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行列式 一、基本要求 1.了解n阶行列式的定义; 2.了解行列式的性质,掌握行列式的计算 3.掌握克兰姆法则 二、内容提要 1.排列的逆序与逆序数 由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列一个排列中任取两个数,如果前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序;一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。 2.奇偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列

矩阵运算中定义了加法和负矩阵,就可以定义 矩阵的减法.那么定义了矩阵的乘法,是否可 以定义矩阵的除法呢?由于矩阵乘法不满足 交换律,因此我们不能一般地定义矩阵的除法 .在数的运算中,当数a≠0时,aa-1=a-1a=1,这里 a-1=1/a称为a的倒数,(或称a的逆);在矩阵乘 法运算中,单位矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A,是否存在一个矩阵A-1,使 得AA-1=A-1A=1呢?如果存在这样的矩阵A-1, 就称A是可逆矩阵,并称A-1是A的逆矩阵

定义1设IRn中的向量组A:a1,2,…an 线性无关,β是IR中中任一向量, 则,a1,a2,…,an线性相关(因为这 是n+1个n维向量,向量个数大于向量维数),于 是根据第三章第二节定理2知道向量可以用a1, a2…a唯一线性表示 =k1a1+k2a2++knan 我们称向量组A:a1,a2,…,an为空间 IR的一组基(basis),把数k1k2,k称为 向量在基a1,a2,…,an下的坐标

定义1设a1,a2,…,am,β是一组n维 向量,若存在m个实数k1,k2,…km使得 β=ka1+k2a2++kmam,则称β可以 由a1,a2,…,an线性表示( linear representation).或称a1,a2,…,an线性 表示(linear generate) 例如:a1=(1,2,0)T,a2=(1,0,3)T,a3= (3,4,3)T,则a3=2a1+a2,即存在实数k =2,k2=1使得a3=ka1+k2a2,故a3可以 由a1,a2线性表示。(大家想一想,这里的常 数k1=2,k2=1是怎么求出来的?)

第五章特征值问题及二次型 要求 1、理解矩阵特征值特征向量的概念:掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法 2、理解相似矩阵的概念及性质,掌握矩阵对角化的充分必要条件 3、理解向量的内积与正交的概念:掌握向量组正交化过程:理解正交矩阵的概念。 4、理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质:会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 5、了解二次型及其矩阵表示:了解二次型的标准型。 6、会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。 7、了解二次型的秩、惯性定理、正定性:掌握正定矩阵的判别

4.3向量组的秩与最大无关组 1.向量组的秩:设向量组为T,若 (1)在T中有r个向量a1,a2,…,a,线性无关; (2)在T中有r+1个向量线性相关(如果有r+1个向量的话) 称a1,a2,…,a,为向量组为T的一个最大线性无关组, 称r为向量组T的秩,记作:秩(T)=r 注](1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0 (2)秩(T)=r时,T中任意r个线性无关的向量都是T的一个 最大无关组

第四章线性方程组 4.2线性方程组的解法 个线性方程组AX=B的解的数量有三种情况:0,1,∞ 对于第三种情况,逐个写出这些解是不可能的 解线性方程组的本质就是用一组可自由取值的变量 (称为自由变量)来表示其余的变量(称为主变量)使得对于自由 变量的任一组值,都能唯一确定主变量的值,它们一起构成方程 组的一个解.注意:主变量和自由变量的分法并不是唯一的 自然地我们应解决以下问题

第四章向量组的线性相关性 4.1向量及其运算 1.向量:n个数a1,a2,an构成的有序数组,记作a=(a1,a2,an), 称为n维行向量 a称为向量a的第i个分量 a;∈R称a为实向量(下面主要讨论实向量) a∈C称a为复向量 零向量:θ=(0,0,…,0) 负向量:(-a)=(-a1,-a2,…,-an) 2.线性运算:a=(a1,a2,,an),B=(b1,b2,bn) 相等:若a1=b(i=1,2,,n),称a=B. 加法:a+B=(a1+b1,a2+b2,,an+bn) 数乘:ka=(ka1,ka2,,kan)

第一章行列式 要求: 1、理解行列式的定义与性质;掌握三阶行列式的对角线计算方法 2、利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单n阶行列式。 3、掌握克莱姆法则。 1.1排列与逆序 知识点:排列;逆序;对换。 一、排列 定义1(排列)n个(不同)自然数1,2,…,n组成的一个有序数组P1,P2,Pn称作 为n级排列,其中每个自然数p1称作(第i个)元素。 如213是一个3级排列。强调“有序” 那么1,2,3可以有多少种不同的排列呢?一一列出,共有6种。 乘法原理