燕山大学：《微机控制技术》第十一章 状态空间设计法

微机控制技术·第11章·状态空间设计法 第十一章状态空间设计法 状态空间设计法是一类以系统状态空间模型(即状态空间表示式)为基础的设计方法;着眼点:系统的内 部特性和系统状态的行为 控制策略:通过状态反馈控制状态行为来实现控制目标的 设计任务:确定控制目标和求解可实现控制目标的状态反馈控制律 状态空间设计法分类(按控制目标):1极点配置设计法;2二次型指标 111极点配置设计法 11.1.1用状态空间表示被控对象的计算机系统 D k R(kT X[(k+1)7 82D(Z) B 被控对象 用状态空间表示被控对象的计算机系统 设被控对象为线性时不变系统,它的状态方程为 ∫X()=4X()+Ba() Y(t)=C1X() 将其离散化得 X(k+1)=AX(k)+ Bu(k) lY(k)=CX(k) (2) 式中, A=e4,n×n维,状态矩阵 B=e-dB,nxm维,输入矩阵 C=C1,p×n维,输出矩阵 11.1.2系统能控性及判别 能控性:指系统控制作用对系统状态控制的可能性 对于(2),若在有限时间⑩,n]内,存在一控制序列u(ω)(=0,1,…,n-1),能够使系统任意初始状态X(O)

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 1 第十一章 状态空间设计法 状态空间设计法是一类以系统状态空间模型（即状态空间表示式）为基础的设计方法；着眼点：系统的内 部特性和系统状态的行为； 控制策略：通过状态反馈控制状态行为来实现控制目标的 设计任务：确定控制目标和求解可实现控制目标的状态反馈控制律 状态空间设计法分类（按控制目标）：1 极点配置设计法；2 二次型指标 11.1 极点配置设计法 11.1.1 用状态空间表示被控对象的计算机系统 −1 B zA C D u(kT) X[(k +1)T] X (kT) D(Z) 被控对象 R(kT) Y(kT) 用状态空间表示被控对象的计算机系统 设被控对象为线性时不变系统，它的状态方程为    = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 Y t C X t X t A X t B u t （1） 将其离散化得：    = + = + ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) Y k CX k X k AX k Bu k （2） 式中， A T A e 1 = ，n×n 维，状态矩阵  − = T A T t B e tB 0 1 ( ) d ，n×m 维，输入矩阵 C = C1，p×n 维，输出矩阵 11.1.2 系统能控性及判别 能控性：指系统控制作用对系统状态控制的可能性 对于（2），若在有限时间[0，n]内，存在一控制序列 u(i),(i = 0,1,  , n −1) ，能够使系统任意初始状态 X (0)

微机控制技术·第11章·状态空间设计法 转移到零状态,即使X(0)→Y(n)=0,则称系统是状态完全能控的 能达性:对于(2)若在有限时间[0,n内,存在一控制序列u(),(i=0,1,…,n-1),能够使系统任意初始状 态X(0)转移到任意指定状态Y(n),则称系统是状态完全能达的 能达必能控 能控性判别:设Q。=[BABA2B…AB,称Q为能控性矩阵。若 rank O=n,则称系统是完全能 控的 11.3系统能观性及判别 能观性:系统输出量能否完全确定系统状态的可能性 对于(2),在控制输入为零的情况下,利用有限时间[0,m内的输出序列y(1),(=0,1,…,n-1),如果能 够唯一确定系统的任一初始状态X(O),则称系统是状态完全能观的。 能观性判别:设Q。=[ C CACA2…CA,称Q为能观性矩阵。若 rank O=n,则称系统是完全能 11.14状态反馈极点配置 注意:反馈系统任意配置极点的充要条件是要求系统完全能控 (k) k+1)X(k) 闭环控制系统 对离散系统(2)采用状态反馈: u(k)=-KX(k) 将状态反馈带入转移方程: X(k+1)=(A- BK)X(k)=EX(k) 上述闭环系统特征方程 det(zl-A+ Bk)=0 设期望闭环极点为B(=1,2,3,…,n),则期望特征方程为 (二-B1(=-B2)…(=-Bn)=0=det(--A+BK) 利用上述等式可解得K=[k1k2…k

