微机控制技术·第7章·计算机控制理论基础 第七章计算机控制理论基础 71计算机控制系统中的信号及转换 、计算机控制系统中的信号 连续系统:输入、输出及内部信号传输均为连续信号 离散系统:输入、输出及内部信号传输均为离散信号。 计算机系统:纯离散系统的计算机和纯连续系统的被控对象组成的混合系统;通常将其视为离散系统:将 连续的被控对象离散化 A/D转换器 采样/保持 量化 编码 计算机 f(nT) f(nT) f(n 图3-1信号的转换过程 1、模拟信号、采样信号和数字信号 按信号的自变量t(多表示时间,也可以是空间等函数)和函数的取值不同,可分为连续时间信号和 离散时间信号,进而根据函数取值是否连续,可分别称之为模拟信号、采样信号和数字信号,如表1-1 和图1-1 表1-1信号的分类 自变量t 函数值f() 信号分类 连续(连续时间信号) 连续 模拟信号 离散(离散时间信号) 连续 采样信号 f(n1) IT2T 3T 4T5T6T nT (a)模拟信号 (b)采样信号 (c)数字信号 图1-1信号的分类 对连续的模拟信号∫(1)按一定的时间间隔T,抽取相应的瞬时值(即离散化),这个过程称为采样。 ∫()经过釆样后转换为时间上离散的模拟信号∫(nT),即幅值仍是连续的模拟信号,简称为采样信号。 以某个最小数量单位的整数倍来度量∫(mT),这个过程称为量化。采样和量化模块之间需要保持电路维持 f(t)的采样信号有足够的电平。∫(mnT)经量化后变为量化信号,再经过编码,转换成离散的数字信号 f(m),即时间和幅值都是离散的信号 73拉氏变换与Z变换
微机控制技术·第 7 章·计算机控制理论基础 1 第七章 计算机控制理论基础 7.1 计算机控制系统中的信号及转换 一、计算机控制系统中的信号 连续系统：输入、输出及内部信号传输均为连续信号。 离散系统：输入、输出及内部信号传输均为离散信号。 计算机系统：纯离散系统的计算机和纯连续系统的被控对象组成的混合系统；通常将其视为离散系统；将 连续的被控对象离散化 采样/保持 量化 编码 计算机 f (t) f (nT) f (nT) f (n) A/D转换器 图 3-1 信号的转换过程 1、模拟信号、采样信号和数字信号 按信号的自变量 t（多表示时间，也可以是空间等函数）和函数的取值不同，可分为连续时间信号和 离散时间信号，进而根据函数取值是否连续，可分别称之为模拟信号、采样信号和数字信号，如表 1－1 和图 1－1。 表 1-1 信号的分类 自变量 t 函数值 f(t) 信号分类 连续（连续时间信号） 连续 模拟信号 离散（离散时间信号） 连续 采样信号 离散 数字信号 0 1T 2T 3T 4T 5T 6T nT f(nT) 0 f(n) 1 2 3 4 5 6 n f(t) t 0 (a)模拟信号 (b)采样信号 (c)数字信号 图 1－1 信号的分类 对连续的模拟信号 f (t) 按一定的时间间隔 T ，抽取相应的瞬时值(即离散化)，这个过程称为采样。 f (t) 经过采样后转换为时间上离散的模拟信号 f (nT ) ，即幅值仍是连续的模拟信号，简称为采样信号。 以某个最小数量单位的整数倍来度量 f (nT ) ，这个过程称为量化。采样和量化模块之间需要保持电路维持 f (t) 的采样信号有足够的电平。 f (nT ) 经量化后变为量化信号，再经过编码，转换成离散的数字信号 f (n) ，即时间和幅值都是离散的信号。 7.3 拉氏变换与 Z 变换
微机控制技术·第7章·计算机控制理论基础 拉氏变换与Z变换之间的变换关系 的关系 连续函数f(1)的拉氏变换为 F(S=Lff(OI f()e"dt(7.1) 设f(m)的采样信号为f(m) f()=∑f(n)(-m)=1(1=m=-y(7.2) 其拉氏变换为 F(s)=LC()=∑f(Om7)e- (7.3) 引入一个新的复变量 (7.4) 将(7.4)代入(7.3)得: Zf()=F()=∑f(m7)=n (7.5) 例:求单位阶跃函数1(t)的Z变换 单位阶跃函数的采样函数为:1(mn7)=1n=0,1,2 将∫(n)=1(n7)=1代入(7.5)得 F()=∑m)=1++2+…”(7.6) 上式左右同乘z-得 F(=)=z+z-+…-”(7.7) (7.6)-(7.7)得 (1-x-)F(z)=1因此 2、s+z的变换 设连续函数∫(m)的拉氏变换F(s)及其全部极点P为已知,则可用留数计算法求z变换。 F()=z=∑resF(p)=∑R
