第八章曲线 电子课件 学习要求 章目暴 §81曲线的基本概念 §82平面曲线的投影特性及画法 e SR §8.3圆柱螺旋线 人火裘辔华清学院
学习要求 §8.1 曲线的基本概念 §8.2 平面曲线的投影特性及画法 第八章 曲 线 本 章 目 录 §8.3 圆柱螺旋线
第8章曲线 电子课件 在工程实践中,常会应用到曲线。本章将简介曲 线的形成、性质及其正投影作图方法等内容。 掌握曲线的基本属性、正投影作图方法,对于正 确绘制工程中用到的曲线、快速求作、绘制立体表面 截交线、相贯线都是十分必要的。 通过本章学习,应该: 1了解曲线的基本性质、分类 2掌握常见平面曲线的投影作图方法; 3掌握螺旋线的作图方法。 或姜牡华清学院
第8章 曲 线 在工程实践中，常会应用到曲线。本章将简介曲 线的形成、性质及其正投影作图方法等内容。 掌握曲线的基本属性、正投影作图方法，对于正 确绘制工程中用到的曲线、快速求作、绘制立体表面 截交线、相贯线都是十分必要的。 通过本章学习,应该: 1 2 3
曲线 §8.1曲线的基本概念 电子课件 8.1.1曲线的生成方式 工程设计和科学研究中,经常需要绘制各种曲线。 根据已知条件,以及对曲线的要求的不同,生成、绘 制曲线通常采用以下方法: (1)根据曲线方程绘制曲线。常见的有圆锥曲线 渐开线、摆线及圆柱螺旋线等。这类曲线属于规则曲 线。 工 (2)给定一组有序点列,作一条曲线使之依次通过 全部点列,且满足光顺,即几何连续性的要求。 (3)由试验或观测得到一批数据,然后用拟合函数 近似地表明数据点坐标之间的关系,并画出函数图像。 (4)给定一个折线轮廓,要求用曲线逼近这个折线 轮廓。 上述第2种情况称为曲线插值,将第3种情况称为 曲线拟合,第4种情况称为曲线逼近。 *滑学院
曲 线 8.1.1 曲线的生成方式 工程设计和科学研究中，经常需要绘制各种曲线。 根据已知条件，以及对曲线的要求的不同，生成、绘 制曲线通常采用以下方法： (1) 根据曲线方程绘制曲线。常见的有圆锥曲线、 渐开线、摆线及圆柱螺旋线等。这类曲线属于规则曲 线。 (2) 给定一组有序点列，作一条曲线使之依次通过 全部点列，且满足光顺，即几何连续性的要求。 (3) 由试验或观测得到一批数据，然后用拟合函数 近似地表明数据点坐标之间的关系，并画出函数图像。 (4) 给定一个折线轮廓，要求用曲线逼近这个折线 轮廓。 上述第2种情况称为曲线插值，将第3种情况称为 曲线拟合，第4种情况称为曲线逼近。 § 8.1 曲线的基本概念
§8.1曲线的基本概念 曲线 电子课 81.2曲线的基本属性、分类 曲线上任意三个点不在一条直线上 曲线可以是平面与曲面、或曲面与曲面的交线,也 可以看作是动点的轨迹。如图8-1所示 曲线可以分为两类:平面曲线和空间曲线 平面曲线上所有点均在一平面内,例如圆、椭圆 双曲线等。 当曲线上任意连续四个点不在一平面内时,该曲线 属于空间曲线,如常见的螺旋线。参见图8-2所示。 例图8-2 人火裘辔华清学院
曲 线 8.1.2 曲线的基本属性、分类 曲线上任意三个点不在一条直线上。 曲线可以是平面与曲面、或曲面与曲面的交线，也 可以看作是动点的轨迹。如图8-1所示。 曲线可以分为两类：平面曲线和空间曲线。 平面曲线上所有点均在一平面内，例如圆、椭圆、 双曲线等。 当曲线上任意连续四个点不在一平面内时，该曲线 属于空间曲线，如常见的螺旋线。参见图8-2所示。 § 8.1 曲线的基本概念 例图8-2
