《数学分析1》教学大纲 课程编码：1512100505 课程名称：数学分析 学时/学分：80/5 先修课程： 适用专业：信总与计算科学 开课教研室：分析与方程教研室 一、课程性质与任务 课程性质：《数学分析I》是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，以一元 微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深 入理解中学教学内容的基础。在第1学期开设。 课程任务：使学生对于实数集和函数、数列极限、函数极限、连续性、导数和微分等内 容的思想方法有较深刻的理解和认识：注重理解和掌握极限的思想和方法：正确理解数学分 析的基本概念，基本上掌握数学分析的论证方法，具备熟练的演算和严谨的论证能力。掌握 一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实 函数、微分方程、泛函分析等)及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数 学抽象的特殊训练。】 二、课程教学基本要求 通过本课程的讲授与作业使学生对极限思想有较深刻的认识，基本上掌握通过极限方法 研究初等函数性质的技巧。正确理解数学分析的基本概念，熟悉基础理论，基本上掌握数学 分析中的论证方法，获得熟练的演算技能，并具备初步的应用能力。 成绩考核形式为考试成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）(70%)+平时成绩（作业 课堂提问、课堂讨论等)(30%)。成绩评定采用百分制，60分为及格。 三、课程教学内容 第一章实数集与函数 1.教学基本要求 让学生掌握集合的相关概念：理解实属的相关性质：掌握反函数、初等函数的相关概 念和性质：正确使用量词符合，和简单的逻辑证明。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 掌握无限集、有界集、无界集、邻域的概念。理解实数的连续性、有序性、稠密性、阿 基米德性质、实数对四则运算和正实数的开方运算的封闭性。掌握反函数的概念存在的必要 条件与充分条件。掌握初等绝对值不等式的证明技巧、能够证明简单函数的有界性、单调性
《数学分析Ⅰ》教学大纲 课程编码：1512100505 课程名称：数学分析Ⅰ 学时/学分：80/5 先修课程： 适用专业：信息与计算科学 开课教研室：分析与方程教研室 一、课程性质与任务 课程性质：《数学分析Ⅰ》是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，以一元 微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深 入理解中学教学内容的基础．在第 1 学期开设． 课程任务：使学生对于实数集和函数、数列极限、函数极限、连续性、导数和微分等内 容的思想方法有较深刻的理解和认识；注重理解和掌握极限的思想和方法；正确理解数学分 析的基本概念，基本上掌握数学分析的论证方法，具备熟练的演算和严谨的论证能力。掌握 一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实 函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数 学抽象的特殊训练． 二、课程教学基本要求 通过本课程的讲授与作业使学生对极限思想有较深刻的认识，基本上掌握通过极限方法 研究初等函数性质的技巧。正确理解数学分析的基本概念，熟悉基础理论，基本上掌握数学 分析中的论证方法，获得熟练的演算技能，并具备初步的应用能力。 成绩考核形式为考试成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（作业、 课堂提问、课堂讨论等）（30％)。成绩评定采用百分制，60 分为及格。 三、课程教学内容 第一章 实数集与函数 1.教学基本要求 让学生掌握集合的相关概念；理解实属的相关性质；掌握反函数、初等函数的相关概 念和性质；正确使用量词符合，和简单的逻辑证明。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 掌握无限集、有界集、无界集、邻域的概念。理解实数的连续性、有序性、稠密性、阿 基米德性质、实数对四则运算和正实数的开方运算的封闭性。掌握反函数的概念存在的必要 条件与充分条件。掌握初等绝对值不等式的证明技巧、能够证明简单函数的有界性、单调性
