§3.5回归模型的其他函数形式 、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
§3.5 回归模型的其他函数形式 一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
在实际经济活动中,经济变量的关系是复杂 的,直接表现为线性关系的情况并不多见 如著名的恩格尔曲线( Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 ( Pillips cuves)表现为双曲线形式等 但是,大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理,使之化为数学上的线性关系,从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理
、模型的类型与变换 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如,描述税收与税率关系的拉弗曲线:抛物线 s=atbr+cr2 c<0 s:税收;r:税率 设X1=r,X2=r2,则原方程变换为 s=a+bX+cx2 <0
一、模型的类型与变换 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2 ， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c<0
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变換法 例如, Cobb-Dauglas生产函数:幂函数 Q=AK.L Q:产出量,K:投入的资本;L:投入的劳动 方程两边取对数: lnQ=lnA+alnK+βl
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
3、复杂函数模型与级数展开法 例如,常替代弹性CES生产函数 Q=A(1k°+62L)°e (81+62=1) Q产出量,K:资本投入,L:劳动投入 p:替代参数,δ1、δ2:分配参数 方程两边取对数后,得到: Lno=LnA-Ln(SKP+O,p)+u 将式中n6KP+82L°)在p=0处展开台劳级数取关于 p的线性项,即得到一个线性近似式 如取0阶、1阶、2阶项,可得 K In y=In A+5mIn K+82 mIn L-p mS,&2 In L
3、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到： Q A K L e 1 ( ) 1 2 − − − = + (1+2=1) Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数 = − + + − − ( ) 1 2 1 LnQ LnA Ln K L 例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K- + 2L - )在=0处展开台劳级数,取关于 的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得 2 1 2 1 2 ln 2 1 ln ln ln ln = + + − L K Y A m K m L m
并非所有的函数形式都可以线性化 无法线性化模型的一般形式为 Y=f(X1,X2,…,Xk)+ 其中,fx1x2,X)为非线性函数。如: AK L+u
并非所有的函数形式都可以线性化 无法线性化模型的一般形式为: Y = f (X1 , X 2 , , X k ) + 其中，f(x1 ,x2 ,…,Xk )为非线性函数。如： Q = AK L +
二、非线性回归实例 例3.5.1建立中国城镇居民食品消费需求函数模型 根据需求理论,居民对食品的消费需求函数大致为 Q=f(X,P1,) Q:居民对食品的需求量,X:消费者的消费支出总额 1:食品价格指数,Po:居民消费价格总指数。 零阶齐次性,当所有商品和消费者货币支出总额按同 比例变动时,需求量保持不变 Q=f(X/Po, P/P) 为了进行比较,将同时估计(*)式与(*)式
二、非线性回归实例 例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。 根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 ( , , ) X P1 P0 Q = f Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变 ( / , / ) X P0 P1 P0 Q = f (*) (**) 为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式
首先确定具体的函数形式 根据恩格尔定律,居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系: Q=AYBPB pA3 对数变换: In(2)=Bo+B,In X+B2In P+B3n Po+u 米 考虑到零阶齐次性时 In(0)=Bo+B,In(X/P)+B,In(p /p)+u 水水 (**)式也可看成是对(**)式施加如下约束而得 B1+B2+B3=0 因此,对(***)式进行回归,就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系: 首先,确定具体的函数形式 1 2 3 1 0 Q = AX P P 对数变换: ln(Q) = 0 + 1 ln X + 2 ln P1 + 3 ln P0 + 考虑到零阶齐次性时 ln(Q) = 0 + 1 ln( X / P0 ) + 2 ln( P1 / P0 ) + (***) (****) (****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 0 1 + 2 + 3 = 因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件
表351中国城镇居民消费支出(元)及价格指数 Ⅹ1 GP X:人均消费 (当年价)(当年价)(上年=100)(上年=100)(1990年价)(1990年价)(1990=100)(1990=100 1981 456.84204 1025 102.7 646.1 318.3 70.7 131X1:人均食 1982 471.0432.1 102.1 325 7151329品消费 1983 5059464.0 103.7 6722 337.0 137.7 GP:居民消 1984 5594514.3 1040 6904 350.5 81.0 146.7 1985 673.23514 1119 7726 费价格指数 116.5 799.04189 826.6 437.8 9697FP:居民食品 198 88444729 1088 112.0 8994 490.3 98.3 65消费价格指数 120.7 125.2 613.8 1989121106600 116.3 1144 7022 940ⅩC:人均消 1990 12789693.8 101.3 9881278969381000100费(90年价) 1991 1453.8782.5 105.1 1054 1344.1 08.2 107.0 19921671.78848 110.7 14597 809.5 114.5 1093 Q:人均食品 19932110.810582 116.1 116.5 1694.7 43.1 124.6 112.2 消费(90年价) 19942851.314225 125.0 134.2 21184 12656 134.6 PO:居民消费 19953537.617660 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 1129 价格缩减指数 19963919.519047 1088 1687.9 1456 112.8 19974185.61942.6 2775.5 1689.6 150.8 115 (1990=100) 199843161926.9 969289163721570117P:居民食品 199461591932.1 1695 123.3 消费价格缩减 20004998019583 2744.8 1529.2 128.1 指数 20015309.020140 100.7 100.7 2764.0 15399 192.1 130.8 (1990=100
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数 X (当年价) X1 (当年价) GP (上 年=100) FP (上 年=100) XC (1990年 价) Q (1990年 价) P0 (1990=100) P1 (1990=100) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1278.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 X：人均消费 X1：人均食 品消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
1800 特征: 1600 中国城镇居民人均食品消费 消费行为在 1200 1981~1995年间表 1000 现出较强的一致性 1995年之后呈现出 另外一种变动特征 200 建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型: h(Q=363+1.05m(X)-0.08h()-0.92m(P) (9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34) R2=0.9987R2=0.9983W=1.50F=2583.28 各变量的弹性和月+B2+B3=005,比较接近于零,但不为零
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q 中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费 特征： 消费行为在 1981~1995年间表 现出较强的一致性 1995年之后呈现出 另外一种变动特征。 建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型: ) 3.63 1.05ln( ) 0.08ln( ) 0.92ln( ) ˆ ln(Q = + X − P1 − P0 (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)