曲线 §8.2平面曲线的投影特性及画法 电子课件 81平面曲线的投影特性 平面曲线上所有点均在一平面内,因而平面曲线的投影 特性符合平面的投影特性,即: -(1)当平面曲线所在的平面平行于某一投影面时,曲线在 该投影面上的投影反映实形。 3(2)当平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时,曲线在 该投影面上的投影积聚为一直线。 (3)位于一般位置平面内的曲线,其投影与该曲线类似 仍为曲线,没有积聚性,当然也不反映曲线实形。 (4)一般情况下,平面曲线及其投影的次数和类型不变 即二次曲线的投影仍为二次曲线。圆(或椭圆)的投影为椭圆 (特殊情况可为圆)。抛物线的投影仍为抛物线,双曲线的投 影仍为双曲线 p蒂“狂营华清学院
曲 线 8.2.1 平面曲线的投影特性 平面曲线上所有点均在一平面内，因而平面曲线的投影 特性符合平面的投影特性，即： (1)当平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，曲线在 该投影面上的投影反映实形。 (2)当平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，曲线在 该投影面上的投影积聚为一直线。 (3)位于一般位置平面内的曲线，其投影与该曲线类似， 仍为曲线，没有积聚性，当然也不反映曲线实形。 (4)一般情况下，平面曲线及其投影的次数和类型不变。 即二次曲线的投影仍为二次曲线。圆(或椭圆)的投影为椭圆 (特殊情况可为圆)。抛物线的投影仍为抛物线，双曲线的投 影仍为双曲线。 § 8.2 平面曲线的投影特性及画法
§8.2平面曲线的投影特性及画法 曲线 电子课 一般而言,求作平面曲线的投影,只须利用点从属 于平面的几何条件即可方便地完成作图。如图8-3所示 平面CDEF有S形曲线,要求作该曲线的正面投影。 根据点、直线从属于平面的几何条件,只要作出若干条 属于平面cDEF的直线、这些直线与曲线的交点(1、2、 3、4、5、6)也从属于平面cDEF,据此可确定它们的 正面投影(12、3、4、5、63),最后顺序光滑连 接这些点,从而完成作图 打开例图 人火裘辔华清学院
曲 线 一般而言，求作平面曲线的投影，只须利用点从属 于平面的几何条件即可方便地完成作图。如图8-3所示， 平面CDEF内有一S形曲线，要求作该曲线的正面投影。 根据点、直线从属于平面的几何条件，只要作出若干条 属于平面CDEF的直线、这些直线与曲线的交点（1、2、 3、4、5、6）也从属于平面CDEF，据此可确定它们的 正面投影（1’、2’、3’、4’、5’、6’），最后顺序光滑连 接这些点，从而完成作图。 § 8.2 平面曲线的投影特性及画法 打开例图
曲线 §8.2平面曲线的投影特性及画法 电子课件 8.22圆的投影作图 圆是平面曲线中最常见的一种曲线。其投影有以 下三种情况。 (1)当圆平行于投影面时,在该投影面上的投影反 映圆的实形,其他两投影重影为直线,其长度等于圆 的直径。 (2)当圆垂直于投影面时,在所垂直的投影面上的 投影重影为一直线,而另外两个投影为椭圆。如图8 4(a)所示,圆所在平面P为铅垂面,因此圆的水平投影 重影为一直线ab,其长度等于圆的直径D;由于P倾斜 于V面,所以圆的正面投影为一椭圆,其长轴为圆的铅 垂直径CD的投影c'd,长度等于圆的直径D,短轴为 圆的水平直径AB的投影a”b,a”b=D=cos,作图时 短轴长度可根据投影关系作出。求出椭圆的长、短轴 后即可作出椭圆(图84(b) 声人妻酬华清学院
