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将Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时,曾经得到常微分方程

在奇点处的性质连带 Legendre方程的奇点和 Legendre方程完全一样,都是z=±1和z=∞, 而且也都是正则奇点.在z=±1处的指标方程是

Legendre多项式是首先在势论的研究中引进的.设在距原点r处放有一个单位点电荷,取点电荷所在点的位置为2轴方向,这时点电荷在,0,点的电势(显然与中无关)即为

将 Helmholtz方程在球坐标系下分离变量,可得到连带 Legendre方程

平面极坐标系和柱坐标系下的 Lapalce算符

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