《高层建筑结构与抗震》讲义.pdf_大学文库

《高层建筑结构与抗震》辅导材料荷载与作用(一) 学习目标 1.了解竖向荷载、水平荷载对高层建筑的影响; 2.了解地震波的传播及类型、地震震级、基本烈度和设防烈度; 3.掌握地震作用的确定方法反应谱法; 掌握单自由度弹性体系地震反应分析方法学习重点 1.竖向荷载、水平荷载和地震作用; 2.地震的传播及类型,地震震级,基本烈度和设防烈度 3.反应谱法单自由度弹性体系地震反应分析、荷载作用于高层房屋的荷载有两种:竖向荷载与水平荷载,竖向荷载包括结构自重和楼(屋)盖上的均布荷载,水平荷载包括风荷载和地震作用在多层房屋中,往往以竖向荷载为主,但也要考虑水平荷载的影响,特别是地震作用的影响。随着房屋高度的增加,水平荷载产生的内力越来越大,会直接影响结构设计的合理性、经济性,成为控制荷载。因此在非地震区,风荷载和竖向荷载的组合将起控制作用,而在地震区,则往往是地震作用与竖向荷载组合起控制作用。 1.竖向荷载竖向荷载中的结构自重和楼面均布活荷载均应按照《建筑结构荷载规范》(GB5α009(以下简称《荷载规范》)确定。楼面均布活荷载是按“楼板内弯矩等效”的原则,将实际荷载换算为等效均布荷载。对于作用在楼面上的活荷载,并不是所给的等效均布荷载同时布满在所有楼面上。因此在设计梁、墙、柱和基础时,应考虑实际荷载沿楼面分布的变异性。在确定梁、墙、柱和基础的荷载标准值时,还应按现行《荷载规范》对楼面活荷载标准值乘以折减系数。 2.风荷载受到地面上各种建筑物的阻碍和影响,风速会改变,并在建筑物表面上形成压力或吸力,这种风力的作用称为风荷载风力在整个建筑物表面的分布情况随房屋尺寸的大小、体积和表面情况的不同而异,并随风速、风向和气流的不断变化而不停地改变着。风荷载实质上是一种随时间变化的动力荷载,它使建筑结构产生动力反应。在实际工程设计中,通常将风荷载看成等效静力荷载,但在高度较大的建筑中要考虑动力效应影响。 (1)基本风压值w 基本风压值wa系以当地比较空旷平坦地面上离地10m高统计所得的重现期为50年一遇10min平均最大风速vo(m/s)为标准,按v。=v2/1600确定的风压值。它应根据现行《荷载规范》中“全国基本风压分布图”采用,但不得小于0.3kN/m2 对一般的高层建筑,按《荷载规范》中所给的ν采用:对于特别重要或对风荷载比较敏感的高层建筑,应考虑100年重现期的风压值。当没有100年一遇的风压资料时,也可近似将50年一遇的基本风压值乘以1.1后采用。 (2)风载体型系数p

1 《高层建筑结构与抗震》辅导材料一荷载与作用（一）学习目标 1. 了解竖向荷载、水平荷载对高层建筑的影响； 2. 了解地震波的传播及类型、地震震级、基本烈度和设防烈度； 3. 掌握地震作用的确定方法-反应谱法； 4. 掌握单自由度弹性体系地震反应分析方法。学习重点 1. 竖向荷载、水平荷载和地震作用； 2. 地震的传播及类型，地震震级，基本烈度和设防烈度； 3. 反应谱法； 4. 单自由度弹性体系地震反应分析。一、荷载作用于高层房屋的荷载有两种：竖向荷载与水平荷载，竖向荷载包括结构自重和楼（屋）盖上的均布荷载，水平荷载包括风荷载和地震作用。在多层房屋中，往往以竖向荷载为主，但也要考虑水平荷载的影响，特别是地震作用的影响。随着房屋高度的增加，水平荷载产生的内力越来越大，会直接影响结构设计的合理性、经济性，成为控制荷载。因此在非地震区，风荷载和竖向荷载的组合将起控制作用，而在地震区，则往往是地震作用与竖向荷载组合起控制作用。 1．竖向荷载竖向荷载中的结构自重和楼面均布活荷载均应按照《建筑结构荷载规范》（GB50009）（以下简称《荷载规范》）确定。楼面均布活荷载是按“楼板内弯矩等效”的原则，将实际荷载换算为等效均布荷载。对于作用在楼面上的活荷载，并不是所给的等效均布荷载同时布满在所有楼面上。因此在设计梁、墙、柱和基础时，应考虑实际荷载沿楼面分布的变异性。在确定梁、墙、柱和基础的荷载标准值时，还应按现行《荷载规范》对楼面活荷载标准值乘以折减系数。 2．风荷载风受到地面上各种建筑物的阻碍和影响，风速会改变，并在建筑物表面上形成压力或吸力，这种风力的作用称为风荷载。