《分形的计算机生成及其应用》PDF电子书

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目录摘要·············································································································2 第 1 章 Mandelbrot 与分形·············································································4 1.1 Mandelbrot 与其的研究课题····································································4 1.2 分形基础····························································································7 1.2.1 基本概念·····················································································7 1.2.2 维数··························································································9 第 2 章传统分形························································································12 2.1 构造分形专用函数包·············································································12 2.2 Cantor 集··························································································13 2.2.1 Cantor 集的构造········································································13 2.2.2 Cantor 集的实现········································································14 2.3 Kohn 曲线························································································17 2.3.1 Kohn 曲线与随机 Kohn 曲线························································17 2.3.2 递归分形中的生成元···································································20 2.4 Sierpinski 集······················································································27 2.4.1 Sierpinski三角形·······································································27 2.4.2 Sierpinski 地毯··········································································29 第 3 章分形模型和系统···············································································31 3.1 L 系统·······························································································31 3.1.1 L 系统描述方法及算法·······························································31 3.1.2 L 系统的植物模拟·····································································33 3.2 迭代函数系统·····················································································38 3.2.1 仿射变换与拼贴定理( collage theorm)················································38 3.2.2 IFS 自然景物模拟········································································43 3.3 DLA 模型···························································································44 3.3.1 分形凝聚体与DLA 模型·······························································44 3.3.2 自然生长过程模拟及其维数的计算：················································46 3.3.3 大尺度下的 DLA 模型改造····························································47 第 4 章分形之应用·····················································································49 4.1 高分子分形产生···················································································49 4.1.1 具有生命活力的高分子分形分析·····················································49 4.1.2 芳香烃族生成元的分形模拟···························································52 4.2 IFS 系统与 L 系统的综合模拟树、花枝······················································54 4.3宇宙中的分形综述················································································56 结束语·········································································································59 参考文献······································································································59 附录············································································································60

摘要自从 B Mandelbrot提出分形之后,由于它极其接近于大自然,在很多领域或了人们一直进行相关的研究。在本文中,通过计算机编程语言 Turbo C模拟出传统分形以及几个具有代表性的模型或者系统产生的分形图形。首先,我们介绍了被称为分形之父的 Mandelbrot研究的课题,然后,稍微描述关于分形的定义以及维数方面的概念。其次,根据对分形的粗略理解, 我们构建了 Cantor集、Kohn曲线和 Sierpinski集的生成算法,并绘制出它们的有限步图形。在分析Kohn曲线的过程中,分析构造出一种生成一类分形的方法:等长生成元和可变生成元。利用这个方法构造出各种奇异的线条以及根据生成元线条几何关系计算了部分图形的维数。再次,基于不同的目的,这里更加注重于构造分形的三个模型或系统:L系统,迭代函数系统(IFS)和DLA模型。然后构造出这些模型和系统的算法,同时在生成传统分形的基础上,用这些算法及其相应的程序,对大量的自然事物进行模拟,例如:柳条,枫树叶,树枝和凝聚物的生长过程等等。其间,在L系统模拟中,采用基本几何多边形来细化自然树枝在IFS中利用 matlab计算压缩变换的系数;在DLA模型中用mtab计算了凝聚体的盒维数, 提出了它在大尺度下的模型改造。最后,利用上面的分形模型算法和程序,我们分别在微观分子尺度、常规尺度和宇宙宏观大尺度上分别考虑并且探讨了分形的应用。从这三个尺度上, 先是利用生成元方法分析了像蛋白质这样的高分子分形结构,并且模拟出一些苯的衍生物随后综合运用L系统和IFS系统模拟出带分形叶子和花朵的枝条;最终从宇宙的观点,探讨了宇宙的分形特征并采用分形观点解释了一些现象例如木星的大红、黑斑,月亮的环形山, 并推测出些内在的结果,如陨星的大小分布。关键字:维数;生成元;传统分形;L系统;迭代函数系统;DLA模型;髙分子;宇宙

2 摘要自从 B.Mandelbrot 提出分形之后，由于它极其接近于大自然，在很多领域了人们一直进行相关的研究。在本文中，通过计算机编程语言 Turbo C 模拟出传统分形以及几个具有代表性的模型或者系统产生的分形图形。首先，我们介绍了被称为分形之父的Mandelbrot 研究的课题，然后，稍微描述关于分形的定义以及维数方面的概念。其次，根据对分形的粗略理解，我们构建了 Cantor 集、Kohn 曲线和 Sierpinski集的生成算法，并绘制出它们的有限步图形。在分析 Kohn 曲线的过程中，分析构造出一种生成一类分形的方法：等长生成元和可变生成元。利用这个方法构造出各种奇异的线条以及根据生成元线条几何关系计算了部分图形的维数。再次，基于不同的目的，这里更加注重于构造分形的三个模型或系统：L 系统，迭代函数系统（IFS）和 DLA 模型。然后构造出这些模型和系统的算法，同时在生成传统分形的基础上，用这些算法及其相应的程序，对大量的自然事物进行模拟，例如：柳条，枫树叶，树枝和凝聚物的生长过程等等。其间，在L 系统模拟中，采用基本几何多边形来细化自然树枝在 IFS 中利用 matlab 计算压缩变换的系数；在 DLA 模型中用 matlab 计算了凝聚体的盒维数，提出了它在大尺度下的模型改造。最后，利用上面的分形模型算法和程序，我们分别在微观分子尺度、常规尺度和宇宙宏观大尺度上分别考虑并且探讨了分形的应用。从这三个尺度上，先是利用生成元方法分析了像蛋白质这样的高分子分形结构，并且模拟出一些苯的衍生物；随后综合运用L 系统和 IFS系统模拟出带分形叶子和花朵的枝条；最终从宇宙的观点，探讨了宇宙的分形特征并采用分形观点解释了一些现象例如木星的大红、黑斑，月亮的环形山，并推测出一些内在的结果，如陨星的大小分布。关键字：维数；生成元；传统分形；L 系统；迭代函数系统；DLA模型；高分子；宇宙

