华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 参数估计 §6.2 点估计的评价标准

第1页第六章参数估计96.2点估计的评价标准6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。但如果我们有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。4 April 2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第1页 §6.2 点估计的评价标准 6.2.1 相合性 我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机 变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它 完全等同于参数的真实取值。但如果我们有足够的 观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增 大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可 以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真 值，这就是相合性，严格定义如下

第六章参数估计第2页定义6.21设θE0为未知参数，,=℃（x,…,x是0的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个>0，有limn- P(10, (62))= 0则称讷参数的相合估计。4 April 2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第2页 定义6.2.1 设 ∈Θ为未知参数， 是 的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一 个ε>0，有 (6.2.1) 则称 为 参数的相合估计。 1 ˆ ˆ ( , , ) n n n   = x x ˆ lim (| | ) 0 n n → P    −  = ˆ n

第3页第六章参数估计相合性被认为是对估计的一个最基本要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计是很值得怀疑的。通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证.4April2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第3页 相合性被认为是对估计的一个最基本要求, 如 果一个估计量, 在样本量不断增大时，它都 不能把被估参数估计到任意指定的精度, 那 么这个估计是很值得怀疑的。 通常, 不满足 相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计 的相合性一般可应用大数定律或直接由定义 来证

第六章参数估计第4页看作一个随若把依赖于样本量n的估计量机变量序列,相合性就是依概率收敛于e,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律4 April 2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第4页 若把依赖于样本量n的估计量 看作一个随 机变量序列,相合性就是 依概率收敛于, 所以证明估计的相合性可应用依概率收敛 的性质及各种大数定律。 ˆ n ˆ n

第5页第六章参数估计在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的定理6.2.1设,=0,(x是,的一个估计量，若limn- E(0,)=0, limn- Var(e,)=0则提0的相合估计，定理6.2.2若é，分别是，，Q的相合估计，n=g(，…，)是，…,的连续函数，则n,=g(e,是n的相合估计。4 April 2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第5页 在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设 是 的一个估计量，若 则 是 的相合估计， 1 ˆ ˆ ( , , ) n n n   = x x ˆ ˆ lim ( ) , lim ( ) 0 n n n n → → E Var    = = ˆ n 1 ˆ ˆ , ,   n nk 1 ˆ ˆ ˆ ( , , ) n n nk    = g 定理6.2.2 若 分别是1 , ., k 的相合估 计， =g(1 , ., k ) 是1 , ., k 的连续函数，则 是 的相合估计

第6页第六章参数估计无偏性6.2.2定义6.22设é=x是α的一个估计0的参数空间为①，若对任意的QE①，有E(0)=0则称暴0的无偏估计，否则称为有偏估计。4April2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第6页 6.2.2 无偏性 定义6.2.2 设 是 的一个估计，  的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有 则称 是 的无偏估计，否则称为有偏估计。 1 ˆ ˆ ( , , ) n  = x x ˆ E( )   = ˆ 

第六章参数估计第7页例6.2.4对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体阶矩存在时，样本阶原点矩a，是总体阶原点矩u的无偏估计。但对中心矩则不一样，臂如，由于E(s)="样本方差s不是总体方差。的无偏估计，对此，有如下两点说明：(1）当样本量趋于无穷时，有E(s"）→α2我们称s为的渐近无偏估计若对s作如下修正：2_ns(2)(x -x)1-则s是总体方差的无偏估计。4 April 2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第7页 例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无 偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是 总体k阶原点矩 k的无偏估计。但对中心矩则不一 样，譬如，由于 ，样本方差s* 2不是总体方 差 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s * 2 ) → 2 ， 我们称 s* 2 为 2的渐近无偏估计。 (2) 若对s* 2作如下修正： ， 则 s 2 是总体方差的无偏估计。 2 2 * 1 ( ) n E s n  − = 2 2 2 1 * 1 ( ) 1 1 n i i ns s x x n n = = = − − − 

第六章参数估计第8页有效性6.2.3设定义6.2.3是0的两价无偏估计，如果对任意的θE?有Var(e)≤ Var(e,)且至少有一个0E①使得上述不等号严格成立，则称比有效。éé,4April2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第8页 6.2.3 有效性 定义6.2.3 设 是 的两个无偏估计，如果对任意的 ∈Θ, 有 且至少有一个 ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称 比 有效。 1 2 ˆ ˆ  , 1 2 Var( ) Var( ), ˆ ˆ    1 ˆ  2 ˆ 

第六章参数估计第9页例6.2.6设x，xz，…，x是取自某总体的样本，记总体均值为u，总体方差为。？，则==X都是μ的无偏估计，但Var(i)=α?,Var(i,)=α? / n显然，只要n>1，比有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。4 April 2025华东师范大学

第六章 参数估计 4 April 2025 华东师范大学 第9页 例6.2.6 设 x1 , x2 ,., xn是取自某总体的样本，记总 体均值为 ，总体方差为 2，则 , , 都是 的无偏估计，但 显然，只要 n>1， 比 有效。这表明用全部数 据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更 有效。 1 1  ˆ = x 2  ˆ = x 2 2 1 2 Var( ) , Var( ) /     ˆ = = ˆ n 2  ˆ 1  ˆ