微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 第八章连续域-离散化设计 81设计的基本原理 域设计控制器(连续) 反馈控制理论 现代控制理论(1) →连续域离散化(8章 D(二)实现:74 z域设计控制器(离散):910章 连续域一离散化设计方法:Ds)→D(z) 控制器软件的实现过程: 1)根据被控对象的传递函数G(S),按连续系统的分析与设计方法设计D(s) 稳(稳定性):稳定裕度(幅值裕度和相角裕度) 准(稳态误差):位置、速度和加速度误差系数 快〔动态性能指标):谐振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比 最小拍:在离散系统中,调节时间的长短以采样周期个数表示,一个采样周期称一拍,调节时间最短的系 统称最小拍 )根据系统特性和要求选T(9章) 4)标准D(s)与D(z)性能对比 5)由D(=)求差分方程,编软件程序 6)系统调试 82冲击响应不变法(z变换) 、定义:①∠[D(s)=D(=) 特性: 1频率坐标变换是线性(→oT)变换 说线性不妥,有超越函数e D()or=D*(s)ssio/me T s D(jo±jmno3) O,太小易混叠,应提高O 2若D(s)稳定,则D(=)稳定
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 1 第八章 连续域-离散化设计 8.1 设计的基本原理 ( ) 7.4 z 9 10 8 11 实现： 域设计控制器（离散）：、 章 连续域离散化（ 章） 现代控制理论（ 章） 反馈控制理论 域设计控制器（连续）： D z s → 连续域－离散化设计方法：D(s)→ D(z) 控制器软件的实现过程： 1）根据被控对象的传递函数 G(s) ，按连续系统的分析与设计方法设计 D(s) 稳（稳定性）：稳定裕度（幅值裕度和相角裕度） 准（稳态误差）：位置、速度和加速度误差系数 快（动态性能指标）：谐振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比 最小拍：在离散系统中，调节时间的长短以采样周期个数表示，一个采样周期称一拍，调节时间最短的系 统称最小拍 2）根据系统特性和要求选 T（9 章） 3）D(s)→ D(z) 4）标准 D(s) 与 D(z) 性能对比 5）由 D(z) 求差分方程，编软件程序 6）系统调试 8.2 冲击响应不变法（Z 变换） 一、定义：○1 Z[D(s)] = D(z) ； 二、特性： 1 频率坐标变换是线性（ →T ）变换 说线性不妥，有超越函数 e + =− = = = = n s z e s j j n D j j n T D z D s s j T ( ) 1 ( ) *( ) s 太小易混叠，应提高 s 2 若 D(s) 稳定，则 D(z) 稳定 s z
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 稳定域 极点 P 3D(s)与D(z)的冲击响应相同 冲击响应为δ(t),其拉氏变换为L(1)]=1,若输入为冲击响应,则R(s)=L[b(l)=1 D(=)=2[D(s)R()=2[D(s) 若不为冲击响应,则 D()=ZID(SR(SJ+ ZID(S)] 4无串联性 ZID(S)D(S)]+ Z[D(SIZLD,(S) 注意:若保持增益不变,根据 )=D*(S) D(jo±ino) 则D(二)=TZD(s 例题 例:已知DYx)3∠,1201s,求D() 解:D()=Z[]=3 s+2 e 2×0.01--1 例:已知D(s) (S+1)2,T=1s,求D() 解:D(=)=Z
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 2 稳定域 j 极点 Pi piT e 3 D(s) 与 D(z) 的冲击响应相同 冲击响应为 (t) ，其拉氏变换为 L[ (t)] = 1 ，若输入为冲击响应，则 R(s) = L[ (t)] = 1 D(z) = Z[D(s)R(s)] = Z[D(s)] 若不为冲击响应，则 D(z) = Z[D(s)R(s)] Z[D(s)] 4 无串联性 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 1 2 1 2 Z D s D s Z D s Z D s 注意：若保持增益不变，根据 + =− = = = = n s z e s j j n D j j n T D z D s s j T ( ) 1 ( ) *( ) 则 ( ) [ ( )] * D z = TZ D s 三、例题 例：已知 2 3 ( ) + = s D s ，T=0.01s，求 D(z) 解： 2 0.01 1 1 1 ] 3 2 3 ( ) [ − − − = + = s e z D z Z 例：已知 2 ( 1) ( ) + = s s D s ，T=1s，求 D(z) 解： ] ( 1) ( ) [ 2 + = s s D z Z