abstract Since fractal was advanced by B. Mandelbrot, researches on it in many fields have being con- ducted, due to its approaching nature extremely. In this paper, some traditional fractals and some created by several representat ive models or systems, are simulated by computer in a computer language Turbo C. Firstly, regarded as the father of fractal, Mandelbrot is introduced along with his research subjects. Then, there are certain conceptions about the definit ions of fractal and its dimension described ratherish. Secondly, according to glancing comprehension, we construct arithmet ics of the fom about Cantor set, Kohn curve and Sierpinski set, and plot theirfinite figures During the analysis of Kohn curve, a method, named create Element method, is analyzed and conformed in two aspects equal and variable length. Moreover, some fantastic fiactal lines are traced using the method above and we calculate some dimensions of them by the geometrical relation of the element. Thirdly dependent on different purposes, we attach more importance to three of fractal models or systems L-system, IFS system and DLa model. Thereby, the arithmet ics about aforementioned methods or systems are built. At the same time, inchuding the traditional fractals, a mass of natural objects are painted by the programs to arithmetics, such as wicker, maple leaf, branch, the growth of gghut nating matters. Meanwhile, in L-system, braches are fine-drawed with leaves made up of polygons; in IFS, the coefficients of constringent transforms are computed by matlab; in DLa model, besides calculating the box-dimension of clots, we rebuild dla model in the case of large scale Lastly, making use of the arithmetics and corresponding programs of those fractal methods, consider and probe into the application of fractal respectively in three scales small scale of microcosmic molecule, routine scale and large scale of universe. Through these scales, we adop create Element method to analyze the structure of some macromolecules such as protein, and simulate some ramif ications of benzene; thereafter, synthetically utilize L-system and IFS method to create branches with leaves and flowers; in the view of large scale, we discuss the characters of universal fractal, and apply fractal viewpoint to explain some phenomena, for example large red or black spot on Jupiter, ring mountains on moon, and to speculate on connotat ive results such as the size distribution of meteorites. Key Word: dimension; createElemet; traditional fractal L-system; IFS system, DLA model macromolecule: universe

3 Abstract Since fractal was advanced by B.Mandelbrot, researcheson it in many fields have being conducted, due to its approaching nature extremely. In this paper, some traditional fractals and some, created by several representative models or systems, are simulated by computer in a computer language Turbo C. Firstly, regarded as the father of fractal, Mandelbrot is introduced along with his research subjects. Then, there are certain conceptions about the definitions of fractal and its dimension described ratherish. Secondly, according to glancing comprehension, we construct arithmetics of the form about Cantor set, Kohn curve and Sierpinski set, and plot their finite figures. During the analysis of Kohn curve, a method, named createElement method, is analyzed and conformed in two aspects: equal and variable length. Moreover, some fantastic fractal lines are traced using the method above, and we calculate some dimensions of them by the geometrical relation of the element. Thirdly, dependent on different purposes, we attach more importance to three of fractal models or systems: L-system, IFS system and DLA model. Thereby, the arithmetics about aforementioned methods or systems are built. At the same time, including the traditional fractals, a mass of natural objects are painted by the programs to arithmetics, such as wicker, maple leaf, branch, the growth of agglutinating matters. Meanwhile, in L-system, braches are fine-drawed with leaves made up of polygons; in IFS, the coefficients of constringent transforms are computed by matlab; in DLA model, besides calculating the box-dimension of clots, we rebuild DLA model in the case of large scale. Lastly, making use of the arithmetics and corresponding programs of those fractal methods, we consider and probe into the application of fractal respectively in three scales: small scale of microcosmic molecule, routine scale and large scale of universe. Through these scales, we adopt createElement method to analyze the structure of some macromolecules such as protein, and simulate some ramifications of benzene; thereafter, synthetically utilize L-system and IFS method to create branches with leaves and flowers; in the view of large scale, we discuss the characters of universal fractal, and apply fractal viewpoint to explain some phenomena, for example large red or black spot on Jupiter, ring mountains on moon, and to speculate on connotative results such as the size distribution of meteorites. Key Word: dimension; createElemet; traditional fractal ; L-system; IFS system; DLA model; macromolecule; universe

第1章 Mandelbrot与分形多少世纪以来,欧式几何奠定了整个科学的基础,为人类进行科学研究、生产实践以及探索自然提供了有力的工具,而欧式几何更是描述的是整数维空间的几何学。然而自从被称为分形之父的 B Mandelbrot提出了分形这个词眼之后,关于它的研究如雨后春笋般涌现出来。如今分形的应用涉及到几乎所有的领域,可以说它无处不在。本章将以 Mandelbrot为起点,一方面介绍它的人物信息来呈现出他所研究的方式、课题及独特的几何观念,另一方面介绍分形的基础知识,以便后面关于分形模拟和维数计算以及应用方面提供良好的基础 1.1 Mandelbrot与其的研究课题 Mandelbrot不是传统的数学家,在他的分形理论出现之前,他一直不被各领域的科学家所认同。但是,自从他的分形研究在世人面前展现之后,他的地位扶摇直上,成为世界上最有名气的科学家之一。之后,科学界曾两次为他举行国际范围的助手活动,对于在不计其数的众多科学家当中,得到这样的享誉,实在是一件极为不容易的事情。他独持的思维,以及个人成长背景,我想,正好塑造了他这个科学界的伟人。为什么我们这里要讨论下 Mandelbrot的一些研究课题呢?一方面是表明他在其所开创的分形领域所作的实际贡献;另一方面,从他的研究课题中可以理会其研究方法和独特的气质;还有从其中引出本论文后面所涉及的相关的部分内容以深化理解相关知识。 Mandelbrot可以说是一个博物学家,他个人本身就在多个学科领域“流浪”过。在早期, 他进入物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科领域,是博学成就了他的事业,使他成为代伟人。纵观 Mandelbrot的研究领域,可以看出他最擅长用自己的几何直觉来分析问题。他是一个当今为数不多通过几何观点显现出如此成就的研究者。 ●海岸线如果问你中国的海岸线有多长,我相信大部分人都会去找到资料,描述它具体有多少公里。其实,这只是我们作为人所能识别的尺度来测量海岸线所得的长度。以 Mandelbrot的研究来说,任何海岸线都是无限长的,在这种情况下长度测量已经失去了实际意义,必须找到个其他的量或者事物来表征不同的海岸线 1967年芒氏在美国的《科学》杂志上专门发表了长度为两页多的报告《英国海岸线有多长?统计自相似与分数维》,以及在1975出版的《分形对象:形、机遇和维数》也有专门一章讨论到“布列塔尼的海岸线有多长?”引出的一些概念和理论知识。其实,芒氏和很多科学伟人一样都是站在“巨人”的肩膀上才获得如此成就。在 Mandelbrot的《英国海岸线有多长? 统计自相似与分数维》文献中,开篇就明确地指出:地理上的曲线都有精细结构,它们的长度是无穷的,确切地讲是不确定的,而且大多数是统计自相似的,即每个部分认为是整体的缩小比例的近似。在这种情况下,这篇文章中引出了一个量D,它用来表示自然分形的复杂程度,也就是通常说的分形维数。在研究海岸线中,他提出了上面所说的“统计自相似”的概念,也发现出海岸线和它本身的精细结构几乎没有空缺或者交叉点。这与 Mandelbrot后面

