计算函数f(x)=的傅里叶系数:在[-n,]上(x)cos nx是奇函数,所以积分为0,即

设函数fx)在点x的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则fx) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是fx)的泰勒 公式中的余项R(x)当n->0时的极限为零,即

定理2(收敛半径的求法) 如果imn+p,则幂级数anxn的收敛半径R为:

定理1阿贝尔定理) 如果幂级数Σaxn当x=x(x≠0)时收敛,则适合不等式 kxl的一切x使幂级数Σanx绝对收敛. 反之,如果幂级数Σanxn当x=x,时发散,则适合不等式 x>lxl的一切x使幂级数axn发散

定理7莱布尼茨定理) 如果交错级数∑(-1)nun满足条件:则级数收敛,且其和s≤u,其余项r的绝对值run 简要证明设级数的前n项部分和为S2可写成

简要证明仅就uvn(n=1,2,…)的情形证明 设级数v收敛,其和为,则级数un的部分和 S=u1+u2++unv1+v2+…+vno(n=1,2,), 即部分和数列{sn}有界.因此级数un收敛 反之,若级数un发散,则级数∑v,必发散.这是因为如果 级数∑v收敛,由已证结论,级数un也收敛,矛盾

一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度

高斯公式:=Pdydz+dx+ Rdxdy. 简要证明设Ω是一柱体,下边界曲面为1:z=z1(x,y),上 边界曲面为2:=2(x,y),侧面为柱面3;Σ1取下侧,Σ2取上侧, Σ3取外侧. 根据三重积分的计算和对坐标的曲面积分的计算得

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系

如果曲面由方程z=z(x,y)给出,则有 Dxy 简要证明: 已知(△S)=(△),其中当cosy>0(C取上侧)时取正号, 当cosy0(取下侧)时取负号 又当(,np)是上的一点时,有5=(5,n)因此有