教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 —Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用

教学目的 本节讨论直线上的 Riemann 积分(包括广义 Riemann 积分) 与 Lebesgue 积分之间的关系.同时给出 Riemann 可积函数的一个判别条件. 本节要点 用测度理论可以给出函数 Riemann 可积的一个简明的充要条 件. 本节的主要结果表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广. 利用 Lebesgue 积分的性质, 可以解决一些 Riemann 积分的问题

❖在新英格兰地区一个镇上位于街脚处的一个停车场的场主雇你来设计该停车场的安排,即设计“在地上的线应怎样划法”。❖你一定认识到要把尽可能多的车塞进停车场会导致以直角停靠的方式一辆挨一辆地排成一行。但是缺乏经验的司机对于这种停靠方式是有困难的，这可能引起昂贵的保险费要求

❖地图中的实线表示马里兰州威考密科县中扫雪区域中的二车道马路，虚线表示州属高速公路。一场雪后，从位于地图*标记地点以西4英里的二处车库派出二辆扫雪车。求用两辆扫雪车扫清马路上的雪的有效的方法，扫雪车可以利用高速公路进出扫雪区。❖假设扫雪车既不会发生故障也不会停顿，在交叉路口不需特别的扫雪方法

教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为 用测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可 测的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基 本性质

1.设A=(-∞,-5)(5,+∞),B=[-10,3),写出AB,AB,AB及 A(AB)的表达式 2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)C=ACUB 3.设映射f:X→Y,AcX,BCX.证明 (1)(AB)=()(B); (2)f(b)f()f(B)

在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。从另一个方面来讲，从微小的变化量来研究函数变化的规律，微分提供了一种人们认识系统更加深入的描写和刻画。从这个角度说，微分方程模型在模拟客观事物时更加具有机理性和本质性

我们前面已学过定积分和重积分,当一个函数定义在空间的曲线或曲面时,则要求我们 计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同,我们还须区别曲线或曲面的方向性,因此 我们要分别研究两种不同类型的积分

我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 n R 上推广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 n R 中的更一般的集上 去. 本章将要定义的 n R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广

2.1偏导数 设D是R中的区域,z=∫(x,y)是D上的函数.设B=(x,y0)∈D,我们希望定 义f(x,y)在P点的导数,即因变量相对于自变量的变化率.但如果将P=(x,y)作为变量 由于其是二维向量,没有除法,因此很难定义∫(x,y)-f(x0,y)相对于 P-P=(x-x,y-y0)的变化率.我们只能将P=(x,y)的分量x和y分别作为自变量 来定义导数