4 第1章 Mandelbrot 与分形多少世纪以来，欧式几何奠定了整个科学的基础，为人类进行科学研究、生产实践以及探索自然提供了有力的工具，而欧式几何更是描述的是整数维空间的几何学。然而自从被称为分形之父的 B Mandelbrot 提出了分形这个词眼之后，关于它的研究如雨后春笋般涌现出来。如今分形的应用涉及到几乎所有的领域，可以说它无处不在。本章将以 Mandelbrot 为起点，一方面介绍它的人物信息来呈现出他所研究的方式、课题及独特的几何观念，另一方面介绍分形的基础知识，以便后面关于分形模拟和维数计算以及应用方面提供良好的基础。 1.1 Mandelbrot 与其的研究课题 Mandelbrot 不是传统的数学家，在他的分形理论出现之前，他一直不被各领域的科学家所认同。但是，自从他的分形研究在世人面前展现之后，他的地位扶摇直上，成为世界上最有名气的科学家之一。之后，科学界曾两次为他举行国际范围的助手活动，对于在不计其数的众多科学家当中，得到这样的享誉，实在是一件极为不容易的事情。他独特的思维，以及个人成长背景，我想，正好塑造了他这个科学界的伟人。为什么我们这里要讨论下 Mandelbrot 的一些研究课题呢？一方面是表明他在其所开创的分形领域所作的实际贡献；另一方面，从他的研究课题中可以理会其研究方法和独特的气质；还有从其中引出本论文后面所涉及的相关的部分内容以深化理解相关知识。 Mandelbrot 可以说是一个博物学家，他个人本身就在多个学科领域“流浪”过。在早期，他进入物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科领域，是博学成就了他的事业，使他成为一代伟人。纵观 Mandelbrot 的研究领域，可以看出他最擅长用自己的几何直觉来分析问题。他是一个当今为数不多通过几何观点显现出如此成就的研究者。 ⚫ 海岸线如果问你中国的海岸线有多长，我相信大部分人都会去找到资料，描述它具体有多少公里。其实，这只是我们作为人所能识别的尺度来测量海岸线所得的长度。以Mandelbrot 的研究来说，任何海岸线都是无限长的，在这种情况下长度测量已经失去了实际意义，必须找到一个其他的量或者事物来表征不同的海岸线。 1967 年芒氏在美国的《科学》杂志上专门发表了长度为两页多的报告《英国海岸线有多长?统计自相似与分数维》，以及在 1975 出版的《分形对象：形、机遇和维数》也有专门一章讨论到“布列塔尼的海岸线有多长？”引出的一些概念和理论知识。其实，芒氏和很多科学伟人一样都是站在“巨人”的肩膀上才获得如此成就。在 Mandelbrot 的《英国海岸线有多长? 统计自相似与分数维》文献中，开篇就明确地指出：地理上的曲线都有精细结构，它们的长度是无穷的，确切地讲是不确定的，而且大多数是统计自相似的，即每个部分认为是整体的缩小比例的近似。在这种情况下，这篇文章中引出了一个量 D，它用来表示自然分形的复杂程度，也就是通常说的分形维数。在研究海岸线中，他提出了上面所说的“统计自相似”的概念，也发现出海岸线和它本身的精细结构几乎没有空缺或者交叉点。这与Mandelbrot 后面

将用随机Kohn曲线来近海岸线有一定的关联,关于这个曲线的具体性质和实现过程我们将在第二章介绍。既然长度无法表征海片线,那么应该有其他量来描述塔的复杂程度。 Mandelbrot这里就提到了1961年 Richardson研究的经验数据和经验表达式,并计算出英国西海岸的为数为 1.25维,比通常曲线维数1要大,而且是一个分数。当时 Richardson并未提出分数维的概念,只是通过经验观察,得出海岸线的长度()与O成正比,其中G是他用来测量海岸线的比例尺的大小,而得出的结论是α是一个依赖于海岸线的选择。但是由于对同海岸线的不同区段也得到不同的α,对此 Richardson认为α无特殊意义。但是 Mandelbrot是一个善于观察的人,他对4()和G作双对数曲线图,得到一个惊人的发现,结果整个曲线几乎是一条直线,斜率大概是D-1,D就是后面他定义的分形维数,并且其后提出的相似维数我们后面将会讨论到前述海岸线在《分形对象:形、机遇和维数》用专门的一章来提及过。其中,他进一步对分形维数方面的概念及一些问题进行了介绍和分析。譬如维数方面,它重新列举了容量维数、相似维数和广义维数,提出了内位似和级联的概念。重新对海岸线的粗略模型Koh雪花曲线以及 Peano曲线引发的问题进行重点分析。这些内容我将在第二章进行详细介绍和分析。总之,分形概念的提出相当部分应该归功于 Mandelbrot对海岸线的研究,并且他的对前人的总结和坚决反对世人对他的藐视看法进行驳斥,都为他后来的成就产生深远影响。随机论人们在谈到概率分布的时候,立马就会谈到高斯正态分布。因为正态分布实在太普遍了, 以致于将它视为标准,不满足正态分布的被认为是“变态”分布。特别是维纳在研究布运动中完成了一套漂亮的数学理论之后,是人们对正态分布更是向往,因为维纳对布朗随机过程的研究用的正是正态分布。正因为正态分布在处理某些问题上取得了空前的成功,所以“非高斯稳定随即过程”受重视的程度远远不及正态分布。 Mande brot关于随机论方面的研究, 最早是关于词频分布和收入分布方面。后来他又对河水的涨落以及经济学中的收入分布规律进行过专门探讨。另外,在 Mande brot的整个分形研究中,莱维稳定分布是最为重要的。这个分布几乎使他的研究完全统一起来,并且也沟通了自然科学中确定论体系和随机论体系。 Mandelbrot的早期,经济学方面是他的重要研究课题。在所有的这类研究中,他似乎只关心涉及收入分布及其相关的价格问题。然而在他研究的经济学领域,也涉及了多个非髙斯的稳定概率分布。所谓稳定分布指的是多个独立同分布的随机变量序列经过适当的线性总和后,其分布仍然保持不变。其中,柯西分布和以及 Mandelbrot后面研究出的负幂律分布(其中指数介于0和2之间)都属于稳定分布。其实, Mandelbrot在他的大部分经济模型中,体现出来的就是尺度不变下的不变性,并且期间他提出了标度理论。同样在随机处理方面,当 Mandelbrot研究海岸线的模型的时候,他曾考虑过用Kohn曲线来建立模型。随后,他应用随机性来改善Koh曲线使其更加接近于自然界的海岸线。因为只有运用随杋性,才能寻求掌握未知和不能控制对象的唯·数学模型,他发现这样做效果极高。对海芹线的随机Kohn模拟可以从第二章描述Kohn曲线时得到。 Julia集和 Mandelbrot集