微机控制技术·第 7 章·计算机控制理论基础 2 一、拉氏变换与 Z 变换之间的变换关系 1、从 s→z 的关系 连续函数 f (t) 的拉氏变换为： − = = 0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st （7.1） 设 f (t) 的采样信号为 ( ) * f t = = = = − = = ( ) ( 0,1, ) 0 ( 0,1, ) ( ) ( ) ( ) 0 * f t t nT n t nT n f t f nT t nT n （7.2） 其拉氏变换为 = − = = 0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e （7.3） 引入一个新的复变量 Ts Z = e （7.4） 将（7.4）代入（7.3）得： = − = = 0 * [ ( )] ( ) ( ) n n Z f t F z f nT z （7.5） 例：求单位阶跃函数 1（t）的 Z 变换。 单位阶跃函数的采样函数为： 1(nT) = 1 n = 0,1,2, 将 f (nT) = 1(nT) = 1 代入（7.5）得 n n n F z nT z z z z − − − = − = = + 1 + 2 + 0 ( ) 1( ) 1 （7.6） 上式左右同乘 −1 z 得 n z F z z z z − − − − 1 ( ) = 1 + 2 + （7.7） （7.6）-（7.7）得 (1 ) ( ) 1 1 − = − z F z 因此 (1 ) 1 ( ) −1 − = z F z 2、s→z 的变换 设连续函数 f (t) 的拉氏变换 F(s) 及其全部极点 i p 为已知，则可用留数计算法求 z 变换。 = = = − = = 0 0 * ( ) [ ( )] [ ( ) ] n n i p T Ri z e z F z Z f t res F p i
微机控制技术·第7章·计算机控制理论基 式中R=rF(P)=en1为F():=r在S=P时的留数 当F(s)具有一阶极点s=P时,其留数R为 R=im【(s-P)F(s)--] 当F(s)具有q阶极点S=P时,其留数R为 (s-p1)F(s) (q-1)s→nds 例:f()的拉氏变换F()=1 求∫(m7)的Z变换 s+a p=-a, R,=lm [(S+a)F(s) ]=(s+a) (s+a)a-e 3、s平面与z平面 令s=σ+j 则z= e·e Z的模H=e,z的相角O=T=2zm,,为采样频率 Pl51图7-10 注:变量z实际上是s的周期函数,即 S平面到z平面的映射不是一对一的映射,而是多对一的映射。Z平面的一点z1=e4+m,在s平面有无 穷多点S±jno,。在复数域处理采样信号,z变化比离散拉氏变换简便。 74数字调节器的计算机实现 s域设计控制器(连续) 反馈控制理论 →连续域离散化(8章 现代控制理论(1章) D(=)实现:74 z域设计控制器(离散):9、10章 741实现的步骤和基本方法 典型的计算机控制系统框图P152图7-11 数字调节器实现:D(z)→差分方程 1)根据系统的性能指标要求设计D(z) 2)将D(z)表示成分式形式: 9=(x a1二+…+a b 3)将D(z)化为e(n)为输入、u(n)为输出的差分方程形式 4)根据差分方程编软件
