或逻辑运算 （a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号 在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所 示。或运算也可以推广到多变量： L A B C …… 3．非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。 即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例：例如图 1.4（a）所示的电路，当开关 A 闭合时，灯不亮；而当 A 不闭合时，灯亮。其真值表如图 1.4（b）所示，逻辑真值表如图 1.4（c）所示。 若用逻 辑表达 式来描 述，则 可 写 为 : L A 图 1.4 非 逻 辑 运 算 （a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号 V A B L (a) L 不闭合 不闭合 不亮 灯 不闭合 闭合 亮 闭合 闭合 闭合 亮 不闭合 亮 A B 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 A B L=A+B (b) (c) (d) ≥1 L=A+B 开关A 开关B
三、其他常用逻辑运算 1.与非一一由与运算和非运算组合而成 BL=A.B A00 0 L=A.B 0 图1.5与非逻辑运算 (a)逻辑真值表(b)逻辑符号 2.或非一一由或运算和非运算组合而成 若用逻辑表达式来描述,则可写为 L=A+B 00 L=A+B 图1.6或非逻辑运算 (a)逻辑真值表(b)逻辑符号 异或运算: 异或是一种二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数值为0;当 两个变量取值不同时,逻辑函数值为1。 0 L=4)B 图1.7异或逻辑运算(a)逻辑真值表b)逻辑符号
三、其他常用逻辑运算 1．与非 ——由与运算和非运算组合而成。 A B 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 A & B L=A·B (a) (b) L=A·B 图 1.5 与非逻辑运算 （a） 逻辑真值表 （b）逻辑符号 2．或非 ——由或运算和非运算组合而成。 若用逻辑表达式来描述，则可写为 1 0 A B 1 1 0 1 L=A+B A 0 0 B 1 (a) (b) 0 0 0 L=A+B ≥1 图 1.6 或非逻辑运算 （a）逻辑真值表 （b）逻辑符号 3．异或运算： 异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为 0；当 两个变量取值不同时，逻辑函数值为 1。 图 1.7 异或逻辑运算 （a）逻辑真值表 （b）逻辑符号 0 1 1 0 (b) B A 0 A B 1 0 1 0 1 (a) 0 1 L=A =1 A + B + B
异或的逻辑表达式为=AB=B+AB 四、逻辑函数及其表示方法 (一).逻辑函数的建立 【例1.1】三个人表决一件事情,结果按“少数服从多数”的原则决定,试 建立该逻辑函数。 解:第一步:设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量A、B、C 并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量L,显然也只有 两个情况。 第二步:状态赋值。对于自变量A、B、C设:同意为逻辑“1”,不同意为 逻辑“0”。对于因变量L设:事情通过为逻辑“1”,没通过为逻辑“0”。 第三步:根据题义及上述规定列出函数的真值表如表1.1所示。 由真值表可以看出,当自变量A、B、C取确定值后,因变量L的值就完全 确定了。所以,L就是A、B、C的函数。A、B、C常称为输入逻辑变量,L称 为输出逻辑变量。 般地说,若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后,输出逻辑变量L 的值也唯一地确定了,就称L是A、B、C…的逻辑函数,写作 L=f(A,B,C… 表1.1例1.1真值表 A B C 000 001 L000 110
异或的逻辑表达式为： 四、逻辑函数及其表示方法 （一）．逻辑函数的建立 【例 1.1】三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试 建立该逻辑函数。 解：第一步：设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量 A、B、C， 并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量 L，显然也只有 两个情况。 第二步：状态赋值。对于自变量 A、B、C 设：同意为逻辑“1”，不同意为 逻辑“0”。对于因变量 L 设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。 第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表如表 1.1 所示。 由真值表可以看出，当自变量 A、B、C 取确定值后，因变量 L 的值就完全 确定了。所以，L 就是 A、B、C 的函数。A、B、C 常称为输入逻辑变量，L 称 为输出逻辑变量。 一般地说，若输入逻辑变量 A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量 L 的值也唯一地确定了，就称 L 是 A、B、C…的逻辑函数，写作： L=f（A，B，C…） 表 1.1 例 1.1 真值表 A B C L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 L A B AB AB
逻辑函数与普通代数中的函数相比较,有两个突出的特点 (1)逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1 (2)函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。 (二).逻辑函数的表示方法 一个逻辑函数有四种表示方法,即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图 这里先介绍前三种。 1.真值表—一将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起 而组成的表格。 为避免遗漏,各变量的取值组合应按照二进制递增的次序排列。 真值表的特点: (1)直观明了。输入变量取值一旦确定后,即可在真值表中查出相应的函 数值 (2)把一个实际的逻辑问题抽象成一个逻辑函数时,使用真值表是最方便 的。所以,在设计逻辑电路时,总是先根据设计要求列出真值表。 (3)真值表的缺点是,当变量比较多时,表比较大,显得过于繁琐。 2.函数表达式一一由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达 式 由真值表可以转换为函数表达式。例如,由“三人表决”函数的真值表可写出逻 辑表达式: L= ABC+abC+abC+abc 反之,由函数表达式也可以转换成真值表 L=A·B+A·B的真值表 【例1.2】列出下列函数的真值表:L=A.B+A.B A B 解:该函数有两个变量,有4种取值的可能组合, L1001 将他们按顺序排列起来,由函数表达式算出L即得真值 表,如右表所示 逻辑图一逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值 0 和 1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。 （二）． 逻辑函数的表示方法 一个逻辑函数有四种表示方法，即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图。 这里先介绍前三种。 1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起 而组成的表格。 为避免遗漏，各变量的取值组合应按照二进制递增的次序排列。 真值表的特点： （1）直观明了。输入变量取值一旦确定后，即可在真值表中查出相应的函 数值。 （2）把一个实际的逻辑问题抽象成一个逻辑函数时，使用真值表是最方便 的。所以，在设计逻辑电路时，总是先根据设计要求列出真值表。 （3）真值表的缺点是，当变量比较多时，表比较大，显得过于繁琐。 2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达 式。 由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻 辑表达式： 反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 【例 1.2】列出下列函数的真值表： L A B A B 解：该函数有两个变量，有 4 种取值的可能组合， 将他们按顺序排列起来,由函数表达式算出 L 即得真值 表,如右表所示。 3．逻辑图—逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成 L ABC ABC ABC ABC
的图形 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由逻辑图也可以写出其相应的函数 表达式。 【例1.3】画出下列函数的逻辑图:L=A.B+A.B 解:可用两个非门、两个与门和一个或门组成。 【例1.4】写出如图所示逻辑图的函数表达式 解:可由输入至输出逐步写出逻辑表达式: L=AB+bc+ac 1.2逻辑代数的定律和运算规则 逻辑代数的基本公式
的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由逻辑图也可以写出其相应的函数 表达式。 【例 1.3】 画出下列函数的逻辑图： L A B A B 解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。 【例 1.4】写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式： 1．2 逻辑代数的定律和运算规则 一、逻辑代数的基本公式 L AB BC AC
名称 公式1 公式2 A.1=A A+0=A 律 A.0=0 A+1=1 互补律 AA=0 A+A=1 重叠律 AA= A A+A=A 交换律 AB= BA A+b=b+A 结合律 A(BC)=(AB)C A+(B+)=(A+B)+C 分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C 反演律 Ab= A+B +BE Al(A+B)=A A+AB= A 吸收律 A A+B)=AB A+AB= A+B 4+4+4+048+448++864+c 对合律 A=A 公式的证明方法: 1)用简单的公式证明略为复杂的公式 【例2.1】证明吸收律:A+AB=A+B 证:A+AB=AB+B)+AB =AB+Ab+ aB AB+Ab+aB+ AB A(B+B)+B(A+A) a+ B 2)用真值表证明,即检验等式两边函数的真值表是否一致。 【例2.2】用真值表证明反演律AB=A+B 表1证明AB=A+B B AtB 、逻辑代数的基本规则 1.代入规则 对于任何一个逻辑等式,以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何
公式的证明方法： 1）用简单的公式证明略为复杂的公式。 【例 2.1】证明吸收律: 证： 2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 【例 2.2】 用真值表证明反演律 二、逻辑代数的基本规则 1 .代入规则 对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何 A AB A B A AB A(B B) AB AB AB AB AB AB AB AB A ( B B ) B ( A A ) A B AB A B
个逻辑变量后,等式依然成立。 例如,在反演律中用BC去代替等式中的B,则新的等式仍成立: AbC=A+BC=a+b+c 2.对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换: , 所得新函数表达式叫做L的对偶式,用L表示。 对偶规则的基本内容是:如果两个逻辑函数表达式相等,那么它们的对偶式 也一定相等。 基本公式中的公式1和公式2就互为对偶式。 3.反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换: , 原变量→反变量,反变量→原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数,用L表示。 利用反演规则,可以非常方便地求得一个函数的反函数 L=AC +BD 【例2.3】求以下函数的反函数: 解:L=(A+C)(B+D) 【例2.4】求以下函数的反函数:L=AB+C+D L=A+B.C·D 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点 (1)保持运算的优先顺序不变,必要时加括号表明,如【例2.3】。 (2)变换中,几个变量(一个以上)的公共非号保持不变,如【例2.4】
一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用 BC 去代替等式中的 B，则新的等式仍成立： 2 .对偶规则 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 → 0 所得新函数表达式叫做 L 的对偶式，用 L`表示。 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它们的对偶式 也一定相等。 基本公式中的公式 l 和公式 2 就互为对偶式。 3 .反演规则 将一个逻辑函数 L 进行下列变换： ·→＋，＋ →· ； 0 → 1，1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做 L 的反函数，用 L 表示。 利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 【例 2.3】求以下函数的反函数： 解： 【例 2.4】求以下函数的反函数： 解： 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如【例 2.3】。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如【例 2.4】。 ABC A BC A B C L AC BD L (AC)(B D) L ABC D L A BC D