5 将用随机 Kohn 曲线来近似海岸线有一定的关联，关于这个曲线的具体性质和实现过程我们将在第二章介绍。既然长度无法表征海岸线，那么应该有其他量来描述塔的复杂程度。Mandelbrot 这里就提到了 1961 年 Richardson 研究的经验数据和经验表达式，并计算出英国西海岸的为数为 1.25 维，比通常曲线维数 1 要大，而且是一个分数。当时 Richardson 并未提出分数维的概念，只是通过经验观察，得出海岸线的长度 L G( ) 与 G  成正比，其中 G 是他用来测量海岸线的比例尺的大小，而得出的结论是  是一个依赖于海岸线的选择。但是由于对同一海岸线的不同区段也得到不同的  ，对此 Richardson 认为  无特殊意义。但是 Mandelbrot 是一个善于观察的人，他对 L G( ) 和 G 作双对数曲线图，得到一个惊人的发现，结果整个曲线几乎是一条直线，斜率大概是 D −1 ,D 就是后面他定义的分形维数，并且其后提出的相似维数我们后面将会讨论到。前述海岸线在《分形对象：形、机遇和维数》用专门的一章来提及过。其中，他进一步对分形维数方面的概念及一些问题进行了介绍和分析。譬如维数方面，它重新列举了容量维数、相似维数和广义维数，提出了内位似和级联的概念。重新对海岸线的粗略模型Kohn 雪花曲线以及 Peano 曲线引发的问题进行重点分析。这些内容我将在第二章进行详细介绍和分析。总之，分形概念的提出相当部分应该归功于Mandelbrot 对海岸线的研究，并且他的对前人的总结和坚决反对世人对他的藐视看法进行驳斥，都为他后来的成就产生深远影响。 ⚫ 随机论人们在谈到概率分布的时候，立马就会谈到高斯正态分布。因为正态分布实在太普遍了，以致于将它视为标准，不满足正态分布的被认为是“变态”分布。特别是维纳在研究布朗运动中完成了一套漂亮的数学理论之后，是人们对正态分布更是向往，因为维纳对布朗随机过程的研究用的正是正态分布。正因为正态分布在处理某些问题上取得了空前的成功，所以“非高斯稳定随即过程”受重视的程度远远不及正态分布。Mandelbrot 关于随机论方面的研究，最早是关于词频分布和收入分布方面。后来他又对河水的涨落以及经济学中的收入分布规律进行过专门探讨。另外，在 Mandelbrot 的整个分形研究中，莱维稳定分布是最为重要的。这个分布几乎使他的研究完全统一起来，并且也沟通了自然科学中确定论体系和随机论体系。 Mandelbrot 的早期，经济学方面是他的重要研究课题。在所有的这类研究中，他似乎只关心涉及收入分布及其相关的价格问题。然而在他研究的经济学领域，也涉及了多个非高斯的稳定概率分布。所谓稳定分布指的是多个独立同分布的随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变。其中，柯西分布和以及 Mandelbrot 后面研究出的负幂律分布(其中指数介于 0 和 2 之间)都属于稳定分布。其实，Mandelbrot 在他的大部分经济模型中，体现出来的就是尺度不变下的不变性，并且期间他提出了标度理论。同样在随机处理方面，当 Mandelbrot 研究海岸线的模型的时候，他曾考虑过用 Kohn 曲线来建立模型。随后，他应用随机性来改善 Kohn 曲线使其更加接近于自然界的海岸线。因为只有运用随机性，才能寻求掌握未知和不能控制对象的唯一数学模型，他发现这样做效果极高。对海岸线的随机 Kohn 模拟可以从第二章描述 Kohn 曲线时得到。 ⚫ Julia 集和Mandelbrot 集