奇偶性与周期性、以及函数图象的平移、放缩叠加方法。逐步正确使用量词符号。 3.教学重点和难点 教学重点是绝对值不等式的解法与证明，函数的各种性态，有界集，确界原理的概念 教学难点是确界原理的概念和理解。 4.教学内容 第一节实数 1.实数及其性质 2绝对值不等式 第二节 数集、确界原理 1.区间与邻域 2.有界集 3.确界原理 第三节函数概念 1.函数的定义 2.函数的表示方法 3.函数的四则运算 4.反函数 5.初等函数 第四节 具有某些特性的函数 1.有界函数 2.单调函数 3.奇函数与偶函数 4.周期函数 第二章数列极限 1.教学基本要求 深刻理解数列极限的概念：掌握数列极限的性质：理解无穷小数列的相关概念：掌握 用数列极限的定义证明极限的方法：掌握数列极限存在的条件。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 通过数列极限的教学将学生的认识领域从“有限”扩大到“无限”，逐步熟悉和理解极 限方法。深刻理解数列极限的￡-N定义，特别是￡的“任意”与“给定”的双重意义，以 及对。的依赖性，但同时也须明确N不是。的函数。理解无穷小数列的概念和它与极限 间的关系，以及无穷大数列和无界数列的关系。理解子序列的含义。掌握用。N定义证明 有理式与简单无理式的极限。深刻理解单调有界定理，迫敛性定理，子序列定理，逐步掌握
奇偶性与周期性、以及函数图象的平移、放缩叠加方法。逐步正确使用量词符号。 3.教学重点和难点 教学重点是绝对值不等式的解法与证明，函数的各种性态，有界集，确界原理的概念。 教学难点是确界原理的概念和理解。 4.教学内容 第一节 实数 1. 实数及其性质 2. 绝对值不等式 第二节 数集、确界原理 1. 区间与邻域 2. 有界集 3. 确界原理 第三节 函数概念 1. 函数的定义 2. 函数的表示方法 3. 函数的四则运算 4.反函数 5.初等函数 第四节 具有某些特性的函数 1. 有界函数 2. 单调函数 3. 奇函数与偶函数 4. 周期函数 第二章 数列极限 1.教学基本要求 深刻理解数列极限的概念；掌握数列极限的性质；理解无穷小数列的相关概念；掌握 用数列极限的定义证明极限的方法；掌握数列极限存在的条件。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 通过数列极限的教学将学生的认识领域从“有限”扩大到“无限”，逐步熟悉和理解极 限方法。深刻理解数列极限的 ε-N 定义，特别是 ε 的“任意”与“给定”的双重意义，以 及对 ε 的依赖性，但同时也须明确 N 不是 ε 的函数。理解无穷小数列的概念和它与极限 间的关系，以及无穷大数列和无界数列的关系。理解子序列的含义。掌握用 ε-N 定义证明 有理式与简单无理式的极限。深刻理解单调有界定理，迫敛性定理，子序列定理，逐步掌握
灵活使用这些定理的技巧。正确理解“9”，“”等不定型的含义及不确定性。 0 00 理解数列的“确界”与“极限”的关系 3.教学重点和难点 教学重点是数列极限的定义，数列极限的计算，迫敛性定理，单调有界定理，数列极 限的柯西收敛准则，用子列刻划数列的收敛性。教学难点是数列极限的柯西收敛准则。 4.教学内容 第一节 数列极限概念 1.数列极限的-N定义 第二节收敛数列的性质 1.收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，迫敛性、数列极限的四则运算 2.子列、收敛子列定理 第三节 数列极限存在的条件 1.单调有界定理 2.Cauchy收敛准则 第三章 函数极限 1.