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 (s-p)F(s)] d (s+1)2z-e (s+1)2 d (-e)+szTe' )2 (-e-Tze 83阶跃响应不变法 定义 ADg9=AA(ApDs249→(早 (1) 这种方法的思想是先将模拟控制器D(s)近似为加零阶保持器的系统,再将该系统用Z变换方法离散化为 数字控制器D(z) 数字控制器求法如下: D(=ZIG, (S)D(S)]=ZI D()=(1-x-)zs D(=)的单位阶跃响应Z变换为 y()=D(=)R()=(1-=-)2 上式表明采用零阶保持器Z变换法获得的数字控制器D(=)与原模拟控制器D(s)有相同的阶跃响应 序列,所以该方法称为阶跃响应不变法 特点 1它的频域轴坐标变换也是线性的(此种方法本质也是Z变换) 2D()和D(s)的阶跃响应序列相同,对于其他类型输入响应序列不同,只有近似关系 3D()和D(s)有相同稳定性
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 3 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d d ] ( 1) [( 1) d d ] ( 1) [( 1) d d lim [( ) ( ) ] d d lim ( 1)! 1 T T T s s T s T s T s s T s s T s T s s T q q i q s p i z e z e TZe z e z e sZTe z e zs s z e z s s s s z e z s s s s z e z s p F s q s R i − − − =− =− =− − →− − − → − − − = − − + = − = + − = + + − = + − − − = 8.3 阶跃响应不变法 一、定义 D(s) R(s) Y (s) a D(s) ( ) ~ R s ( ) ~ Y s a G (s) h R(s) ( ) * R s D(z) R(z) Y (z) a （1） （2） （3） 这种方法的思想是先将模拟控制器 D(s) 近似为加零阶保持器的系统，再将该系统用 Z 变换方法离散化为 数字控制器 D(z)。 数字控制器求法如下： ] ( ) ( )] (1 ) [ 1 ( ) [ ( ) ( )] [ 1 s D s D s z Z s e D z Z G s D s Z Ts h − − = − − = = D(z) 的单位阶跃响应 Z 变换为 ] ( ) [ (1 ) 1 ] ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) [ 1 1 s D s Z s z D s Yd z D z R z z Z = − = = − − − 上式表明采用零阶保持器 Z 变换法获得的数字控制器 D(z) 与原模拟控制器 D(s) 有相同的阶跃响应 序列，所以该方法称为阶跃响应不变法。 二、特点 1 它的频域轴坐标变换也是线性的（此种方法本质也是 Z 变换） 2 D(z) 和 D(s) 的阶跃响应序列相同，对于其他类型输入响应序列不同，只有近似关系 3 D(z) 和 D(s) 有相同稳定性
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 4此种变换方法使D(z)频率混叠特性减少 5D()能保持稳态增益不变 →0 ∑1 D().=D*(S)=m,Tn D(j±jno,) 6变换无串联性 三、例题 例:D(s) +1)2,7=1s 求D( D(=)=(1-2)Z[]=(1-x-)2[ s(s+1)2 ]=(1 84一阶差分近似法 阶后向差分 阶前向差分 D(-)=D(s)- D()=D(s)= 推导(1)P174 推导(2)P175 推导(3): 1-Ts+ 2 近似取级数前两项作为z与S近似关系,即z-1≈1-Ts 、特点 1直接代换,变换方便 2整个s左半平面映射到z平面圆心为(1/2,0)半径为1/2的单位圆 推导:P175 由于x≈1-Ts,s→z一一对应 3D(=)和D(s)有相同稳定性 4D(=)频率轴发生畸变