Julia集和 Mande brot集的形成分属于迭代函数进行多次迭代产生的无限自相似精细结构。自从迭代分形提出后,复式迭代过程又成为研究的热点。因为文章研究的限度,本文后边关于它们的分析几乎没有涉及到,所以这里只是稍作介绍以加深对分形对象的理解。一个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性,一个简单的二次多项式究竞有什么奥秘值得如此众多的学者和研究人员来关注。最先,作为动力系统的模型,我们大多数考虑的是它作为决定性系统来研究其随时间的演化。但是最近的研究就是对这个二次多项式进行复式迭代,它是属于一种特殊的复动力系统,而这些至今已经有了非常丰富的成果那么复式迭代是什么呢?从数学上的语言来讲,这样的复动力系统是一个集合到其自身的映射。也就是说,从某一初始点z出发,作=f(),然后作=2=(=),等等。这样的迭代序列就是动力系统后续的离散状态,从而数学家们通过它来探索系统长时间的演化。现在我们将要提到的是 Julia集和 Mande brot集是如何构造出来的在所有的非线性映射中,多项式映射可以说是最为简单的映射,而 Julia和 Mandelbrot 从最简单的二次多项式的排线性映射/()=2+C着手研究的。对于它所定义的动力系统, 我们己经得到了很多的定义和性质。当对这个二次多项式进行迭代时,我们得到一个复数序列 …。这样的一个序列可能一直延伸到无穷,也可能保持有界,也就是说保持在初始点的一个有界范围内。所谓 Julia填充集指的就是所有使迭代序列有界的复数z的集合。现在我们知道这样的一个多项式的 Julia填充集是复平面上的有界闭子集。而 Julia填充集的边界则叫做 Julia集,简称J集。据硏究的成果,得知:对于多项式中不同c的取值,它的形状有很大的变化(当然对其填充集也是如此),它的外形如此多样,此时 Julia填充集可能是连通的,也可能是非连通的(此时就是一个 Cantor集,后面将涉及到)。J集这样的边界通常是分形,它的面积为0。因此, Julia集于我们研究的分形联系也非常紧密。在 Julia 关于复式迭代的研究基础上, Mandelbrot发现了 Mandelbrot集,简称M集。它指的是所有使 Julia填充集成为连通集的复数c的集合。研究指出,M集是平面緊致的,而且是连通的。同时,M集与 Julia填充集有着惊人的联系:位于M集同·分支上的c点相应的J集极为相似:当c是M集中的一点时,它也是 Julia填充集中的一点;当绕c点在M集观察一个区域, 然后再 Julia填充集中可以看到它们之间的外观是非常的相似。 ●湍流流体的运动情况本身是十分复杂的,流体力学就是硏究流体流动的科学,其在生产生活、科学技术中的应用十分广泛。而湍流现象是流体中的_种更加常见的流动方式,流体在流动过程中就伴随着大量的涡旋运动,例如ε快速行驶的船在船尾形成的涡旋;点燃的香烟,其烟气出现的一团团的涡旋;江水在水流急速的情况出现的漩涡等等。湍流是近百年来的个经典的难于解决的问题,而湍流理论的中心问题是求纳维斯托克斯方程的统计解,而这个方程无法得到解析解。从它的提出到现在,人们一直在摸索如何求解这个方面,并获得它的部分性质。为什么湍流受到如此众多的人关注呢?因为灜流是自然界和工程中普遍地流动现象,对于湍流问题的正确认识和模化直接影响对自然环节的预测和工程的质量。虽然我们还有很多

6 Julia集和Mandelbrot集的形成分属于迭代函数进行多次迭代产生的无限自相似精细结构。自从迭代分形提出后，复式迭代过程又成为研究的热点。因为文章研究的限度，本文后边关于它们的分析几乎没有涉及到，所以这里只是稍作介绍以加深对分形对象的理解。一个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性，一个简单的二次多项式究竟有什么奥秘值得如此众多的学者和研究人员来关注。最先，作为动力系统的模型，我们大多数考虑的是它作为决定性系统来研究其随时间的演化。但是最近的研究就是对这个二次多项式进行复式迭代，它是属于一种特殊的复动力系统，而这些至今已经有了非常丰富的成果。那么复式迭代是什么呢？从数学上的语言来讲，这样的复动力系统是一个集合到其自身的映射。也就是说，从某一初始点 z 出发，作 z f z 1 = ( ) ,然后作 z f z 2 1 = ( ) ,等等。这样的迭代序列就是动力系统后续的离散状态，从而数学家们通过它来探索系统长时间的演化。现在我们将要提到的是Julia 集和Mandelbrot 集是如何构造出来的。在所有的非线性映射中，多项式映射可以说是最为简单的映射，而 Julia 和 Mandelbrot 从最简单的二次多项式的非线性映射 ( ) 2 f z z c = + 着手研究的。对于它所定义的动力系统，我们已经得到了很多的定义和性质。当对这个二次多项式进行迭代时，我们得到一个复数序列 z , 1 z , 2 z ,…。这样的一个序列可能一直延伸到无穷，也可能保持有界，也就是说保持在初始点的一个有界范围内。所谓 Julia 填充集指的就是所有使迭代序列有界的复数 z 的集合。现在我们知道这样的一个多项式的 Julia 填充集是复平面上的有界闭子集。而 Julia 填充集的边界则叫做 Julia 集，简称 J 集。据研究的成果，得知：对于多项式中不同c 的取值，它的形状有很大的变化（当然对其填充集也是如此），它的外形如此多样，此时Julia 填充集可能是连通的，也可能是非连通的（此时就是一个 Cantor 集,后面将涉及到）。J 集这样的边界通常是分形，它的面积为 0。因此，Julia 集于我们研究的分形联系也非常紧密。在 Julia 关于复式迭代的研究基础上，Mandelbrot 发现了 Mandelbrot 集，简称 M 集。它指的是所有使 Julia 填充集成为连通集的复数 c 的集合。研究指出，M 集是平面紧致的，而且是连通的。同时，M 集与 Julia 填充集有着惊人的联系：位于 M 集同一分支上的 c 点相应的 J 集极为相似；当 c是 M 集中的一点时，它也是 Julia 填充集中的一点；当绕 c 点在 M 集观察一个区域，然后再 Julia 填充集中可以看到它们之间的外观是非常的相似。 ⚫ 湍流流体的运动情况本身是十分复杂的，流体力学就是研究流体流动的科学，其在生产生活、科学技术中的应用十分广泛。而湍流现象是流体中的一种更加常见的流动方式，流体在流动过程中就伴随着大量的涡旋运动，例如：快速行驶的船在船尾形成的涡旋；点燃的香烟，其烟气出现的一团团的涡旋；江水在水流急速的情况出现的漩涡等等。湍流是近百年来的一个经典的难于解决的问题，而湍流理论的中心问题是求纳维-斯托克斯方程的统计解，而这个方程无法得到解析解。从它的提出到现在，人们一直在摸索如何求解这个方面，并获得它的部分性质。为什么湍流受到如此众多的人关注呢？因为湍流是自然界和工程中普遍地流动现象，对于湍流问题的正确认识和模化直接影响对自然环节的预测和工程的质量。虽然我们还有很多