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 2 转移到零状态，即使 X (0) → X (n) = 0 ，则称系统是状态完全能控的。 能达性：对于（2）若在有限时间[0,n]内，存在一控制序列 u(i),(i = 0,1,  , n −1) ，能够使系统任意初始状 态 X (0) 转移到任意指定状态 X (n) ，则称系统是状态完全能达的 能达必能控 能控性判别：设 [ ] 2 1 Qc B AB A B A B n− =  ，称 Qc 为能控性矩阵。若 rank Qc ＝n，则称系统是完全能 控的。 11.1.3 系统能观性及判别 能观性：系统输出量能否完全确定系统状态的可能性。 对于（2），在控制输入为零的情况下，利用有限时间[0，n]内的输出序列 y(i),(i = 0,1,  ,n −1) ，如果能 够唯一确定系统的任一初始状态 X (0) ，则称系统是状态完全能观的。 能观性判别：设 n T Q [C CA CA CA ] 2 1 o − =  ，称 Qo 为能观性矩阵。若 rank Qo ＝n，则称系统是完全能 观的。 11.1.4 状态反馈极点配置 注意：反馈系统任意配置极点的充要条件是要求系统完全能控。 −1 B zA k C X (k +1) X (k) u(k) - 闭环控制系统 对离散系统（2）采用状态反馈： u(k) = −KX (k) 将状态反馈带入转移方程： X (k +1) = (A − BK)X (k) = zX (k) 上述闭环系统特征方程： det(zI − A + BK) = 0 设期望闭环极点为 (i 1,2,3, ,n)  i =  ，则期望特征方程为 ( )( ) ( ) 0 det( ) z − 1 z −  2  z −  n = = zI − A+ BK 利用上述等式可解得   n K k k k = 1 2

微机控制技术·第11章·状态空间设计法 对于高阶系统反馈矩阵K可用 Ackermann公式求解 K=eO a(a) en=D0…,Q.= [B ABAB…A"],(2)=2”+a=1+…+an为期望特征方程, A(A)=A+a1A"+…+an 例:系统的状态方程为 X(k+D=AX(k)+ Bu(k) 式中A= B 按极点配置法设计反馈控制系统,使期望极点为z1=0.4,二2=06 解法1:Q。=[BAB]= ,romk(Q)=2,因此Q能控 令反馈矩阵K=[k1k2],则特征方程为 det(=I-A+ bk)= k1二-1+k2 =2+(k2-2)=+(1-k1-k2)=0 期望特征方程(z-0.4)(-06)=x2-+0.24=0 对比系数得:K=-0.241 解法2:用 Ackerman公式求解: Q=BAbl= 10 期望特征方程A()=z2-z+024=0 0.24-1 A(A)=A2-A+0.24= 00.24 K=e,g-2(A)=o 0.24-1 0.24 100024 112状态观测器设计法 、全维状态观测器 研究观测器的目的:实际系统的状态往往不是全部可测量的。因此为了实现状态反馈控制律,必须通过状 态观测器,根据系统可以直接测量的输出量y(k)来计算出系统状态的估计值文(k)(通常把这样获得的真

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 3 对于高阶系统反馈矩阵 K 可用 Ackermann 公式求解： ( ) 1 K enQc  A − = = 0 01 n e ， Q B AB A B A B n c 2 −1 =  ， n n n  z = z + z + + ( ) 1 −1  为 期 望 特 征 方 程 ， n n n  A = A + A + + ( ) 1 −1  例：系统的状态方程为 X (k +1) = AX(k) + BU (k) 式中       − = 0 1 1 1 A ；       = 1 0 B 。按极点配置法设计反馈控制系统，使期望极点为 z1 = 0.4， z2 = 0.6 解法 1：       − = = 1 1 0 1 [ ] Qc B AB ， rank(Qc ) = 2 ，因此 Qc 能控 令反馈矩阵   1 2 K = k k ，则特征方程为 ( 2) (1 ) 0 1 1 1 det( ) 2 1 2 2 1 2 = + − + − − = − + − − + = z k z k k k z k z zI A BK 期望特征方程 ( 0.4)( 0.6) 0.24 0 2 z − z − = z − z + = 对比系数得： K = − 0.241  解法 2：用 Ackerman 公式求解：       − = = 1 1 0 1 [ ] Qc B AB ，       − =       − = − − 1 0 1 1 1 1 0 1 1 c 1 Q 期望特征方程 ( ) 0.24 0 2  z = z − z + =       − = − + = 0 0.24 0.24 1 ( ) 0.24 2  A A A I    0.24 1 0 0.24 0.24 1 1 0 1 1 ( ) 0 1 1 = −       −       − = = − K enQc  A 11.2 状态观测器设计法 一、全维状态观测器 研究观测器的目的：实际系统的状态往往不是全部可测量的。因此为了实现状态反馈控制律，必须通过状 态观测器，根据系统可以直接测量的输出量 y(k) 来计算出系统状态的估计值 ( ) ˆ X k （通常把这样获得的真