风力在整个建筑物表面的分布情况随房屋尺寸的大小、体积和表面情况的不同而异，并随风速、风向和气流的不断变化而不停地改变着。风荷载实质上是一种随时间变化的动力荷载，它使建筑结构产生动力反应。在实际工程设计中，通常将风荷载看成等效静力荷载，但在高度较大的建筑中要考虑动力效应影响。（1）基本风压值w0 基本风压值 w0 系以当地比较空旷平坦地面上离地 10m 高统计所得的重现期为 50 年一遇 10min 平均最大风速 0 v （m/s）为标准，按 w0 = 2 0 v /1600 确定的风压值。它应根据现行《荷载规范》中“全国基本风压分布图”采用，但不得小于 0.3 kN/㎡。对一般的高层建筑，按《荷载规范》中所给的w0 采用；对于特别重要或对风荷载比较敏感的高层建筑，应考虑 100 年重现期的风压值。当没有 100 年一遇的风压资料时，也可近似将 50 年一遇的基本风压值乘以 1.1 后采用。（2）风载体型系数 s

风载体型系数μ是指实际风压与基本风压的比值。它描述的是建筑物表面在稳定风压作用下静态压力的分布规律,主要与建筑物的体型与尺度有关,也与周围环境和地面粗糙度有关。当风流经建筑物时, 对建筑物不同部位会产生不同的效果,即产生压力和吸力 (3)风压高度变化系数2 风压高度变化系数μL,应根据地面粗糙度类别按《荷载规范》确定。 (4)风振系数B 风对建筑结构的作用是不规则的,通常把风作用的平均值看成稳定风压(即平均风压),实际风压是在平均风压上下波动的。平均风压使建筑物产生一定的侧移,而波动风压使建筑物在平均侧移附近振动对于高度较大、刚度较小的高层建筑,波动风压会产生不可忽略的动力效应,使振幅加大,在设计中必须考虑。目前采用加大风载的办法来考虑这个动力效应,在风压值上乘以风振系数B。地震与抗震设防 1.地震波、震级和烈度 (1)地震波当震源岩层发生断裂、错动时,岩层所积蓄的变形能突然释放,它以波的形式从震源向四周传播,这种波就称为地震波。地震波按其在地壳传播的位置不同,可将其分为体波和面波。 (2)震级地震的震级是衡量一次地震释放能量大小的等级,震级M可用公式表达如下 M=log a (2-1) 式中A即是上述标准地震记录仪在距震中100km处记录到的最大振幅。例如,在距震中100km处标准地震记录仪记录到的最大振幅A=100m0=10000m,则M=logA=log103°=5,即这次地震为5级。地震发生时不可能正好在100km处记录,而且所使用的仪器不尽相同,为此应根据震中距和使用的仪器对实测的震级进行适当的修正。震级M与地震释放能量E之间有如下关系: logE=118+1.5M 根据式(2-2),可计算各级地震所释放的能量,震级差一级,能量就要差32倍之多。根据震级可将地震划分为:微震(2级以下,人一般感觉不到,只有仪器才能记录到),有感地震(2~4级),破坏性地震 (5级以上),强烈地震(7级以上)。 (3)地震烈度地震烈度是指地震时在一定地点振动的强烈程度。对于一次地震,表示地震大小的震级只有一个,但它对不同地点的影响程度是不一样,即不同地点的烈度不同。国家地震局和建设部于1992年联合发布了新的《中国地震烈度区划图(1990)》。该图给出了全国各地地震基本烈度的分布。 2.地震基本烈度与抗震设防 (1)基本烈度个地区的基本烈度是指该地区今后50年时期内,在一般场地条件下可能遭遇超越概率为10%的地震烈度 (2)建筑抗震设防分类根据建筑使用功能的重要性,现行《抗震规范》将建筑抗震设防类别分为甲类、乙类、丙类、丁类建筑

2 风载体型系数 s 是指实际风压与基本风压的比值。它描述的是建筑物表面在稳定风压作用下静态压力的分布规律，主要与建筑物的体型与尺度有关，也与周围环境和地面粗糙度有关。当风流经建筑物时，对建筑物不同部位会产生不同的效果，即产生压力和吸力。（3）风压高度变化系数 z 风压高度变化系数 z ，应根据地面粗糙度类别按《荷载规范》确定。（4）风振系数 z 风对建筑结构的作用是不规则的，通常把风作用的平均值看成稳定风压（即平均风压），实际风压是在平均风压上下波动的。平均风压使建筑物产生一定的侧移，而波动风压使建筑物在平均侧移附近振动。对于高度较大、刚度较小的高层建筑，波动风压会产生不可忽略的动力效应，使振幅加大，在设计中必须考虑。