的问题悬而未决,但是因为它太接近自然和太符合实际,所以现在一直成为人们关注的焦点其中,最直接的表现就是纳维-斯托克斯存在性和光滑性已经成为千禧之年大奖难题之一,可见其重要性。因为这个方程如此重要,很多年来人们从解析的角度做了很多的努力,但是方程就是无法求解。这时, Mandelbrot从几何形状这样一个全新方式入手,观察湍流的绘画, 速度纪录等等,以方便获得基本的几何直觉。利用自己的研究经验,他也获得了一些猜想, 他认为这些猜想将来一定能够被证明。 Mandelbrot首先硏究利用的他分形中最为重要的概念—自相似。他根据里查逊在气象研究中与级联有关的旋涡等级层次的概念,着手于湍流级联的自相似。然后, Mandelbrot更加自信地认为湍流运动的奇异性本身就是分形,他认为:如果维纳-斯托克斯方程的解存在的话,就是事实上的极限分形,他进而猜想欧拉方程的解奇异性也是分形。在分形的应用关于宇宙方面的讨论中,涉及到一点点涡漩的分析 1.2分形基础 121基本概念自相似性、标度不变性和特征长度我们说一个系统具有自相似性指的是它的某种结构或者过程上的特征从不同的空间或时间来看是使相似的,或者也可以说这个系统或者结构的局部性质或局域结构与整体类似。般情况下我们说的自相似性不是简单的比例放大和整体完全重合,其实符合这种性质的分形自然界是不存在的,只有我们人为构造的自相似结构才存在有这样的性质。但是自然界中表征自相似系统或者结构的定量属性分形维数,并不会因放大或缩小而变化,我们称这种性质为伸缩不变性。这也是自相似结构的内在属性。现在人们枧察到,这种自相似性存在各个领域,如地理、物理、化学、天文学、生物学、经济学以及社会科学,它其实是自然界的普遍规律之一。前面我们介绍了 Mandelbrot最为关注的分形主题——海岸线。如果我们是在高空的飞机上观察海岸线,可以看到它是极不规则和不光滑的曲线构成,由许许多多的半岛和港湾组成。随着我们观察髙度的降低,也就是把我们的海岸线发达,可发现原来的海湾或半岛由更小的海湾和半岛组成。更进一步,如果我们徒步在海岸线上行走时,会发现它具有更精细的结构,这就说明海岸线具有自相似结构。而这样的自相似结构在我们改变测量尺度下,无法确定其真正的长度,也就是前述长度是无穷大。再看看我们身边的大自然世界,自相似结构无处不在。一棵大树是由一个主干和主干上的分叉长出的树枝组成。你会发现每截树枝它的生长形态又和一棵整体的树一样,它又有很多分支。你会看到用石灰粉刷的墙啬壁有象植物根系一样的裂痕,生出魔掌似的的闪电,植物叶脉的分叉形状,一些蕨类植物的枝叶,这所有所有的都具有自相似结构。在看看我们人类自己,我们的血液循环系统,它的有动脉、静脉和毛细血管,它们是如此的错落有致,几乎走遍了我们全部的身体。在这里我想着重讲述下由中国人创建的新科学—全息生物学。生活在农村小孩子就应该都很了解:只要将带有枝节的葡萄枝插在有营养的土地里就会长出葡萄藤来;我们现在的 7

7 的问题悬而未决，但是因为它太接近自然和太符合实际，所以现在一直成为人们关注的焦点。其中，最直接的表现就是纳维-斯托克斯存在性和光滑性已经成为千禧之年大奖难题之一，可见其重要性。因为这个方程如此重要，很多年来人们从解析的角度做了很多的努力，但是方程就是无法求解。这时,Mandelbrot 从几何形状这样一个全新方式入手，观察湍流的绘画，速度纪录等等，以方便获得基本的几何直觉。利用自己的研究经验，他也获得了一些猜想，他认为这些猜想将来一定能够被证明。 Mandelbrot 首先研究利用的他分形中最为重要的概念---自相似。他根据里查逊在气象研究中与级联有关的旋涡等级层次的概念，着手于湍流级联的自相似。然后，Mandelbrot 更加自信地认为湍流运动的奇异性本身就是分形，他认为：如果维纳-斯托克斯方程的解存在的话，就是事实上的极限分形，他进而猜想欧拉方程的解奇异性也是分形。在分形的应用关于宇宙方面的讨论中，涉及到一点点涡漩的分析。 1.2 分形基础 1.2.1 基本概念 ⚫ 自相似性、标度不变性和特征长度我们说一个系统具有自相似性指的是它的某种结构或者过程上的特征从不同的空间或时间来看是使相似的，或者也可以说这个系统或者结构的局部性质或局域结构与整体类似。一般情况下我们说的自相似性不是简单的比例放大和整体完全重合，其实符合这种性质的分形自然界是不存在的，只有我们人为构造的自相似结构才存在有这样的性质。但是自然界中表征自相似系统或者结构的定量属性分形维数，并不会因放大或缩小而变化，我们称这种性质为伸缩不变性。这也是自相似结构的内在属性。现在人们观察到，这种自相似性存在各个领域，如地理、物理、化学、天文学、生物学、经济学以及社会科学，它其实是自然界的普遍规律之一。前面我们介绍了Mandelbrot 最为关注的分形主题——海岸线。如果我们是在高空的飞机上观察海岸线，可以看到它是极不规则和不光滑的曲线构成，由许许多多的半岛和港湾组成。随着我们观察高度的降低，也就是把我们的海岸线发达，可发现原来的海湾或半岛由更小的海湾和半岛组成。更进一步，如果我们徒步在海岸线上行走时，会发现它具有更精细的结构，这就说明海岸线具有自相似结构。而这样的自相似结构在我们改变测量尺度下，无法确定其真正的长度，也就是前述长度是无穷大。再看看我们身边的大自然世界，自相似结构无处不在。一棵大树是由一个主干和主干上的分叉长出的树枝组成。你会发现每截树枝它的生长形态又和一棵整体的树一样，它又有很多分支。你会看到用石灰粉刷的墙壁有象植物根系一样的裂痕，生出魔掌似的的闪电，植物叶脉的分叉形状，一些蕨类植物的枝叶，这所有所有的都具有自相似结构。在看看我们人类自己，我们的血液循环系统，它的有动脉、静脉和毛细血管，它们是如此的错落有致，几乎走遍了我们全部的身体。在这里我想着重讲述下由中国人创建的新科学——全息生物学。生活在农村小孩子就应该都很了解：只要将带有枝节的葡萄枝插在有营养的土地里就会长出葡萄藤来；我们现在的

