第5章曲线和曲面
第5章 曲线和曲面
第5章曲线和曲面 5.参数表示曲线和曲面的基础知识 51曲线和曲面的表示方法 1.显式表示 显式表示是将曲线上各点的坐标表示成 方程的形式,且一个坐标变量能够用其余的坐标 变量显式的表示出来 2.隐式表示 隐式表示不要求坐标变量之间一一对应, 只是规定了各坐标变量必须满足的关系 3.参数表示 参数表示是将曲线上各点的坐标表示成 参数方程的形式。假定用t表示参数,参数t在[0
第5章 曲线和曲面 5.1 参数表示曲线和曲面的基础知识 ◼ 5.1.1 曲线和曲面的表示方法 ◼ 1．显式表示 ◼ 显式表示是将曲线上各点的坐标表示成 方程的形式，且一个坐标变量能够用其余的坐标 变量显式的表示出来。 ◼ 2．隐式表示 ◼ 隐式表示不要求坐标变量之间一一对应， 它只是规定了各坐标变量必须满足的关系。 ◼ 3．参数表示 ◼ 参数表示是将曲线上各点的坐标表示成 参数方程的形式。假定用t表示参数，参数t在[0， 1]区间内变化，当t=0时，对应曲线段的起点，当
第5章曲线和曲面 与显式、隐式方程相比,用参数方 程表示曲线和曲面更为通用,其优越性主 要体现在以下几个方面 (1)曲线的边界容易确定。 (2)点动成线。 (3)具有几何不变性 (4)易于变换。 (5)易于处理斜率为无穷大的情 形
第5章 曲线和曲面 ◼ 与显式、隐式方程相比，用参数方 程表示曲线和曲面更为通用，其优越性主 要体现在以下几个方面： ◼ （1）曲线的边界容易确定。 ◼ （2）点动成线。 ◼ （3）具有几何不变性。 ◼ （4）易于变换。 ◼ （5）易于处理斜率为无穷大的情 形。 ◼ （6）表示能力强
第5章曲线和曲面 51,2位置矢量切失量法矢量曲 P)-x位智t∈0 ()=2:切矢量)y0 3.法矢量 主法矢量、副法矢量 法平面、密切平面、副法平面
第5章 曲线和曲面 ◼ 5.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲 率与挠率 ◼ 1．位置矢量 ◼ 2．切矢量 ◼ 3．法矢量 ◼ 主法矢量 、副法矢量 ◼ 法平面、密切平面 、副法平面 P(t) = [x(t), y(t), z(t)] t [0,1] ( ) '( ) [x'(t) y'(t) z'(t)] dt dP T t = P t = =
第5章曲线和曲面 ■4.曲率和挠率 △ k(t)=lim △c T(t)=lim △B △
第5章 曲线和曲面 ◼ 4．曲率和挠率 c k t c = → 0 ( ) lim c t c = → 0 ( ) lim
第5章曲线和曲面 5,3样条表示 1.插值、逼近和拟合 给定一组称为控制点的有序坐标点,通 过这些控制点,可以构造出一条样条曲线: 如果样条曲线顺序通过每一个控制点, 称为对这些控制点进行插值,所构造的曲线称为 插值样条曲线; 如果样条曲线在某种意义下最接近这些 控制点(不一定通过每个控制点),称为对这些 控制点进行逼近,所构造的曲线为逼近样条曲线; 揉和谓公称
第5章 曲线和曲面 ◼ 5.1.3 样条表示 ◼ 1．插值、逼近和拟合 ◼ 给定一组称为控制点的有序坐标点，通 过这些控制点，可以构造出一条样条曲线： ◼ 如果样条曲线顺序通过每一个控制点， 称为对这些控制点进行插值，所构造的曲线称为 插值样条曲线； ◼ 如果样条曲线在某种意义下最接近这些 控制点（不一定通过每个控制点），称为对这些 控制点进行逼近，所构造的曲线为逼近样条曲线； ◼ 插值和逼近统称为拟合
第5章曲线和曲面 2.曲线的连续性 1(1)参数连续性 0阶参数连续性 ■1阶参数连续性 2阶参数连续性 (2)几何连续性 0阶几何连续性 ■1阶几何连续性 2阶几何连续性
第5章 曲线和曲面 ◼ 2．曲线的连续性 ◼ （1）参数连续性 ◼ 0阶参数连续性 ◼ 1阶参数连续性 ◼ 2阶参数连续性 ◼ （2）几何连续性 ◼ 0阶几何连续性 ◼ 1阶几何连续性 ◼ 2阶几何连续性
第5章曲线和曲面 5,2 Hermite线 521门次参数多项式曲线 给定n+1个控制点,可以得到如下n 次参数多项式曲线p(t) p()=[x()y()z( TCt∈0,1 0经过分解,式可改写为如下形式 通常,将TM矩阵称为n次参数多
第5章 曲线和曲面 5.2 Hermite曲线 ◼ 5.2.1 n次参数多项式曲线 ◼ 给定n+1个控制点，可以得到如下n 次参数多项式曲线p(t)： ◼ 经过分解，上式可改写为如下形式： ◼ 通常，将T·M矩阵称为n次参数多 项式曲线的基函数（或称调和函数、混合 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t [0,1] 0 0 0 1 1 1 = = = T C a b c a b c a b c p t x t y t z t t t x y z x y z xn yn z n n p(t) = T M G t [0,1]
第5章曲线和曲面 52.2三次 Hermite线的定义 如果给定一段三次参数样条曲线的两个 点的位置矢量为p(0)、p(1),切矢量为p(0)、p(1), 则三次 Hermite i线的矩阵表示为: 2-211|p(0 33-2-1m(1) t∈[0,1] 00 0 000p( 通常,将T称为矢量矩阵,将M称为通用 变换矩阵,将G1称为 Hermite系数,将TM称为
第5章 曲线和曲面 ◼ 5.2.2 三次Hermite曲线的定义 ◼ 如果给定一段三次参数样条曲线的两个端 点的位置矢量为p(0)、p(1)，切矢量为p ’(0)、p ’(1)， 则三次Hermite曲线的矩阵表示为： ◼ 通常，将T称为矢量矩阵，将Mh称为通用 变换矩阵，将Gh称为Hermite系数，将T•Mh称为 Hermite基函数。 t [0,1] (1) (0) (1) (0) 1 0 0 0 0 0 1 0 3 3 2 1 2 2 1 1 1 ( ) ' ' 3 2 − − − − = = p p p p t t t p t T Mh Gh
第5章曲线和曲面 53 Bezier曲线 5,3,1 Bezier曲线的定义 在空间给定n+个控制点,其位置 矢量表示为P(i=0,12…,n)。可以逼近 生成如下的n次 bezier h线: 1,n B(t) 1.n 其中,称为伯恩斯坦 ( bernstein)基函数,完的多级式表示为91
第5章 曲线和曲面 5.3 Bezier曲线 ◼ 5.3.1 Bezier曲线的定义 ◼ 在空间给定n+1个控制点，其位置 矢量表示为Pi（i = 0, 1, …, n）。可以逼近 生成如下的n次Bezier曲线： ◼ ◼ 其中， 称为伯恩斯坦 （Bernstein）基函数，它的多项式表示为： ◼ ( ) ( ) [0,1] 0 = , = P t PB t t n i i i n ( ) , B t i n (1 ) [0,1] !( )! ! ( ) (1 ) , − − = − = − − t t t i n i n B t C t t i i n i i n i i n n