目前采用加大风载的办法来考虑这个动力效应，在风压值上乘以风振系数 z 。二、地震与抗震设防 1．地震波、震级和烈度（1）地震波当震源岩层发生断裂、错动时，岩层所积蓄的变形能突然释放，它以波的形式从震源向四周传播，这种波就称为地震波。地震波按其在地壳传播的位置不同，可将其分为体波和面波。（2）震级地震的震级是衡量一次地震释放能量大小的等级，震级 M 可用公式表达如下： M log A （2-1）式中 A即是上述标准地震记录仪在距震中 100km 处记录到的最大振幅。例如，在距震中 100km 处标准地震记录仪记录到的最大振幅 A =100mm=100000m，则 log log10 5 M  A  5 ，即这次地震为 5 级。地震发生时不可能正好在 100km 处记录，而且所使用的仪器不尽相同，为此应根据震中距和使用的仪器对实测的震级进行适当的修正。震级 M 与地震释放能量 E 之间有如下关系： log E 11.8 1.5M (2-2) 根据式(2-2)，可计算各级地震所释放的能量，震级差一级，能量就要差 32 倍之多。根据震级可将地震划分为：微震（2 级以下，人一般感觉不到，只有仪器才能记录到），有感地震（2～4 级），破坏性地震（5 级以上），强烈地震（7 级以上）。（3）地震烈度地震烈度是指地震时在一定地点振动的强烈程度。对于一次地震，表示地震大小的震级只有一个，但它对不同地点的影响程度是不一样，即不同地点的烈度不同。国家地震局和建设部于 1992 年联合发布了新的《中国地震烈度区划图（1990）》。该图给出了全国各地地震基本烈度的分布。 2．地震基本烈度与抗震设防（1）基本烈度一个地区的基本烈度是指该地区今后 50 年时期内，在一般场地条件下可能遭遇超越概率为 10％的地震烈度。（2）建筑抗震设防分类根据建筑使用功能的重要性，现行《抗震规范》将建筑抗震设防类别分为甲类、乙类、丙类、丁类建筑

(3)抗震设防标准抗震设防是指对建筑物进行抗震设计,包括地震作用、抗震承载力计算和采取抗震措施,已达到抗震的效果抗震设防标准的依据是设防烈度。《抗震规范》附录A给岀了我国主要城镇抗震设防烈度、设计基本地震加速度和设计地震分组。在一般情况下可采用基本烈度。各类建筑抗震设计,应符合《抗震规范》的要求。 (4)抗震设防目标抗震设计总思路是:在建筑物使用寿命期间,对不同频度和强度的地震,建筑物应具有不同的抵抗力。即对一般较小的地震,由于其发生的可能性较大,因此要求防止结构破坏,这在技术上、经济上是可以做到的;强烈地震发生的可能性较小,而且如果遭遇到强烈地震,要求做到结构不损坏,在经济上不合理, 因此允许结构破坏,但在任何情况下,不应导致建筑物倒塌。《抗震规范》结合我国目前的经济能力,提出了“三水准”的抗震设防目标: 第一水准:当遭受到多遇的低于本地区设防烈度的地震(简称“小震”)影响时,建筑一般应不受损坏或不需修理仍能继续使用。第二水准:当遭受到本地区设防烈度影响时,建筑可能有一定的损坏,经一般修理或不修理仍能继续使用。第三水准:当遭受到高于本地区设防烈度的罕遇地震(简称“大震”)时,建筑不致倒塌或发生危及生命的严重破坏。在进行建筑结构抗震设计时,原则上应满足三水准抗震设防目标的要求,在具体做法上,为简化计算《抗震规范》采用二阶段设计法,即第一阶段设计:按小震作用效应和其他荷载效应的一定组合验算结构构件的承载能力以及构件的弹性变形,以满足第一水准抗震设防目标的要求。第二阶段设计:在大震作用下验算结构薄弱层(部位)的弹塑性变形,以满足第三水准的抗震设防目标的要求。《抗震规范》以一定的抗震构造措施保证结构满足第二水准抗震设防目标的要求。上述“三水准,二阶段”的抗震设防目标可概括为“小震不坏,中震可修,大震不倒”。三、单质点弹性体系的地震反应地震所释放出来的能量,以地震波的形式向四周扩散,地震波到达地面后引起地面运动,使地面上原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动。在振动过程中,作用在结构上的惯性力就是地震作用。因此,地震作用可以理解为一种能反映地震影响的等效作用。建筑物在地震作用和一般荷载共同作用下, 如果结构的内力或变形超过容许数值时,那么建筑物就遭到破坏,乃至倒塌。