吃的薯片以及番薯等等在大面积种植的时候,它并不是由番薯一个个种下去的,而是把种薯长出来的藤条剪成许多带叶子的小段,每段插在地里,就可以长出番薯来,不过种植的时候一般在下雨天:;种马铃薯的时候,把马铃薯块茎用刀削开几个口子,就可以生长:;以前见过月季、菊花、仙人掌类、苹果和梨等通过嫁接生长。这样的植物的根茎、枝条、叶子都包含了植物生长的全部信息,也就是说它存有一整套的基因,它们都能培育成一个完整的植物个体,也就正好反映了植物本身所具有的自相似性。我们所说的全息生物学研究的就是生物体部分和整体或者部分和部分在生物学特性上全息相关的规律以及其应用。其中提出的相似度的概念就是表示对应部分之间生物学特性相似程度的大小,全息胚的相似度越大,则全息胚之间在形态和结构上越相似,如株植物的叶子之间,从而在后边引出了生成元生成分形的算法我们在这里指出一个具有自相似特性的系统必定满足标度不变性。那么什么是标度不变性呢?我们这里还是用拿一个岛屿作为例子:如果你从高空中观察,你会看到这个岛屿的边界是如此的比规则,它由很多凹凸部分,以及一些零碎的小岛屿组成。在近看,你会看到岛屿的一个区段的边界,你发现在这些凹凸部分之上又不断地“冒出”很多小的凹凸部分。接下来你来到这个岛屿的一个海滩,你发现这个海滩,也不是一条直线,它可能会有很多零碎地时候,弯曲的沙滩向两边延伸。最后你对具体一个石头,你也会发现其实石头也是如此的凹凸不平,……。从中你可以看出每次的这种类似放大的过程,每次看到的图像是如此的相似。因此,所谓标度不变性是指在分形上的任选一局部区域,对它进行放大后,得到的放大图又会显示出原图的形态特征,它的形态、复杂程度、不规则形等方面都不发生变化。我们指出自相似体没有特征长度,一般认为能代表物体的几何特征的长度就可以说是该物体的特征长度。如一个球的半径,桌子的边边长,人的身高,江河的官邸等。如果我们对物体稍加简化,而物体的特征长度不变,那么它的几何性质就不会有太多的变化。我们把一个原木和在远处的电线杆一起树立,它们之间没有太大的差别。这些具有特征长度的最基本形状都有一个共同的性质,它们都是平滑几乎处处可微的。其实我们描述的这类物体是一种对现实事物理想化和简单化的产物,可以说自然界不存在有这种有特征长度的物体,相当部分我们见到的就是没有特征长度的分形。例如云就是具有自相似性的物体,我们对云的边界描述,它不是球的_部分表面。如果要细致的描述,可以由·部分小的球表面的结合,然而要完全描述云的话,那么必须有无穷个这样的球表面进行结合才能表现出云的如此复杂的自相似表面。其实我们这里提出的自相似和标度不变性还有特征长度都有非常密切的联系, 自相似的物体必然满足标度不变性,而且它没有特征长度。分形的概念现在我们知道分形理论中很多概念早在 Mande brot很久之前就已经出现了,例如 Haus dorff维数、 Cantor集、 von Koch雪花等等。很多这样的处处不可微的图形,被称为反常的现象,但是 Mande brot却从中发现如今世界举目的分形,并创立了分形几何学,如今分形在各个领域的应用在短短的二、三十年中就迅猛发展于是, Mandelbrot在最初研究分形的时候,尝试给分形下一个明确的定义:分形是满足 dorff- Besicovitch维数严格大于其拓扑维数的集合。这里边引入了 Hausdorff维数的概念,它将在接下来的维数一节中介绍。我们说的集合的拓扑维数都是早就为人接受的非负整数维。即一个点是零维,直线线是1维的,平面是2维的,空间是3维的,……。但这也

8 吃的薯片以及番薯等等在大面积种植的时候，它并不是由番薯一个个种下去的，而是把种薯长出来的藤条剪成许多带叶子的小段，每段插在地里，就可以长出番薯来，不过种植的时候一般在下雨天；种马铃薯的时候，把马铃薯块茎用刀削开几个口子，就可以生长；以前见过月季、菊花、仙人掌类、苹果和梨等通过嫁接生长。这样的植物的根茎、枝条、叶子都包含了植物生长的全部信息，也就是说它存有一整套的基因，它们都能培育成一个完整的植物个体，也就正好反映了植物本身所具有的自相似性。我们所说的全息生物学研究的就是生物体部分和整体或者部分和部分在生物学特性上全息相关的规律以及其应用。其中提出的相似度的概念就是表示对应部分之间生物学特性相似程度的大小，全息胚的相似度越大，则全息胚之间在形态和结构上越相似，如一株植物的叶子之间，从而在后边引出了生成元生成分形的算法。我们在这里指出一个具有自相似特性的系统必定满足标度不变性。那么什么是标度不变性呢？我们这里还是用拿一个岛屿作为例子：如果你从高空中观察，你会看到这个岛屿的边界是如此的比规则，它由很多凹凸部分，以及一些零碎的小岛屿组成。在近看，你会看到岛屿的一个区段的边界，你发现在这些凹凸部分之上又不断地“冒出”很多小的凹凸部分。接下来你来到这个岛屿的一个海滩，你发现这个海滩，也不是一条直线，它可能会有很多零碎地时候，弯曲的沙滩向两边延伸。最后你对具体一个石头，你也会发现其实石头也是如此的凹凸不平，……。从中你可以看出每次的这种类似放大的过程，每次看到的图像是如此的相似。因此，所谓标度不变性是指在分形上的任选一局部区域，对它进行放大后，得到的放大图又会显示出原图的形态特征，它的形态、复杂程度、不规则形等方面都不发生变化。我们指出自相似体没有特征长度，一般认为能代表物体的几何特征的长度就可以说是该物体的特征长度。如一个球的半径，桌子的边边长，人的身高，江河的官邸等。如果我们对物体稍加简化，而物体的特征长度不变，那么它的几何性质就不会有太多的变化。我们把一个原木和在远处的电线杆一起树立，它们之间没有太大的差别。这些具有特征长度的最基本形状都有一个共同的性质，它们都是平滑几乎处处可微的。其实我们描述的这类物体是一种对现实事物理想化和简单化的产物，可以说自然界不存在有这种有特征长度的物体，相当一部分我们见到的就是没有特征长度的分形。例如云就是具有自相似性的物体，我们对云的边界描述，它不是球的一部分表面。如果要细致的描述，可以由一部分小的球表面的结合，然而要完全描述云的话，那么必须有无穷个这样的球表面进行结合才能表现出云的如此复杂的自相似表面。其实我们这里提出的自相似和标度不变性还有特征长度都有非常密切的联系，自相似的物体必然满足标度不变性，而且它没有特征长度。 ⚫ 分形的概念现在我们知道分形理论中很多概念早在 Mandelbrot 很久之前就已经出现了，例如 Hausdorff 维数、Cantor 集、von Koch 雪花等等。很多这样的处处不可微的图形，被称为反常的现象，但是 Mandelbrot 却从中发现如今世界举目的分形，并创立了分形几何学，如今分形在各个领域的应用在短短的二、三十年中就迅猛发展。于是，Mandelbrot 在最初研究分形的时候，尝试给分形下一个明确的定义：分形是满足 Hausdorff-Besicovitch 维数严格大于其拓扑维数的集合。这里边引入了 Hausdorff 维数的概念，它将在接下来的维数一节中介绍。我们说的集合的拓扑维数都是早就为人接受的非负整数维。即一个点是零维，直线线是 1 维的，平面是 2维的，空间是 3 维的，……。但这也