教学基本要求 理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质和存在条件，熟练应用两个重要极限，理 解无穷大量和无穷小量。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解“6一M”与“6一6”的定义，基本思想与几何意义，理解∫在。处的极 限与∫在x处取值情况的无关性。掌握在“∞”、“+∞”、“一∞”处极限的定义与无穷 大极限的定义，并能熟练地使用“。一X”，“M一6”等语言表述这些定义以及相应的逻辑 非命题。深刻理解有关无穷小量的一系列概念，无穷小量，等价无穷小，同阶无穷小等。深 刻理解归结原理的含义，掌握其证明。深刻理解函数极限的柯西收敛准则，掌握其证明。熟 练使用两个重要的极限计算某些不定型的极限。对比数列极限的性质，明确函数极限的某些 性质的局部性 3.教学重点和难点 教学重点是函数极限的定义，性质（唯一性，局部有界性，保号性），归结原则，柯西 准则，两个重要极限。教学难点是函数极限的局部性质，柯西准则。 4.教学内容 第一节 函数极限的概念 1.x→0时函数的极限 2.xx。时函数的极限
灵活使用这些定理的技巧。正确理解“ 0 0 ” ，“ ”等不定型的含义及不确定性。 理解数列的“确界”与“极限”的关系。 3.教学重点和难点 教学重点是数列极限的定义，数列极限的计算，迫敛性定理, 单调有界定理, 数列极 限的柯西收敛准则，用子列刻划数列的收敛性。教学难点是数列极限的柯西收敛准则。 4.教学内容 第一节 数列极限概念 1. 数列极限的 ε-N 定义 第二节 收敛数列的性质 1. 收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，迫敛性、数列极限的四则运算 2. 子列、收敛子列定理 第三节 数列极限存在的条件 1. 单调有界定理 2. Cauchy 收敛准则 第三章 函数极限 1.教学基本要求 理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质和存在条件，熟练应用两个重要极限，理 解无穷大量和无穷小量。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解“ －M ”与“ － ”的定义，基本思想与几何意义，理解 f 在 0 x 处的极 限与 f 在 0 x 处取值情况的无关性。掌握在“∞”、“+∞”、“－∞”处极限的定义与无穷 大极限的定义，并能熟练地使用“ε－X”，“M－δ”等语言表述这些定义以及相应的逻辑 非命题。深刻理解有关无穷小量的一系列概念，无穷小量，等价无穷小，同阶无穷小等。深 刻理解归结原理的含义，掌握其证明。深刻理解函数极限的柯西收敛准则，掌握其证明。熟 练使用两个重要的极限计算某些不定型的极限。对比数列极限的性质，明确函数极限的某些 性质的局部性。 3.教学重点和难点 教学重点是函数极限的定义，性质（唯一性，局部有界性，保号性），归结原则，柯西 准则，两个重要极限。教学难点是函数极限的局部性质，柯西准则。 4.教学内容 第一节 函数极限的概念 1. x 时函数的极限 2. 0 x x 时函数的极限
第二节函数极限的性质 1.唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算 2.复合函数的极限 第三节函数极限存在的条件 L.Heine归结原则 2.单侧极限存在定理 3.Cauchy收敛准则 第四节 两个重要的极限 2.证明ml+y=e 第五节 无穷大量与无穷小量 1,无穷小量 2.无穷小量阶的比较 3.无穷大量 4.曲线的渐近线 第四章 函数的连续性 1.教学基本要求 理解函数连续、间断点的概念，深刻理解一致连续的概念，了解初等函数连续性 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 牢固掌握函数在一点处连续的定义的二种形式。深刻理解单侧连续的定义及间断点的概 念及其分类。深刻理解“一致连续”的概念，理解“连续”是微观概念：“一致连续”是宏 观概念：掌握闭区间上连续函数的基本性质。掌握一般连续的逻辑非命是非命题及其在具体 问题中的应用。了解初等函数在其定义域内的连续性。了解初等函数在其定义域内的连续性。 3.教学重点和难点 教学重点是连续性的概念，闭区间上连续函数的基本性质，一致连续性。教学难点是 一致连续性。 4.教学内容 第一节连续性概念 1.函数在一点的连续性 2.间断点及其分类 3.区间上的连续函数 第二节 连续函数的性质