因此,在结构抗震计算中, 确定地震作用是个十分重要的问题。地震作用与一般静载荷不同,它不仅取决于地震烈度大小,而且与建筑物的动力特性(结构的自振周期、阻尼)有密切关系。因此,确定地震作用比确定一般静荷载要复杂得多。目前,我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录,通过计算分析所绘制的加速度(在计算中通常采用加速度相对值)反应谱曲线为依据的。所谓加速度反应谱曲线,就是单质点弹性体系在一定地震作用下,最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。如果已知体系的自振周期,那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度,进而求出地震作用。应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题,而且,在一定假设条件下,通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。反应谱理论已经成为当前抗震设计中的主要理论,因为它方法简单,便于掌握,所以为各国工程界所

3 （3）抗震设防标准抗震设防是指对建筑物进行抗震设计，包括地震作用、抗震承载力计算和采取抗震措施，已达到抗震的效果。抗震设防标准的依据是设防烈度。《抗震规范》附录 A 给出了我国主要城镇抗震设防烈度、设计基本地震加速度和设计地震分组。在一般情况下可采用基本烈度。各类建筑抗震设计，应符合《抗震规范》的要求。（4）抗震设防目标抗震设计总思路是：在建筑物使用寿命期间，对不同频度和强度的地震，建筑物应具有不同的抵抗力。即对一般较小的地震，由于其发生的可能性较大，因此要求防止结构破坏，这在技术上、经济上是可以做到的；强烈地震发生的可能性较小，而且如果遭遇到强烈地震，要求做到结构不损坏，在经济上不合理，因此允许结构破坏，但在任何情况下，不应导致建筑物倒塌。《抗震规范》结合我国目前的经济能力，提出了“三水准”的抗震设防目标：第一水准：当遭受到多遇的低于本地区设防烈度的地震（简称“小震”）影响时，建筑一般应不受损坏或不需修理仍能继续使用。第二水准：当遭受到本地区设防烈度影响时，建筑可能有一定的损坏，经一般修理或不修理仍能继续使用。第三水准：当遭受到高于本地区设防烈度的罕遇地震（简称“大震”）时，建筑不致倒塌或发生危及生命的严重破坏。在进行建筑结构抗震设计时，原则上应满足三水准抗震设防目标的要求，在具体做法上，为简化计算，《抗震规范》采用二阶段设计法，即：第一阶段设计：按小震作用效应和其他荷载效应的一定组合验算结构构件的承载能力以及构件的弹性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求。第二阶段设计：在大震作用下验算结构薄弱层（部位）的弹塑性变形，以满足第三水准的抗震设防目标的要求。《抗震规范》以一定的抗震构造措施保证结构满足第二水准抗震设防目标的要求。上述“三水准，二阶段”的抗震设防目标可概括为“小震不坏，中震可修，大震不倒”。三、单质点弹性体系的地震反应地震所释放出来的能量，以地震波的形式向四周扩散，地震波到达地面后引起地面运动，使地面上原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动。在振动过程中，作用在结构上的惯性力就是地震作用。因此，地震作用可以理解为一种能反映地震影响的等效作用。建筑物在地震作用和一般荷载共同作用下，如果结构的内力或变形超过容许数值时，那么建筑物就遭到破坏，乃至倒塌。因此，在结构抗震计算中，确定地震作用是个十分重要的问题。地震作用与一般静载荷不同，它不仅取决于地震烈度大小，而且与建筑物的动力特性（结构的自振周期、阻尼）有密切关系。因此，确定地震作用比确定一般静荷载要复杂得多。目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。反应谱理论已经成为当前抗震设计中的主要理论，因为它方法简单，便于掌握，所以为各国工程界所