有一些分形如 Peano曲线它们的维数是2维的。因此,后来 Mandelbrot又重新修改了他对分形的定义:部分与整体以某种方式相似的图形称为分形。这个定义重点体现的是分形具有自相似结构,着重提显出分形的局部与局部、局部与整体在形态、功能和性质等方面的相似性, 但是这样不能解释像直线、圆等不是分形。这样,从严格意义上对分形进行严格定义比较困难。这样我们总结自然界的分形,它应该具有的性质和特征,归纳这样一个集合F可能是分形的观点。集合F是分形,如果它满足如下几个典型性质: ①F具有无限的精细结构,即在任意小的尺度下,它一直存在有与整体相似的细节; ②F是破碎不规整的,它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述 ③F通常有自相似结构,这种自相似可以是完全自相似的,也可以是统计意义下的 ④一般情况下,F的某种定义下的分形维数大于它的拓扑维数 ⑤一般F以非常简单的方法确定,可能由迭代过程产生上面所说的分形具有的这些性质用来完全确定分形也仍然不很明确,里边的这些性质的说法也是模棱两可的。但是从这个定义形式下,我们大致了解到分形大概的特征,甚至可以想象到分形具有的简单美和复杂美 122维数分形提出不到半个世纪,它的应用可算是空前绝后,但如今没有一个有关于分形的确切定义。同样关于分形图形维数的计算方法也是多种多样,对不同的问题采用不同定义计算维数。本节主要介绍分形维数最初的理论基础定义 asdorff维数和后面本文模拟分形的维数的计算用到的盒维数和相似维数的定义 ● Hausdorff维数在所有我们分析的分形维数中, Hausdorff维数可以说是最古老最重要的一种。它的优点在于它适用于任何点集,同时它也是建立在测度的基础上,数学上的研究要很方便。正是由于至一点,很多情况下,用来实际计算或估计集合的维数时,却比较难。但它作为数学理论上的应用是有特别重要的地位。在我们介绍 Hausdorff维数之前,我们必须先说明下 Hausdorff测度的概念,这纯属数学上的定义。 Hausdorff测度假设U为欧式空间R”中任意非空子集,且U的直径的定义为即U内任意两点距离的最大值。如果(们是有限或者可数个点集构成的点集序列,则我们说{)构成点集F的一个6-覆盖,也就是说对v且有0<6,满足 Fcl 此时,如果有F为R中的任意子集,S是一个非负数,我们考察对任意直径不超过O的

9 有一些分形如 Peano 曲线它们的维数是 2维的。因此，后来 Mandelbrot 又重新修改了他对分形的定义：部分与整体以某种方式相似的图形称为分形。这个定义重点体现的是分形具有自相似结构，着重提显出分形的局部与局部、局部与整体在形态、功能和性质等方面的相似性，但是这样不能解释像直线、圆等不是分形。这样，从严格意义上对分形进行严格定义比较困难。这样我们总结自然界的分形，它应该具有的性质和特征，归纳这样一个集合F可能是分形的观点。集合F 是分形，如果它满足如下几个典型性质： ① F 具有无限的精细结构，即在任意小的尺度下，它一直存在有与整体相似的细节； ② F 是破碎不规整的，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ③ F 通常有自相似结构，这种自相似可以是完全自相似的，也可以是统计意义下的； ④ 一般情况下，F 的某种定义下的分形维数大于它的拓扑维数； ⑤ 一般 F 以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。上面所说的分形具有的这些性质用来完全确定分形也仍然不很明确，里边的这些性质的说法也是模棱两可的。但是从这个定义形式下，我们大致了解到分形大概的特征，甚至可以想象到分形具有的简单美和复杂美。 1.2.2 维数分形提出不到半个世纪，它的应用可算是空前绝后，但如今没有一个有关于分形的确切定义。同样关于分形图形维数的计算方法也是多种多样，对不同的问题采用不同定义计算维数。本节主要介绍分形维数最初的理论基础定义Huasdorff 维数和后面本文模拟分形的维数的计算用到的盒维数和相似维数的定义。 ⚫ Hausdorff 维数在所有我们分析的分形维数中，Hausdorff 维数可以说是最古老最重要的一种。它的优点在于它适用于任何点集，同时它也是建立在测度的基础上，数学上的研究要很方便。正是由于至一点，很多情况下，用来实际计算或估计集合的维数时，却比较难。但它作为数学理论上的应用是有特别重要的地位。在我们介绍 Hausdorff 维数之前，我们必须先说明下 Hausdorff 测度的概念，这纯属数学上的定义。 Hausdorff 测度：假设 U 为欧式空间 n R 中任意非空子集，且 U 的直径的定义为 U x y x y U = −   sup : ,   ，即 U 内任意两点距离的最大值。如果 Ui 是有限或者可数个点集构成的点集序列，则我们说 Ui 构成点集 F 的一个  −覆盖，也就是说：对 i 且有 0 Ui    ，满足 1 i i F U  =  (1.1) 此时，如果有 F 为 n R 中的任意子集， s 是一个非负数，我们考察对任意直径不超过  的

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