第1页第四章大数定律与中心极限定理$4.4中心极限定理4.4.1独立随机变量和设（X）为独立随机变量序列，记其和为讨论独立随机变量和的极限分布本指出极限分布为正态分布4April 2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §4.4 中心极限定理 ➢ 讨论独立随机变量和的极限分布, ➢ 本指出极限分布为正态分布. 4.4.1 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 1 n i i Y X n = =
第2页第四章大数定律与中心极限定理4.4.2独立同分布下的中心极限定理YXY= X.tX,+Xn定理4.4.1林德贝格一勒维中心极限定理E()=n μ2M设(X)为独立同分布随机变量序列，数学期DYI=nG望为μ,方差为2>0，则当n充分大时，有Yo-nX -nμep=4)*EYX)=0,f-limP(=Φ(y)yn→00an F(y)=)当ni寸，F(u)应用之例：误差分析正态随机数的产生；XiMukY*M(oU)4 April 2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第2页 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有 1 lim ( ) n i i n X n n P y y = → − = 应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
第3页第四章大数定律与中心极限定理例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率？解：设箱中第i袋味精的净重为X，则X独立同分布，且E(X)=100，Var(X)=100,由中心极限定理得，所求概率为：20020500-200×100X,>20500~1-ΦV200×100=1-Φ(3.54)=0.0002(很小)故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.00024 April 2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第3页 例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi , 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi )=100，Var(Xi ) =100， 由中心极限定理得，所求概率为： 200 1 20500 200 100 20500 1 200 100 i i P X = − − = − 1 (3.54) = 0.0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
第4页第四章大数定律与中心极限定理例4.4.2设X为一次射击中命中的环数，其分布列为X108670.030.80.10.050.02P求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率解：设X为第i次射击命中的环数，则X独立同分布且E(X)=9.62，Var(X)=0.82，故O930-100×9.62900-100×9.62900930L100x0.82V100x0.82=Φ(- 3.53)-Φ(6.85)= 0.999794 April 2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第4页 例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. X P 10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03 解: 设 Xi为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布， 且 E(Xi ) =9.62，Var(Xi )=0.82，故 100 1 930 100 9.62 900 100 9.62 900 930 100 0.82 100 0.82 i i P X = − − − = − − ( 3.53) (6.85) = 0.99979
第5页第四章大数定律与中心极限定理4.4.3二项分布的正态近似定理4.4.2莫弗一拉普拉斯中心极限定理设u,为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当nXinbu.p)充分大时，有从=芝XiN(npp&)XX,-Xn iidμn-nplim P≤y(=Φ(y)n-002Xi-Pnpqy)ImtH是林德贝格一勒维中心极限定理的特例4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第5页 4.4.3 二项分布的正态近似 定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有 lim ( ) n n np npq P y y → − = 是林德贝格—勒维中心极限定理的特例
第6页第四章大数定律与中心极限定理下面的图形表明：正态分布是二项分布的逼近D.14n=1000.p=0.010.2n=500.p=0.010.1750.12k-npk-np100.150.1VapgVnpqVapqVnpq0.1250.08ptg'0.1pqrkD.060.075D.040.050.025D.0226810121141610152052530n=10000.p=0.0050.14n=5000.p=0.005D.061npPpqn-k0.12D.05KVnpg-papg0.1VnpaVnpg0.04D.08D.030.060.02D.04D.01D.022030403540505510456065704April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第6页 下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近
第7页第四章大数定律与中心极限定理注意点(1)二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正福P(k≤μn≤k2)= P(ki -0.5<μn<k2 +0.5)k, +0.5-npk-0.5-npdJnpqJnpq4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第7页 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正： 注 意 点 (1) ( 1 2 1 2 ) ( ) 2 1 0.5 0.5 0.5 0.5 P k k P k k n n k np k np npq npq = − + + − − − −
第8页第四章大数定律与中心极限定理注意点(2)中心极限定理的应用有三大类：已知n和y，求概率；已知n和概率，求y；1已知和概率，求ni11)4April2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第8页 中心极限定理的应用有三大类： 注 意 点 (2) ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n . i) 已知 n 和 y，求概率；
第9页第四章大数定律与中心极限定理给定n 和y，求概率例4.4.3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率解:用月X=1表示第i个部件正常工作，反之记为X=0又记Y=X,+X2+...+X100，则 E(Y)-90，Var(Y)-9由此得：85-0.5-90=0.966.P(Y ≥85)~1-DV94 April 2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第9页 一、给定 n 和 y，求概率 例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率. 解：用 由此得： Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+.+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9. 1 85 0.5 90 { 85} 0.966 9 P Y − . − − =
第四章大数定律与中心极限定理第10页给定n 和概率，求二例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力，才可有95%的可能性保证正常生产？解：用X=1表示第台机床正常工作，反之记为X=0又记Y=X,+X,+...+X200则E(Y)=140，Var(Y)=42设供电量为y，则从y/15+0.5-140≥0.95P(15Y ≤y) ~0V42中解得y≥22524 April 2025华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理 4 April 2025 华东师范大学 第10页 二、给定 n 和概率，求 y 例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产? 解：用 设供电量为y, 则从 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+.+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. /15 0.5 140 {15 } 0.95 42 y P Y y + − 中解得 y 2252