4 广泛采用。 1．运动方程的建立为了研究单质点弹性体系的地震反应，我们首先建立体系在地震作用下的运动方程。图 2-1 表示单质点弹性体系的计算简图。由结构动力学方法可得到单质点弹性体系运动方程: m x(t) c x(t) kx(t) m x (t) g       (2-3) 其中 g x (t)表示地面水平位移，是时间 t的函数，它的变化规律可自地震时地面运动实测记录求得； x (t)表示质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间 t 的函数，是待求的未知量。若将式(2-3)与动力学中单质点弹性体系在动荷载 F(t) 作用下的运动方程 m x(t) c x(t) kx(t) F(t)   (2-4) 进行比较，不难发现两个运动方程基本相同，其区别仅在于式(2-3)等号右边为地震时地面运动加速度与质量的乘积；而式(2-4) )等号右边为作用在质点上的动荷载。由此可见，地面运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等于 m x (t) g  ，指向与地面运动加速度方向相反。因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度 x g (t)  的变化规律，而 x g (t)  可由地震时地面加速度记录得到。为了使方程进一步简化，设 m k 2  (2-5) m c km c 2 2   (2-6) 将上式代入式(2-3)，经简化后得： ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 x t x t x t x t g        (2-7) 式(2-7)就是所要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。 2．运动方程的解答式(2-7)是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解包含两个部分：一个是对应于齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。前者代表自由振动，后者代表强迫运动。（1）齐次微分方程的通解为求方程(2-7)的全部解答，先讨论齐次方程 H L m 图 2-1 单质点弹性体系计算简图

5 ( ) 2 ( ) ( ) 0   2    x t x t  x t (2-8) 的通解。由微分方程理论可知，其通解为： x(t) e tAcos't Bsin't (2-9) 式中 2 ' 1 ； A 和B 为常数，其值可由问题的初始条件确定。当阻尼力为 0 时，式(2-9)变为： x(t) Acost Bsint (2-10) 式(2-10)为无阻尼单质点体系自由振动的通解，表示质点做简谐振动，这里 k / m 为无阻尼自振频率。对比式(2-9)和式(2-10)可知，有阻尼单质点体系的自由振动为按指数函数衰减的简谐振动，其振动频率为 2 ' 1  ，' 称为有阻尼的自振频率。根据初始条件 t=0 可以确定常数 A和 B ，将 t=0 和 x(t) x(0) 代入式(2-9)得： A x(0) 为确定常数 B ，对时间 t 求一阶导数，并将 t=0， ( ) (0)   x t x 代入，得： ' (0) (0)  x x B    将 A 、B 值代入式(2-9)得：              t x x x t e x t t sin ' ' (0) (0) ( ) (0)cos '      (2-11) 上式就是式(2-8)在给定的初始条件时的解答。由 2 ' 1 和c / 2m可以看出，有阻尼自振频率' 随阻尼系数c增大而减小，即阻尼愈大，自振频率愈慢。当阻尼系数达到某一数值 r c 时，即 c cr 2m2 km (2-12) 时，则'0 ，表示结构不再产生振动。这时的阻尼系数 r c 称为临界阻尼系数。它是由结构的质量 m 和刚度 k 决定的，不同的结构有不同的阻尼系数。而 r c c m c     2 (2-13) 上式表示结构的阻尼系数c 与临界阻尼系数 r c 的比值，所以称为临界阻尼比，简称阻尼比。