微机控制技术·第11章·状态空间设计; 实状态的估计值称为重构状态),用以代替真实状态。 状态观测器方法:将系统状态变量模拟出来用它来代替真实的状态变量构成反馈系统,这种方法称状态观 测器法 系统状态方程: X(k+1)=Ar(k)+ Bu(k) 按上述系统构造模拟系统: ∫x(+1)=A8(k)+Bi(k) (k)=CX(k) 构造闭环观测器,如图: y(k) L X(k+1)=AX(k)+ Bu(k)+ Lly(k)-y(k) 取误差状态为 X(k)=X(k)-X(k 则 X(k+1)=X(k+1)-X(k+1) A(k)+ Bu(k)-(AX(k)+ Bu(k)+Lly(k)-y(k)1 AX(k)+ Bu(k)-(Ar(k)+ Bu(k)+LCIX(k)-X(klr =(A-LCIX(k)-X(k]=(A-LC)X(k) 误差状态特征方程为 A+LC=o 根据极点配置,求反馈阵L。若期望的极点为B(=12,…,n),期望观测器特征多项式 7(-)=I(-B)=1-A+LC=0 对比系数可求L。 对于高阶系统,也有 Ackerman公式 K=n(a)Q

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 4 实状态的估计值称为重构状态），用以代替真实状态。 状态观测器方法：将系统状态变量模拟出来用它来代替真实的状态变量构成反馈系统，这种方法称状态观 测器法。 系统状态方程：    = + = + ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) Y k CX k X k AX k Bu k 按上述系统构造模拟系统：    = + = + ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ( 1) ˆ Y k CX k X k AX k Bu k 构造闭环观测器，如图： B −1 z C A B −1 z C A u(k) X (k) y(k) y ˆ(k) ( ) ˆ X k L + - ( ) ( ) [ ( ) ˆ( )] ˆ ( 1) ˆ X k + = AX k + Bu k + L y k − y k 取误差状态为： ( ) ˆ ( ) ( ) ~ X k = X k − X k 则： ( ) ~ ( )] ( ) ˆ ( )[ ( ) ( )]} ˆ ( ) ( ) [ ( ) ˆ ( ) ( ) { ( ) ( ) [ ( ) ˆ( )]} ˆ ( ) ( ) { ( 1) ˆ ( 1) ( 1) ~ A LC X k X k A LC X k AX k Bu k AX k Bu k LC X k X k AX k Bu k AX k Bu k L y k y k X k X k X k = − − = − = + − + + − = + − + + − + = + − + 误差状态特征方程为： zI − A+ LC = 0 根据极点配置，求反馈阵 L 。若期望的极点为 (i 1,2, ,n) i =  ，期望观测器特征多项式： ( ) ( ) 0 1 =  − = − + = = z z zI A LC n i   i 对比系数可求 L 。 对于高阶系统，也有 Ackerman 公式： n T o K A Q e 1 ( ) − =

微机控制技术·第11章·状态空间设计法 en=D0…,g。= CACA2…C],m(=)==”+a--1+…+an为期望特征方程, 7(A)=A"+a1A+…+an 例:系统的状态方程为 X(k +1)=AX()+BU(k) y(k)=CX(k) 式中A= 0 B=,,C=[]。按状态观测器法设计L,使期望极点为=1=04,=2=06 解:能观矩阵: 10 满秩,观测器可任意极点配置 设闭环观测器方程 X(k+1)=AX()+Bu(k)+L[y(k)-j(k)], L=/4 误差状态方程的特征方程为 ZI-A+LC=o 0 L2=-1 z2+(L2-2)2+1-L1-L2=0 期望特征方程:(-04)(=-0.6)=0 比较系数得:L1=1,L2=-024 带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统:状态反馈律+状态观测器

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 5 = 0 01 n e ，   2 −1 = n Qo C CA CA CA ， n n n  z = z + z + + ( ) 1 −1  为期望特征方程， n n n  A = A + A + + ( ) 1 −1  例：系统的状态方程为 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) y k CX k X k AX k BU k = + = + 式中       − = 0 1 1 1 A ；       = 1 0 B ，C = [1 0] 。按状态观测器法设计 L ，使期望极点为 z1 = 0.4， z2 = 0.6 解：能观矩阵：       − =      1 1 1 0 CA C ，满秩，观测器可任意极点配置 设闭环观测器方程 ( ) ( ) [ ( ) ˆ( )] ˆ ( 1) ˆ X k + = AX k + Bu k + L y k − y k ，       = 2 1 L L L 误差状态方程的特征方程为 ZI − A+ LC = 0 [1 0] 0 0 1 1 1 0 0 2 1 =       +      − −      L L z z 0 1 1 1 2 1 =       − − + L z z L ( 2 2) 1 1 2 0 2 z + L − z + − L − L = 期望特征方程： (z − 0.4)(z − 0.6) = 0 比较系数得： L1 =1， L2 = −0.24 二、带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统：状态反馈律+状态观测器

