华南理工大学电子与信息学院：《数字信号与处理》第三章 变换域中的离散时间信号

数字信号与处理 Digital Signal Processing 第三章 变换域中的离散时间信号 Discreet Time Signal of Transformation 南理大 电子与信息学院 School of Electronic and Information. SCUT 数字信号处理精品课程

第三章|变换域中的离散时间信号 主要内容 ●傅立叶变换 离散时间傅立叶变换( Discrete- Time Fourier transform,DTFT) (定义、收敛条件、性质) 离散傅立叶变换( Discrete fourier transform,DFT) (定义、性质) ●Z变换(定义、收敛条件、逆变换、性质) 数字信号处理精品课程

主要内容： ⚫ 傅立叶变换 －离散时间傅立叶变换（Discrete-Time Fourier Transform，DTFT) （定义、收敛条件、性质） – 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT) （定义、性质） ⚫ Z变换（定义、收敛条件、逆变换、性质）

第三章|变换域中的离散时间信号 31离散时间傅立叶变换 ●3.11定义 X(e)=∑xne X(e°)为复数,可以表示为: X(elo)=xre(elo)+X m (elo)= X(elo) to) 其中(a)=ang(X(e0) XY(e):傅立叶频谱( Fourier spectrum) X(e):幅度函数( magnitude function)或幅度谱( magnitude spectrun) 0():相位函数( phase function)或相位谱( phase spectrum) 数字信号处理精品课程

3.1 离散时间傅立叶变换 ⚫ 3.1.1 定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arg ( ) ( ) ( ) j j n n j j j j j j re im j j j X e x n e X e X e X e X e X e e X e X e Fourier spectrum X e magnitude function magnitude spectrum ph                  − =− = = + = =  为复数，可以表示为: 其中 ：傅立叶频谱（ ） ：幅度函数（ ）或幅度谱（ ） ：相位函数（ ase function phase spectrum ）或相位谱（ ）

第三章|变换域中的离散时间信号 例:15n的DTFr △(e)= snle=1 2 xn=a"un, a1 ()=∑ n a ul n le ae ae 1-ae10 数字信号处理精品课程

( ) ( ) ( ) 0 0 1. 1 2. 1 1 1 j j n n n n j n j n n j n j j n n n n DTFT e n e x n u n X e u n e e e e                 − =−    − − − − =− = =                      = = =  = = = = −     例： 的

第三章|变换域中的离散时间信号 傅立叶频谱的性质 jo@ LeySin elo io+im tanto X 对实序列,有 Xe10,XnO为o的偶函数 (o)Xm/奇函数 数字信号处理精品课程

傅立叶频谱的性质： 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                j r e j j i m i m j r e j j j i m j j r e X e X e X e X e X e X e X e X e X e = + = = = tan cos sin 2 2 2 ( ) ( ) ( )， ( )为 的奇函数 ， 为 的偶函数 对实序列，有        j i m j r e j X e X e X e 2

第三章|变换域中的离散时间信号 3、X(e)为o连生续函数,且为周期函数,周期为2z 证明 x(e/(a+2zk) ∑x小]e +2丌k)n ∑x[小 j@n-j2Thn n=-0 ∑xl]emn n=-00 数字信号处理精品课程

3 2 ( ) j X e  、 为  的连续函数，且为周期函数，周期为 ( ) ( ) 1 j k 2 X e   + 证明：   j k n ( 1 2 ) n x n e    − + =− =    j n1 j kn 2 n x n e e    − − =− =    1 j n n x n e   − =− =  ( ) 1 j X e  =

第三章|变换域中的离散时间信号 傅立叶反变换( Inverse discrete- Time fourier transform, IDTET) xIn AleJe onde 2丌 证明 do 丌 ∑ o(n-) n=-∞0 2丌 o(n-) ,o(n-) ∑x 2z(f(n-)f(m-) ∑x Sln丌(n ∑x[δ[n-]=x n=-00 丌(n n=-00 nT(n- 其中 SI 丌(n 0n≠l 数字信号处理精品课程

  ( ) 1 2 j j n x n X e e d       − =  x n  证明：     ( )   ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( )       ( ) ( )   1 2 1 2 1 2 sin sin 1 0 j l j n n j n l n j n l j n l n n n x l e e d x l e d e e x l j n l j n l n l x l x l n l x n n l n l n l n l n l n l                          − − =−  − − =−  − − =− = =−   =− =−   =       =       =  −   − −   − = = − = − −  = = = −  −          其中， 傅立叶反变换（Inverse Discrete-Time FourierTransform,IDTFT）：

第三章|变换域中的离散时间信号 312收敛条件( convergence 如果xm]的DTFT在种意义上收敛,则称xm的傅立叶变换存在 致收敛( uniform convergence) 令Hk )=∑小/m,一致收敛的定义为 K lim aleJo -XxleJo=0 K. 如果∑小<,则Xk)致收敛,即再的DF存在 n=-00 ∑}-s∑ xIn< oo n=-00 n=-00 数字信号处理精品课程

⚫ 3.1.2 收敛条件（convergence) 如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在 ( )   ( ) ( )   ( )   ( ) =          − = =      =−  =− −  =− → =− − n n j j n j K n j K j K K n K j j n K X e x n e x n x n X e x n DTFT X e X e X e x n e uniform convergence        如果 ，则 一致收敛，即 的 存在 令 ，一致收敛的定义为 、一致收敛（ ） lim 0 1

第三章|变换域中的离散时间信号 2、均方收敛(mean- sguare convergence) (绝对可加序列具有有限能量,但有限能量序列不一定绝对可加) Jo X O K do=0 K 丌 例:理想低通滤波器 10<l≤o O LP 00≤o≤ O Jocn - Jocn sInon LP <丌<0 2丌 2丌 p四能量为,但不绝对可加 ∑=2mo=-j ao n=-00 数字信号处理精品课程

( ) ( ) ( )     （   ( ) ） 能量为 ，但不绝对可加 例：理想低通滤波器 （绝对可加序列具有有限能量，但有限能量序列不一定绝对可加） 、均方收敛（ ）      − −  =− − − → − = = = = −             = = −         = − = −                                    j c LP n LP c LP c j n j n j n LP c c j LP j K j K c c c c c c h n H e d d h n n n jn e jn e h n e d H e X e X e d mean square convergence 2 1 2 1 sin 2 1 2 1 0 1 0 lim 0 2 2 2 2

第三章|变换域中的离散时间信号 非绝对可加或均方可加信号的DTFT 阶跃序列:uz] 1n≥0 0ndlo+2k eJoo←D1FT 2IS0-0n+2k k=-∞ DTFT a u ae Jo 数字信号处理精品课程

    ( )   n x n A x n A n n n u n DTFT    = = +      = 指数序列： 正弦序列： 阶跃序列： 、非绝对可加或均方可加信号的 0 cos 0 0 1 0 3   ( )   ( ) ( )   ( )                  j n DTFT k j n DTFT k j DTFT k DTFT DTFT e u n e k k e u n k n DTFT −  =−  =− −  =− −  ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ − + + + − ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ + ⎯ ⎯→    1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 0 ， 常用 对