在建筑抗震设计中，常采用阻尼比表示结构的阻尼参数。由于阻尼比的值很小，它的变化范围在 0.01～0.1 之间，因此，有阻尼自振频率 2 ' 1 和无阻尼自振频率很接近，因此计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。（2）地震作用下运动方程的特解进一步考察运动方程(2-7) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 x t x t x t x t g        可以看到，方程与单位质量的弹性体系在单位质量扰力作用下的运动方程基本相同，区别仅在于方程等号右端为地震地面加速度 x g (t)   ，所以，在求方程的解答时，可将 x g (t)  看作是随时间而变化的单位质量的 “扰力

为了便于求方程(2-7)的特解,我们将 “扰力” xg()看作是无穷多个连续作用的微分脉冲,如图2-2 所示。现在讨论任一微分脉冲的作用。设它在 t=t-dr开始作用,作用时间为dr,此时微分脉冲的大小为-xg(τ)dr。显然,体系在微分脉冲作用后仅产生自由振动。这时,体系的位移可按式 (2-3)确定。但式中的x(0)和x(0)应为微分脉冲作用后dr 瞬时的位移和速度值根据动量定理图22 x (t dt 将x(0)=0和x(O)的值代入式(2-3),即可求得时间r作用的微分脉冲所产生的位移反应 dx =-e fog-m)X (t) Sin o'(-r)dr (2-15) 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加,就可得到全部加载过程所引起的总反应。因此,将式(2-15) 积分,可得时间为t的位移 x0)=-1xo (2-16) 上式就是非齐次线性微分方程(②2-⑦)的特解,通称杜哈梅( Duhamel)积分。它与齐次微分方程(2-8)的通解之和就是微分方程(2-7)的全解。但是,由于结构阻尼的作用,自由振动很快就会衰减,公式(2-9)的影响通常可以忽略不计分析运动方程及其解答可以看到:地面运动加速度xg(1)直接影响体系地震反应的大小;而不同频率 (或周期)的单自由度体系,在相同的地面运动下会有不同的地震反应;阻尼比2对体系的地震反应有直接的影响,阻尼比愈大则弹性反应愈小四、单质点弹性体系水平地震作用 1.水平地震作用基本公式由结构力学可知,作用在质点上的惯性力等于质量m乘以它的绝对加速度,方向与加速度的方向相反, F()=-mxg()+x() (2-17) 式中F()为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前如果将式(2-3)代入式(2-17),并考虑到cx(t)远小于kx(1)而略去不计,则得 F(r=kr(0=mox(o) 由上式可以看到,相对位移x(1)与惯性力F()成正比,因此,可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的。也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原将式(2-16)代入式(2-18),并注意到o'和的微小差别,令O=',则得 F(=-mon xg()e so(-nsino(t-t)dr (2-19)

6 为了便于求方程(2-7)的特解，我们将 “ 扰力 ” x g (t)   看作是无穷多个连续作用的微分脉冲，如图 2-2 所示。现在讨论任一微分脉冲的作用。设它在 t d开始作用，作用时间为 d，此时微分脉冲的大小为 x g ()d   。显然，体系在微分脉冲作用后仅产生自由振动。这时，体系的位移可按式 (2-3)确定。但式中的 x(0) 和 (0)  x 应为微分脉冲作用后瞬时的位移和速度值。根据动量定理： x(0) xg ()d    (2-14) 将 x(0) =0 和 (0)  x 的值代入式(2-3)，即可求得时间作用的微分脉冲所产生的位移反应        t d x dx e t g sin '( ) ' ( )  ( )     (2-15) 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加，就可得到全部加载过程所引起的总反应。