第三章 离散时间系统的变换域分析
第三章 离散时间系统的变换域分析
本章目录 系统函数 序列线性时不变系统的频率响应 n无限脉冲响应系统和有限脉冲响应系统 a Matlab实现
2 本章目录 ◼ 系统函数 ◼ 序列线性时不变系统的频率响应 ◼ 无限脉冲响应系统和有限脉冲响应系统 ◼ Matlab实现
3.1引言 系统的特性包括: 线性、时不变性、因果性、稳定性 离散时间系统的分析: 时域、变换域 离散时间系统分析主要内容 系统的变换域分析 系统函数 频率响应
3 3.1 引言 ◼ 系统的特性包括 : ◼ 线性、时不变性、因果性、稳定性 ◼ 离散时间系统的分析： ◼ 时域、变换域 ◼ 离散时间系统分析主要内容 ◼ 系统的变换域分析 ◼ 系统函数 ◼ 频率响应
3.2系统函数 系统函数定义 系统的零极点对系统特性的影响 系统的因果性和稳定性
4 3.2 系统函数 ◼ 系统函数定义 ◼ 系统的零极点对系统特性的影响 ◼ 系统的因果性和稳定性
321系统函数的定义 线性时不变系统 Xo yn=x(n)*h(n) 系统函数的定义 y(n)=x(n)*h(n) Z变换 Y(z)=X(=)H() Y() X(z) 系统函数H(z):表示系统的零状态响应与输入 序列z变换的比值
5 3.2.1 系统函数的定义 ◼ 系统函数的定义 ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z y n x n h n Y z X z H z Y z H z X z = ⎯⎯⎯→ = → = 变换 ◼ 系统函数 H(z): 表示系统的零状态响应与输入 序列z变换的比值 ◼ 线性时不变系统
研究N阶差分方程的系统 ■LT系统输入和输出满足 ∑ay(n-k)=∑bx(n r=0 因果输入序列,零初始状态,差分方程取z变换 M Y(= ∑ bz Y(2)a2=X()∑b=→H()= k=0 X() k a,2 ■可见,H(z)与h(m)是一对z变换 H(==Zh(n)l=> ∑h(n)
6 研究N阶差分方程的系统 ◼ 因果输入序列，零初始状态，差分方程取z变换 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.2) ( ) M r N M r k r r k r N k r k k k b z Y z Y z a z X z b z H z X z a z − − − = = = − = = → = = ◼ 可见，H(z)与h(n)是一对z变换 ◼ LTI系统输入和输出满足 = = − = − M r r N k k a y n k b x n r 0 0 ( ) ( ) ( ) Z[ ( )] ( ) n n H z h n h n z + − =− = =
三种表征离散时间系统的方法 差分方程:时域 ∑ay(n-k)=∑bx(n-r) =0 单位脉冲响应h(m):时域 h(n) x(n) yIn y(n=x(n)*h(n) n系统函数H(z):Z域 (z) H(2) H()=Zm)=∑hn) 7
7 三种表征离散时间系统的方法 ◼ 单位脉冲响应h(n) : 时域 y n x n h n ( ) ( ) * ( ) = ◼ 系统函数H(z) : Z域 ◼ 差分方程: 时域 = = − = − M r r N k k a y n k b x n r 0 0 ( ) ( ) ( ) Z[ ( )] ( ) n n H z h n h n z + − =− = =
1例利用系统函数变换域求解 例31因果离散时间系统的差分方程yn)-3ym-1)+2yn 2)=x(n)+2x(n-1),求单位脉冲响应hm)。 解:设初始状态为零,对差分方程进行z变换 Y(z)-3xY(x)+2z2Y(x)=X(z)+2zX() Y(z 1+2z z2+2z H()= X()1-3x1+2z 3z+2 展开为部分分式H()==-1z-2 3242 h(m)为因果序列。对H(2)取逆z变换,得 h(n)=(-3+4×2")u(m)
8 例 利用系统函数变换域求解 例3.１ 因果离散时间系统的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n- 2)= x(n)+2x(n-1)，求单位脉冲响应h(n)。 解：设初始状态为零，对差分方程进行z变换 1 2 1 Y z z Y z z Y z X z z X z ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) − − − − + = + 展开为部分分式 1 2 1 2 2 ( ) 1 2 2 ( ) ( ) 1 3 2 3 2 Y z z z z H z X z z z z z − − − + + = = = − + − + ( ) 3 4 1 2 z z H z z z − = + − − ( ) ( 3 4 2 ) ( ) n h n u n = − + h(n)为因果序列。对H(z)取逆z变换，得
3.22系统的零极点对系统特性的影响 ■对式(32)分子、分母多项式进行因式分解 ∏I(1-c=) H(=)=A (3 I(1-dk=-) H(2)在z=c处有零点,在z=dk处有极点 N>M时,在z=0处有一个(NM阶零点 零点和极点分别由差分方程的系数b和ak决定 除常数A外,系统函数完全由全部零极点唯一确定 ■零、极点是描述系统的方法,因为已知系统的零、极 点分布,就可以大致了解系统的性能
9 3.2.2 系统的零极点对系统特性的影响 ◼ 对式(3.2)分子、分母多项式进行因式分解 ◼ H(z)在z= cr处有零点，在z= dk处有极点 ◼ N＞M时，在z= 0处有一个(N-M)阶零点 ◼ 零点和极点分别由差分方程的系数br和ak决定 ◼ 除常数A外，系统函数完全由全部零极点唯一确定 1 1 1 1 (1 ) ( ) (3.4) (1 ) M r r N k k c z H z A d z − = − = − = − ◼ 零、极点是描述系统的方法，因为已知系统的零、极 点分布，就可以大致了解系统的性能
单阶极点对系统的影响 若有一个实极点a,则分母多项式中有因子(z-a),所 对应的单位脉冲响应序列形式为Kau(n) 若有一对共轭极点aet,则D(z)有因子=2-2acos+a, 所对应的单位脉冲响应序列形式为ka" cos(n+0)u(m),其 中K,日为常数,与零点的分布有关。 10
10 单阶极点对系统的影响 ◼ 若有一个实极点d=α，则分母多项式中有因子(z-α)，所 对应的单位脉冲响应序列形式为 ◼ 若有一对共轭极点 ，则D(z)有因子 ， 所对应的单位脉冲响应序列形式为 ，其 中K，θ为常数，与零点的分布有关。 ( ) n Ka u n j ae 2 2 z az a − + 2 cos cos( ) ( ) n Ka n u n +