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 4 4 此种变换方法使 D(z) 频率混叠特性减少 5 D(z) 能保持稳态增益不变 Gh j = T →0 ( ) + =− = = = = n s z e s j j n D j j n T D z D s s j T ( ) 1 ( ) *( ) 6 变换无串联性 三、例题 例： 2 ( 1) ( ) + = s s D s ，T=1s，求 D(z) 2 1 2 1 1 ( ) ] (1 ) ( 1) 1 ] (1 ) [ ( ) ( ) (1 ) [ T T z e Tze z s s s z Z s D s D z z Z − − − − − − = − + = − = − 8.4 一阶差分近似法 一、定义 一阶后向差分 一阶前向差分 T z s D z D s 1 ( ) ( ) 1 − − = = T z s D(z) D(s) −1 = = 推导（1）P174 推导（2）P175 推导（3）： − = − = − + + 2! ( ) 1 2 1 Ts z e Ts Ts 近似取级数前两项作为 z 与 s 近似关系，即 z −Ts − 1 1 二、特点 1 直接代换，变换方便 2 整个 s 左半平面映射到 z 平面圆心为（1/2，0）半径为 1/2 的单位圆 推导：P175 由于 z −Ts − 1 1 ， s → z 一一对应。 非 j T z e = 3 D(z) 和 D(s) 有相同稳定性 4 D(z) 频率轴发生畸变
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 例:D(S)= (s+1)2Hl,求De) D(2)=(s+ S 85零极点匹配法 、定义 G(x)=x(s+=Xs+2)…(+ n>m (s+P1Ms+p2)…(S+pn) s+1)=(=--从(s+P)=(=-e) n>m,相当于在无穷远存在n-m个零点。若系统工作在主频区,即系统工作频率一≤0≤,所以 →∞,可以看作O→,因而相当于z→-1。因此s平面上的无穷零点,可以用z平面上的z→ 零极点匹配规则 1G(s)的所有的极点和所有的有限值零点按照二=e变换 2G(s)所有在s=∞处的零点变换成在z=-1处零点,即添加(1+x-)m项 3要保证变换前后增益不变,需进行增益匹配:低通通过G(s)==G()-求k:高通通过 G(二),求k 二、特点 1D(=)和D(s)有相同稳定性 2z平面的零极点一一对应 3增益按特定点核算 、例题 例:11。01≠·T=05,按低通求增益,求D() D(=)=k x-10=k2-0.951 0.607 有 1=k1-0951 解得k=802 1-0.607 例:D(s)= ,T=1s,按O=1求增益,求D(=) S+
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 5 例： 2 ( 1) ( ) + = s s D s ，T=1s，求 D(z) T z s s s D z 1 1 2 ( 1) ( ) − − = + = 8.5 零极点匹配法 一、定义 1 2 ( ) ( ),( ) ( ) 1 2 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) pi i i z i n s z z e s p z e m s p s p s p k s z s z s z G s − − + − + − + + + + + + = n m n m ，相当于在无穷远存在 n −m 个零点。若系统工作在主频区，即系统工作频率 T T − ，所以 → ，可以看作 T → ，因而相当于 z → −1 。因此 s 平面上的无穷零点，可以用 z 平面上的 z → −1 来匹配。 零极点匹配规则： 1 G(s) 的所有的极点和所有的有限值零点按照 Ts z = e 变换 2 G(s) 所有在 s = 处的零点变换成在 z = −1 处零点，即添加 n m z − − (1+ ) 1 项； 3 要保证 变换 前后增 益不变 ，需进 行增 益匹配 ：低通 通过 0 1 ( ) ( ) = = = s z G s G z 求 k； 高通通过 1 ( ) ( ) = =− = s z G s G z 求 k； 二、特点 1 D(z) 和 D(s) 有相同稳定性 2z 平面的零极点一一对应 3 增益按特定点核算 三、例题 例： 0.1 1 1 ( ) + + = s s D s ，T=0.05s，按低通求增益，求 D(z) 0.607 0.951 ( ) 10 − − = − − = − − z z k z e z e D z k T T 由 0 1 ( ) ( ) = = = s z G s G z 有 1 0.607 1 0.951 1 − − = k 解得 k = 8.02 例： 2 ( 1) ( ) + = s s D s ，T=1s，按 =1 求增益，求 D(z)
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 D(二)=k (二-1)(二+1) =/ =0.5 (O+1)l1 (z-1X(+1 0.5 =1.T=1 解得k=0.21921 86突斯汀变换法 定义 推导(1):P179 推导(2): 将其中e2和e2展成 Taylor级数,并取前两项近似得: 1+ Ts 2 S 于是z T 1、双线性变换由两次变换合成 2、变换的频率特性发生畸变