因此，将式(2-15) 积分，可得时间为 t 的位移      t  t x t x g e t d 0 ( ) ( ) sin '( ) ' 1 ( )        (2-16) 上式就是非齐次线性微分方程(2-7)的特解，通称杜哈梅（Duhamel）积分。它与齐次微分方程(2-8)的通解之和就是微分方程(2-7)的全解。但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快就会衰减，公式(2-9)的影响通常可以忽略不计。分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度 x g (t)  直接影响体系地震反应的大小；而不同频率（或周期）的单自由度体系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻尼比对体系的地震反应有直接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。四、单质点弹性体系水平地震作用 1．水平地震作用基本公式由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量 m 乘以它的绝对加速度，方向与加速度的方向相反，即         F(t) m x g (t) x(t) (2-17) 式中 F(t) 为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前。如果将式(2-3)代入式(2-17)，并考虑到 c x(t)  远小于kx(t) 而略去不计，则得： ( ) ( ) ( ) 2 F t kx t m x t (2-18) 由上式可以看到，相对位移 x(t) 与惯性力 F(t) 成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的。也就是为什么可以将惯性力理解为一种能反应地震影响的等效载荷的原因。将式(2-16)代入式(2-18)，并注意到' 和的微小差别，令='，则得：      t  t F t m x g e t d 0 ( ) ( )  ()   sin( )  (2-19) 图 2-2

1 《高层建筑结构与抗震》辅导材料二荷载与作用（二）学习目标 1. 掌握多自由度弹性体系地震反应分析方法； 2. 掌握多自由度弹性体系的振型分解反应谱法； 3. 掌握多质点地震作用近似计算法-底部剪力法； 4. 了解竖向地震作用，自振周期实用方法。学习重点 1. 多自由度弹性体系地震反应分析； 2. 多自由度弹性体系的振型分解反应谱法； 3. 底部剪力法； 4. 自振周期实用计算方法。五、多质点弹性体系的地震反应对于图 2-4a 所示的多层框架结构，应按集中质量法将 i i 和 (i 1) (i 1) 之间的结构重力荷载、楼面和屋面可变荷载集中于楼面和屋面标高处。设它们的质量为mi (i =1， 2，3，…，n )，并假设这些质点由无重量的弹性直杆支承于地面上（图 2-4b）。这样，就可以将多层框架结构简化成多质点弹性体系，一般来说，对于具有 n 层的框架，可简化成 n 个多质点弹性体系。 1．多质点弹性体系的自由振动为了掌握多质点弹性体系地震作用的计算，需要熟悉多质点弹性体系自由振动的一些基本内容。为了叙述方便起见，我们首先讨论两个质点弹性体系的自由振动，然后再推广到 n 个质点的情形。（1）两个质点体系的位移方程及其解答图 2-5 表示两个质点体系作自由振动，m1、m2分别为两个质点的集中质量。设在振动过程中某瞬时的位移分别为 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t ，则作用在 m1和m2上的惯性力分别为 1( ) 1 m x t   和 2 ( ) 2 m x t   。设不考虑阻尼的影响，根据叠加原理，可写出质点m1和m2的位移表达式：            22 2 21 2 1 2 1 12 2 11 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     x t m x t m x t x t m x t m x t (2-29) 式中ik 表示在 k 点作用一个单位力而在i 点所引起的位移，它的大小反映结构的柔软程度，故称它为柔度系数。现将式(2-29)写成标准形图 2-4 (a) 多层房屋；(b) 多质点弹性体系图 2-5