微机控制技术·第11章·状态空间设计法 X(y(k) L y(k B 2 由于被控对象取状态较难,从观测器取状态得: (k)=-K(k),有 X(k+1=AX(k)+ Bu(k)= AX(k)-BKX(k) AX(k)-BKIX(k)-X(k) X(k)=X(k)-X(k) (A- BK)X(k)+BKX(k) 将此方程与误差方程合并,得闭环系统动态方程: X(k+1)1「A-BBTX(k) 0A-LC⊥x(k) 此系统闭环特征方程为: =0 0 A-LC A: det(zl-A+ B k(l-A+LC)=0 分离定理:状态反馈和观测器可以分别独立设计。它们之间无关联性 det(zl-A+BK)=0 det(=l-A+LC)=0 例:例:系统的状态方程为 X(k+1)=AX(k)+ Bu(k) y(k)=CX(k) 式中As/1 B C=[0]。系统状态不可直接获得,按状态观测器法设计L,使期望极点 为二1=0.2,二2=0.3:2)求状态反馈K,使期望极点为二1=0.4,二2=0.6 解:1)能观矩阵:

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 6 B −1 z C A B −1 z C A u(k) X (k) y(k) y ˆ(k) ( ) ˆ X k L + - K 由于被控对象取状态较难，从观测器取状态得： u(k) = −Kx ˆ(k) ，有 ( ) ~ ( ) ( ) ( )] ~ ( ) [ ( ) ( ) ˆ ( 1) ( ) ( ) ( ) A BK X k BKX k AX k BK X k X k X k AX k Bu k AX k BKX k = − + = − − + = + = − ( ) ˆ ( ) ( ) ~ X k = X k − X k 将此方程与误差方程合并，得闭环系统动态方程：             − − =      + + ( ) ~ ( ) ( 1) 0 ~ ( 1) X k X k A LC A BK BK X k X k 此系统闭环特征方程为： 0 0 det  =            − − − A LC A BK BK zI 得： det(zI − A + BK)(zI − A + LC) = 0 分离定理：状态反馈和观测器可以分别独立设计。它们之间无关联性。    − + = − + = det( ) 0 det( ) 0 zI A LC zI A BK 例：例：系统的状态方程为 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) y k CX k X k AX k BU k = + = + 式中       − = 0 1 1 1 A ；       = 1 0 B ，C = [1 0] 。系统状态不可直接获得，按状态观测器法设计 L ，使期望极点 为 z1 = 0.2， z2 = 0.3 ；2）求状态反馈 K ，使期望极点为 z1 = 0.4， z2 = 0.6 解：1）能观矩阵：

微机控制技术·第11章·状态空间设计法 满秩,观测器可任意极点配置 设闭环观测器方程 X(k+1)=Ar(k)+ Bu(k)+Lly(k)-yk)),L Ly 误差状态方程的特征方程为 ZI-A+LC=0 1101=0 L2 -1/=0 +(L2-2)2+1-L1-L2=0 期望特征方程:(x-0.2)-0.3)=0 较系数得:L1=-0.56,L2=1.5 2)Qe=[BABl=\\ rank(Q)=2,因此Q能控 令反馈矩阵=[k1k2]则特征方程为 det(=l-A+ Bk= k1二-1+k2 =2+(k2-2)=+(1-k1-k2)=0 期望特征方程(二-0.4)(z-0.6) z+0.24=0 对比系数得:K=[0.41

微机控制技术·第 11 章·状态空间设计法 7       − =      1 1 1 0 CA C ，满秩，观测器可任意极点配置 设闭环观测器方程 ( ) ( ) [ ( ) ˆ( )] ˆ ( 1) ˆ X k + = AX k + Bu k + L y k − y k ，       = 2 1 L L L 误差状态方程的特征方程为 ZI − A+ LC = 0 [1 0] 0 0 1 1 1 0 0 2 1 =       +      − −      L L z z 0 1 1 1 2 1 =       − − + L z z L ( 2 2) 1 1 2 0 2 z + L − z + − L − L = 期望特征方程： (z − 0.2)(z − 0.3) = 0 比较系数得： L1 = −0.56， L2 =1.5 2）       − = = 1 1 0 1 [ ] Qc B AB ， rank(Qc ) = 2 ，因此 Qc 能控 令反馈矩阵   1 2 K = k k ，则特征方程为 ( 2) (1 ) 0 1 1 1 det( ) 2 1 2 2 1 2 = + − + − − = − + − − + = z k z k k k z k z zI A BK 期望特征方程 ( 0.4)( 0.6) 0.24 0 2 z − z − = z − z + = 对比系数得： K = − 0.241 