第二节 函数极限的性质 1. 唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算 2. 复合函数的极限 第三节 函数极限存在的条件 1. Heine 归结原则 2. 单侧极限存在定理 3. Cauchy 收敛准则 第四节 两个重要的极限 1. 证明 0 sin lim 1 x x x 2. 证明 1 lim(1 )x x e x 第五节 无穷大量与无穷小量 1. 无穷小量 2. 无穷小量阶的比较 3. 无穷大量 4. 曲线的渐近线 第四章 函数的连续性 1.教学基本要求 理解函数连续、间断点的概念，深刻理解一致连续的概念，了解初等函数连续性。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 牢固掌握函数在一点处连续的定义的二种形式。深刻理解单侧连续的定义及间断点的概 念及其分类。深刻理解“一致连续”的概念，理解“连续”是微观概念；“一致连续”是宏 观概念；掌握闭区间上连续函数的基本性质。掌握一般连续的逻辑非命是非命题及其在具体 问题中的应用。了解初等函数在其定义域内的连续性。了解初等函数在其定义域内的连续性。 3.教学重点和难点 教学重点是连续性的概念 ，闭区间上连续函数的基本性质，一致连续性。教学难点是 一致连续性。 4.教学内容 第一节 连续性概念 1. 函数在一点的连续性 2. 间断点及其分类 3. 区间上的连续函数 第二节 连续函数的性质
1.连续函数的局部性质 2.闭区间上连续函数的基本性质 3.反函数的连续性 4.一致连续性 第三节 初等函数连续性 L.指数函数的连续性 2.初等函数的连续性 第五章 导数和微分 1.教学基本要求 理解函数导数和微分的定义和几何意义，熟练掌握求导和求微分的方法。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解导数的定义与几何意义。深刻理解微分的定义与几何解释：以及一阶微分形式 不变性的确切含义.熟练掌握求导，求微分的方法.掌握用单侧导数的定义求出函数在一些特 殊点处的导数，掌握说明函数在该点的导数不存在的方法。 3.教学重点和难点 教学重点是导数的定义与几何意义：求导法则：参变量函数的导数：高阶导数：微分。 教学难点是反函数的导数：复合函数的导数：参变量函数的导数：高阶导数：微分在近似计 算中的应用。 4.教学内容 第一节导数的概念 1.导数的定义 2.导函数 3.导数的几何意义 第二节求导法则 1.导数的四则运算 2.反函数的导数 3.复合函数的导数 4.基本求导法则与公式 第三节 参变量函数的导数 1.参变量函数的导数及高阶导数 第四节 高阶导数 1.高阶导数的定义和运算 2.Leibniz公式 第五节微分
1. 连续函数的局部性质 2. 闭区间上连续函数的基本性质 3. 反函数的连续性 4. 一致连续性 第三节 初等函数连续性 1. 指数函数的连续性 2. 初等函数的连续性 第五章 导数和微分 1.教学基本要求 理解函数导数和微分的定义和几何意义，熟练掌握求导和求微分的方法。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法 深刻理解导数的定义与几何意义。深刻理解微分的定义与几何解释;以及一阶微分形式 不变性的确切含义.熟练掌握求导,求微分的方法。掌握用单侧导数的定义求出函数在一些特 殊点处的导数，掌握说明函数在该点的导数不存在的方法。 3.教学重点和难点 教学重点是导数的定义与几何意义；求导法则；参变量函数的导数；高阶导数；微分。 教学难点是反函数的导数;复合函数的导数；参变量函数的导数；高阶导数；微分在近似计 算中的应用。 4.教学内容 第一节 导数的概念 1. 导数的定义 2. 导函数 3. 导数的几何意义 第二节 求导法则 1. 导数的四则运算 2. 反函数的导数 3. 复合函数的导数 4. 基本求导法则与公式 第三节 参变量函数的导数 1. 参变量函数的导数及高阶导数 第四节 高阶导数 1. 高阶导数的定义和运算 2. Leibniz 公式 第五节 微分