2 式：              ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 22 2 21 2 1 2 1 12 2 11 2 1 1 1     x t m x t m x t x t m x t m x t (2-30) 这就表示两个质点体系运动的微分方程组。它的每一项均表示位移，所以称它为自由振动位移方程。现求方程(2-30)的解。由于 ( ) 1 x t 和 ( ) 2 x t 是质点位置和时间 t 的函数，故可将它们表示为：      ( ) (2) ( ) ( ) (1) ( ) 2 1 x t x T t x t x T t (2-31) 式中 x(1) 、x(2) -分别为与质点 1 和 2 位置有关的函数，T(t) -时间 t 的函数。对式（2-31）对时间求两次导，代人式（2-30）进一步进行化简可得：                        (2) 0 1 (1) (1) (2) 0 1 2 1 21 2 22 1 11 2 2 12 m x m x m x m x       (2-32) 这是关于两个未知数 x(1) 和 x(2)的齐次代数方程组。显然，x(1) = x(2)=0 是一组解答，这一组零解表示体系处于静止状态，而不发生振动，这不是我们需要的解。现在要求的应该是 x(1) 和 x(2)不同时为零时方程(2-32)的可用解，也就是说，要使方程（2－32）成立其系数行列式应为零。将行列式展开，得：     1 0 2 1 11 2 22 2 4 m1m2 1122 12  m  m     (2-33) 在式(2-33)中，质量m1、m2和柔度系数11 、12 、21和22 均为常数，只有是未知数，故上式是一个关于2的二次代数方程，它的解为： 2 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 2 1 2 11 22 12 2 1 2 11 22 12 2 2 1 11 2 22 1 11 2 22 1 2                 m m m m  m m m m 、 (2-34) 由单质点无阻尼自由振动可知，方程的解分别为： ( ) sin( ) 1  1 1 1 T t a t (2-35a) 和 ( ) sin( ) 2  2 2 2 T t a t (2-35b) 将式(2-35a)代入式(2-31)，可得质点m1和m2对应于1 的振动方程的特解：            ( ) (2) sin( ) sin( ) ( ) (1) sin( ) sin( ) 12 1 1 1 1 12 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1         x t x a t A t x t x a t A t (2-36) 将式(2-35b)代入式(2-31)，可得质点m1和m2对应于2 的振动方程的特解：            ( ) (2) sin( ) sin( ) ( ) (1) sin( ) sin( ) 22 2 2 2 2 22 2 2 21 2 1 2 2 21 2 2         x t x a t A t x t x a t A t (2-37) 由式(2-36)和(2-37)可知，质点 m1和m2均作简谐运动，而j 为其振动频率。由上可知，两个质点的体系，共有两个频率，其中较小者1称为第一频率或基本频率，较大者2 称为第二频率。现分别讨论当固有频率1和2 时，对应的特解的一些性质，最后引入主振型