华南理工大学电子与信息学院：《数字信号与处理》第四章 LTI离散时间系统在变换域中的分析

数字信号与处理 Digital Signal Processing 第四章 LTI离散时间系统 在变换域中的分析 Analysis of LTI Discreet Time System in Transformation 南理工大 电子与信息学院 School of Electronic and Information, SCUT 数字信号处理精品课程

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 主要内容: ●频率响应 ●传输函数 ●简单滤波器 些特殊的传输函数 (仝通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补 滤波器) ●逆系统 ●系统辩识 ●双输入双输出系统 数字信号处理精品课程

主要内容： ⚫ 频率响应 ⚫ 传输函数 ⚫ 简单滤波器 ⚫ 一些特殊的传输函数 （全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补 滤波器） ⚫ 逆系统 ⚫ 系统辩识 ⚫ 双输入双输出系统

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 41有限维离散时间系统 对差分方程 ∑4-4∑-k 对上式作DTFT ok e aleJo Pre Jok Z变换为 =>,pk 数字信号处理精品课程

4.1 有限维离散时间系统     ( ) ( ) d z Y(z) p z X (z) Z d e Y e p e X e DTFT d y n k p x n k M k k k N k k k j M k j k k j N k j k k M k k N k k         =                 =         − = −       = − = − = − = − = = 0 0 0 0 0 0 变换为 对上式作 对差分方程    

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 42频率响应( frequency response) 42.1定义 l=∑]n-k 时 y{=∑hkle06=(∑hkle)en=H(e)emn k=-∞0 k=-00 其中x小]=em一一特征函数( eigen function) H(e)=∑k一一频率响应( requency response) 幅度响应( magnitude response) (o)=ag{H(e)一相位响应( phase response g(o)=20bg30/(e)-—增益函数( gain function a()=-g()一衰减函数( attenuation function) 或损失函数( loss function) 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.1 定义 4.2 频率响应（frequency response）       ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 或损失函数（ ） — —衰减函数（ ） — —增益函数（ ） — —相位响应（ ） — —幅度响应（ ） — —频率响应（ ） 其中 — —特征函数（ ） 当 时 loss function a g attenuation function g H e gain function H e phase response H e magnitude response H e h k e frequency response x n e eigen function y n h k e h k e e H e e x n e y n h k x n k j j j k j j k j n j n j j n k j k k j n k j n k                  = − = = = = = = = = = −      =− −  =− −  =− −  =− 1 0 ( ) 20log arg [ ] [ ] ( [ ] ) ( ) [ ] [ ] [ ]

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 42.2用 MATLAB计算频率响应 hI=ones(1, 5)/5 h2=ones(1,14)/14; w=0 pi/255: pi HI=freqz(hl, 1, w) H2-freqz(h2, 1, w); mI=abs(h1) m2=abs(h2) 01020304050607089 plot(w/pi, ml, r-w/pi, m2, b--) xlabel( \omega/pi) ylabel(幅度") legend( r-,M=5, b,M=14) pause phl=angle(h1)*180/pi 量 ph2=angle(H2 )*180/pi plot(w/pi,phl, r-w/pi, ph2, b--) xlabel(( \omega/pi) ylabel((相位(度)) legend(r -, M=5, b-M=14) 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.2 用MATLAB计算频率响应 h1=ones(1,5)/5; h2=ones(1,14)/14; w=0:pi/255:pi; H1=freqz(h1,1,w); H2=freqz(h2,1,w); m1=abs(H1); m2=abs(H2); plot(w/pi,m1,'r-',w/pi,m2,'b--'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度'); legend('r-','M=5','b--','M=14'); pause; ph1=angle(H1)*180/pi; ph2=angle(H2)*180/pi; plot(w/pi,ph1,'r-',w/pi,ph2,'b--'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位（度）'); legend('r-','M=5','b--','M=14');

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 423稳态响应( steady- state response) I∏离散时间系统的频率响应决定了其对正弦输入的稳态响应 例 x[n]=A cos(on+o)=8n]+8 In 式中,g团川]=(1/2)Ae冲e/o 设vm为输入g叫m]的响应,则: v{n]=(1/2)Ae冲He)e0 类似地有:v*m]=(12)Ae冲He-o)e/0 则输出y]对x团m]的响应是 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.3 稳态响应（steady-state response） LTI离散时间系统的频率响应决定了其对正弦输入的稳态响应 例： x[n] =A cos (ω0n + ) = g[n] + g*[n] 式中， g[n] =(1/2) A e j e jω 0 n 设v[n] 为输入 g[n] 的响应，则: v[n] = (1/2) A e j H(e jω 0 ) e jω 0 n 类似地有: v*[n] = (1/2) A e － j H(e － jω 0 ) e － jω 0 n 则输出y[n] 对x[n]的响应是:

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 yn=v[n]+vin i Ae jdh(elon )e/oon+1 Ae joH(e J@/)e Joon 2A H(eloo )lfej0ooejq j(0)b-j, Oon e H(eo)lcos(oon +8(O0)+o A H(eo) cos(oo(n+ (o)+中) y与x同频正弦信号,除了 (1)幅度×H(e0) (2)相位延迟6(0) 数字信号处理精品课程

    2 ( ). 1 | ( ) | | ( ) | cos( ( ) ) | ( ) | cos( ( ) ) | ( ) |{ } ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                              （ ）相位延迟 （）幅度 与 为同频正弦信号，除了 j j j j j j j n j j j n j j n j n j j n j n H e y n x n A H e n A H e n A H e e e e e e e Ae H e e Ae H e e y n v n v n  = + + = + + = + = + = + − − − − − − 

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 4.24对因果指数序列的响应 设输入小=emu则 =∑kpm)pb ∑小 e uln k=0 ∑小p/em-∑小-p k=0 Jo lYon ∑硬 jok loon 稳态响应( steady- state response):yn[]=H(e)/m 暂态响应( transient response.):y小]∑小kp ak loon k=n+1 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.4 对因果指数序列的响应         ( )           ( )     ( )     j n k n j k t r j j n s r j n k n j j n j k j n k n j n j k k j k j n n k j k n k j n k j n transient response y n h k e e steady state response y n H e e H e e h k e e h k e e h k e e h k e e u n y n h k e u n x n e u n                       = − =       = −        −      =       =       = =        = + −  = + −  = + −  = − = − = − 1 1 0 1 0 0 : 暂态响应（ ）： 稳态响应（ ） 设输入 ，则

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 yn四的性质: (1)有界 W小∑小叫∑啊∑小 k=n+1 k=n+1 2)由于当m→时,∑小]→0,因此当→以时→0 k=n+1 当为有限长,即]=0,n>M时,yn]=0,n>N 数字信号处理精品课程

      ( )             0   0 1 2 0 0 1 1 1 1 0 =  =  − →  → →  → =        = +  =  = +  = + − − h n h n n N y n n N n h k n y n y n h k e h k h k y n t r t r k n k n k n k j k n t r t r 当 为有限长，即 ， 时， ， （ ）由于当 时， ，因此当 时， ； （）有界 的性质： 

第四章丨LT髙散时间系统在变换域中的分析 425滤波 例 O|≤ Jo <bo≤丌 当输入]=4 cOSIn+BosO2n,0<01<2<02<耐时 14)+) AlHleJo1 cos(on+0 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.5 滤波 ( )     ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 cos cos cos cos cos 0 0 1 1 1 2                          + = + + + = +             A H e n y n A H e n B H e n x n A n B n H e j j j c c c j 当输入 ， 时 例：