1.微分的概念 2.微分的运算法则 3.高阶微分 4.微分在近似计算中的应用 四、学时分配 1.讲授内容及学时分配 章序 内容 课时 备注 实数集与函数 10 数列极限 13 函数极限 15 四 函数的连续性 13 五 导数和微分 13 合计 64 2.实践内容及学时分 项目 序号 内容提要 学时 必/选开 名称 1,掌挥集合相关概念 实数集与函数 2.掌握实数相关性质 3 习题 必做 3.掌握函数基本性质 1.掌握数列极限定义 数列极限习题 2.掌握数列极限的相关性质 必做 3.掌捉数列子列相关性质 1 ,理解函数极限的概念 2。掌握函数极限的性质和存在条件 函数极限习题 3 熟练应用两个重要极限 必做 4 理解无穷大量和无穷小量 1,理解函数连续、间断点的概念 函数连续性习 2.深刻理解一致连续的概念 必做 题 3.了解初等函数连续性 1 理解函数导数和微分的定义和几何意 导数和微分习 4 必做 2。熟练掌握求导和求微分的方法 合计 16
1. 微分的概念 2. 微分的运算法则 3. 高阶微分 4. 微分在近似计算中的应用 四、学时分配 1.讲授内容及学时分配 章序 内容 课时 备注 一 实数集与函数 10 二 数列极限 13 三 函数极限 15 四 函数的连续性 13 五 导数和微分 13 合计 64 2.实践内容及学时分配 序号 项目 名称 内容提要 学时 必/选开 1 实数集与函数 习题 1．掌握集合相关概念 2．掌握实数相关性质 3．掌握函数基本性质 3 必做 2 数列极限习题 1．掌握数列极限定义 2．掌握数列极限的相关性质 3．掌握数列子列相关性质 3 必做 3 函数极限习题 1．理解函数极限的概念 2．掌握函数极限的性质和存在条件 3．熟练应用两个重要极限 4．理解无穷大量和无穷小量 3 必做 4 函数连续性习 题 1．理解函数连续、间断点的概念 2．深刻理解一致连续的概念 3．了解初等函数连续性 3 必做 5 导数和微分习 题 1．理解函数导数和微分的定义和几何意 义 2．熟练掌握求导和求微分的方法 4 必做 合计 16
五、主用教材及参考书 (一)主用教材： 《数学分析》（上、下册）（第四版）主编：华东师范大学数学系出版社：高等教有出 版社出版或修订时间：2010年。 (二)参考书： 1.《数学分析》（上、下册）（第三版）主编：复旦大学数学系出版社：高等教育出 版社出版或修订时间：1992年。 2.《数学分析》（上、下册）（第三版）主编：刘玉琏，傅沛仁出版社：高等教有出 版社 出版或修订时间：1991年。 3.《数学分析习题课课程》（上、下册）主编：郑英元，毛羽辉，宋国栋等出版社： 高等教有出版社出版或修订时间：1994年。 4.《数学分析习题集》主编：吉米多维奇出版社：高等教有出版社出版或修订时 间：1982年。 执笔：韦毅华 审定：张秦梁桂珍
五、主用教材及参考书 （一）主用教材： 《数学分析》（上、下册）（第四版） 主编：华东师范大学数学系 出版社：高等教育出 版社 出版或修订时间：2010 年。 （二）参考书： 1. 《数学分析》（上、下册）（第三版）主编：复旦大学数学系 出版社：高等教育出 版社 出版或修订时间：1992 年。 2. 《数学分析》（上、下册）（第三版）主编：刘玉琏，傅沛仁 出版社：高等教育出 版社 出版或修订时间：1991 年。 3. 《数学分析习题课课程》（上、下册） 主编：郑英元，毛羽辉，宋国栋等 出版社： 高等教育出版社 出版或修订时间：1994 年。 4. 《数学分析习题集》 主编：吉米多维奇 出版社：高等教育出版社 出版或修订时 间：1982 年。 执笔：韦毅华 审定：张秦 梁桂珍