微机控制技术·第 7 章·计算机控制理论基础 3 式中 [ ( ) ] i i piT z e z R res F p − = 为 sT z e z F s − ( ) 在 pi s = 时的留数 当 F(s) 具有一阶极点 pi s = 时，其留数 Ri 为 lim [( ) ( ) ] i sT s p i z e z R s p F s i − = − → 当 F(s) 具有 q 阶极点 pi s = 时，其留数 Ri 为 [( ) ( ) ] d d lim ( 1)! 1 1 1 sT q q i q s p i z e z s p F s q s R i − − − = − − → 例： f (t) 的拉氏变换 s a F s + = 1 ( ) ，求 f (nT ) 的 Z 变换。 p1 = −a ， a T s a s T s T s a z e z z e z s a s a z e z R s a F s − =− →− − = + − = + − = + ( ) 1 lim [( ) ( ) ] ( ) 1 3、s 平面与 z 平面 令 s = + j 则 Ts T jT z = e = e • e Z 的模 T z = e ，Z 的相角 s T 2 = = ，s 为采样频率 P151 图 7－10 注：变量 z 实际上是 s 的周期函数，即 Ts T s jn Ts jn Ts z e e e e e s = = = = ( ) 2 S 平面到 z 平面的映射不是一对一的映射，而是多对一的映射。Z 平面的一点 s jn T i i s z e ( + ) = 在 s 平面有无 穷多点 s s jn 。在复数域处理采样信号，z 变化比离散拉氏变换简便。 7.4 数字调节器的计算机实现 ( ) 7.4 z 9 10 8 11 实现： 域设计控制器（离散）：、 章 连续域离散化（ 章） 现代控制理论（ 章） 反馈控制理论 域设计控制器（连续）： D z s → 7.4.1 实现的步骤和基本方法 典型的计算机控制系统框图 P152 图 7－11 数字调节器实现：D（z）→差分方程 1） 根据系统的性能指标要求设计 D（z） 2） 将 D（z）表示成分式形式： m m m m b z b z a a z a z D z − − − − + + + + + + = 1 1 1 0 1 1 ( ) 3） 将 D（z）化为 e(n)为输入、u（n）为输出的差分方程形式 4） 根据差分方程编软件
微机控制技术·第7章·计算机控制理论基础 上述算法计算机实现时要由定时器产生中断信号调用中断系统,进行差分方程运算。如图:P157-12 742设计D(z)实现形式的原因 考虑精度 阅读:P153-P154 743设计D(z)实现形式 1、直接形式1 (0)=∑ae(k--∑b(k-1) 2、直接形式2 D(=)= 1+>b 分开写 Q(-)=E(x)-∑bQ(-) U()=Q(∑a 反变换得差分方程 q(k)=e(k)-∑b-q(k-0 (k)=∑a(k- 3、串联实现 4、并联实现 直接形式1最易实现,但精度最低 采样定理为:从f(1)的采样信号f(n7)恢复f(1)的条件是,采样频率Ωs大于等于信号∫()最高频率On 的两倍
微机控制技术·第 7 章·计算机控制理论基础 4 上述算法计算机实现时要由定时器产生中断信号调用中断系统，进行差分方程运算。如图：P153 7-12 7.4.2 设计 D（z）实现形式的原因 考虑精度 阅读：P153-P154 7.4.3 设计 D（z）实现形式 1、直接形式 1 = − = − + = n i i i m i i i b z a z D z 1 1 1 ( ) = = = − − − n i i m i i u k a e k i b u k i 1 1 ( ) ( ) ( ) 2、直接形式 2 = − = − + = m i i n i i i i a z b z D z 1 1 1 1 ( ) 分开写 = − = − n i i Q z E z b z Q z 1 1 ( ) ( ) ( ) = − = n i i i U z Q z a z 1 ( ) ( ) 反变换得差分方程： = − = − − n i i q k e k b z q k i 1 1 ( ) ( ) ( ) = = − n i i u k a q k i 1 ( ) ( ) 3、串联实现 4、并联实现 直接形式 1 最易实现，但精度最低 采样定理为：从 f (t) 的采样信号 f (nT ) 恢复 f (t) 的条件是，采样频率 S 大于等于信号 f (t) 最高频率 m 的两倍