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 6 2 ( ) ( 1)( 1) ( ) T z e z z D z k − − − + = 0.5 ( 1) ( ) 1 1 2 = + = = = j j D j 0.5 ( ) ( 1)( 1) ( ) ( 1)( 1) ( ) 1, 1 1 2 1, 1 2 1 = − − + = − − + = = = − = = − = T j T j T j T T T j T e e e e k z e z z D e k 解得 k = 0.21921 8.6 突斯汀变换法 一、定义 推导（1）：P179 推导（2）： 2 2 Ts Ts Ts e e z e − = = 将其中 2 Ts e 和 2 Ts e − 展成 Taylor 级数，并取前两项近似得： 2 1 2 Ts e Ts = + ， 2 1 2 Ts e Ts = − − 于是 s T s T Ts Ts z − + = − + = 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 − − + − = z z T s 1、双线性变换由两次变换合成 1 1 1 2 1 1 2 1 − − − − + − = + − = z z e T e T s s T s Tj j 2 s j 2 s j − Im Re 2、变换的频率特性发生畸变
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 令s=O,z=e 根据定义s=21-x-1 T 1+e-jo T Jeyf-Je4 e 如图Pl818-14 3、s平面与z平面关系与普通Z变换关系相同 特性 1、变换具有串联性 2、s与z一一对应,没有混叠效应 3、D(=)和D(s)有相同稳定性 4、频率特性发生畸变 5、变换后分子分母次数相同 6、变换后稳态增益不变 例题 D(s) (s+1)2 T=1s,求D(z) D(=)= 27(二2-1) (s+1)221=1(2-7)2-2(4-72)2+(2+7)2=2
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 7 令 s = j， d j z e = 根据定义 1 1 1 2 1 − − + − = z z T s ： 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 T t g T j e e e e e T e T j d j T j T j T j T j T j T d d d d d d = + − = + − = − − − − 如图 P181 8-14 3、s 平面与 z 平面关系与普通 Z 变换关系相同 二、特性 1、变换具有串联性 2、s 与 z 一一对应，没有混叠效应 3、 D(z) 和 D(s) 有相同稳定性 4、频率特性发生畸变 5、变换后分子分母次数相同 6、变换后稳态增益不变 三、例题 例： 2 ( 1) ( ) + = s s D s ，T=1s，求 D(z) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 (2 ) 2(4 ) (2 ) 2 ( 1) ( 1) ( ) 1 1 T T z T z T z s s D z z z T s − − − + + − = + = − − + − =
微机控制技术·第8章·连续域-离散化设计 87各种离散化方法的比较 表61G()=+的等效脉冲传递函数G(x) 变换方法 变换方程 等效的脉冲传递函数D(z) 反向差分变换方法 正向差分变换方法 双线性变换方法 D(x)=21-+a 頻率预曲折双线性变换方法 D(2)1L+an 缽冲响咸不变方法 D(z)=2[G(s) 阶跃响应不变方法 D(e]=z[l-G(s1 D(x)= 零极点匹配Z变换方法 D(x}=1g"x+1 以上所述各种方法,前向差分法会导致系统出现不稳定的现象而很少使用,双线性变换 法在混叠频率π/T处会产生较大的频率畸变,此时可采用频率预曲折的双线性变换法进行 补偿。当已知系统的零极点模型时,此时采用零极点匹配法则是最简单的一种方法,在以后 的章节中,我们还会经常使用零极点四配法来进行设计。在采用 MATLAB进行计算机辅助 设计时,函数c2d能按照不同的方法实现连续系统SYS和离散系统SYSD的等效。 sYsn-2d(SYS,T, Method),式中SYS和sYs分别为连续和离散系统的传递函数模型,T为釆样周期,单位 Mthd为漓散方法 零阶保持器法,默认值 阶保持器法 双线性变换法 Method=g rewar 頻率预計折的双线性变換法 零极点匹配法
微机控制技术·第 8 章·连续域-离散化设计 8 8.7 各种离散化方法的比较