曲 线 §8.2 平面曲线的投影特性及画法 8.2.2 圆的投影作图 圆是平面曲线中最常见的一种曲线。其投影有以 下三种情况。 (1)当圆平行于投影面时，在该投影面上的投影反 映圆的实形，其他两投影重影为直线，其长度等于圆 的直径。 (2)当圆垂直于投影面时，在所垂直的投影面上的 投影重影为一直线，而另外两个投影为椭圆。如图8— 4(a)所示，圆所在平面P为铅垂面，因此圆的水平投影 重影为一直线ab，其长度等于圆的直径D；由于P倾斜 于V面，所以圆的正面投影为一椭圆，其长轴为圆的铅 垂直径CD的投影c’d’，长度等于圆的直径D，短轴为 圆的水平直径AB的投影a’b’ ，a’b’ ＝D*cosβ，作图时 短轴长度可根据投影关系作出。求出椭圆的长、短轴 后即可作出椭圆(图8—4(b))
曲线 §8.2平面曲线的投影特性及画法 电子课件 8.22圆的投影作图 (3)当圆处于一般位置时,它的各面投影均为椭圆 此时可利用投影变换的方法将将圆所在的一般位置平 面变换为投影面垂直面,如图8-4所示那样,进而确定 椭圆其长、短轴,即可作出椭圆(一次换面可求作 个面上的椭圆,其他投影面上的投影可再次进行换面 求作)。 实际上,当圆所在的平面空间位置确定时,该圆 的各面投影椭圆的长、短轴方向及长、短轴的长短也 是确定的,利用一般几何作图方法同样可确定圆投影 成椭圆的长、短轴方向及其长度值,并画出圆的投影。 下面举例说明作图方法。 下面举例说明一般位置面上圆的投影作图方法。 人火裘辔华清学院
曲 线 § 8.2 平面曲线的投影特性及画法 8.2.2 圆的投影作图 (3)当圆处于一般位置时，它的各面投影均为椭圆。 此时可利用投影变换的方法将将圆所在的一般位置平 面变换为投影面垂直面，如图8-4所示那样，进而确定 椭圆其长、短轴，即可作出椭圆（一次换面可求作一 个面上的椭圆，其他投影面上的投影可再次进行换面 求作）。 实际上，当圆所在的平面空间位置确定时，该圆 的各面投影椭圆的长、短轴方向及长、短轴的长短也 是确定的，利用一般几何作图方法同样可确定圆投影 成椭圆的长、短轴方向及其长度值，并画出圆的投影。 下面举例说明作图方法。 下面举例说明一般位置面上圆的投影作图方法
§8.2平面曲线的投影特性及画法 曲线 电子课件 例8-1,已知三角形平面△ABC内有一圆,圆心为O,直径 D=28mm。求其V、H面投影(图8-5)。 分析:△ABC为一般位置平面,所以平面 内圆的V、H面投影均为椭圆。H面投影椭圆 的长轴为圆上一与H面平行的直径(面内水 平线AE)在H面上的投影(ae)、其长度等 于圆的直径D,短轴应该是圆上与水平面具 有最大倾角的直径(等同△ABc平面对水平 面的最大坡度线)在H面上的投影。根据直 角投影定则,可以很容易地确定短轴线OF。 短轴的两面投影均已知,利用直角三角形法 即可确定短半轴长。这样,H面上椭圆的长 短轴已知,利用绘制椭圆的作图方法便可绘 制出椭圆。 同样道理,可以确定V面上投影之椭圆 的长、短轴,并画出椭圆。方法步骤如同求 H面上椭圆,此处不再赘述。 声头华清学院
曲 线 § 8.2 平面曲线的投影特性及画法 例8-1，已知三角形平面△ABC内有一圆，圆心为O，直径 D=28mm。求其V、H面投影（图8-5）。 分析：△ABC为一般位置平面，所以平面 内圆的V、H面投影均为椭圆。H面投影椭圆 的长轴为圆上一与H面平行的直径（面内水 平线AE）在H面上的投影（ae）、其长度等 于圆的直径D，短轴应该是圆上与水平面具 有最大倾角的直径（等同△ABC平面对水平 面的最大坡度线）在H面上的投影。根据直 角投影定则，可以很容易地确定短轴线OF。 短轴的两面投影均已知，利用直角三角形法 即可确定短半轴长。这样，H面上椭圆的长、 短轴已知，利用绘制椭圆的作图方法便可绘 制出椭圆。 同样道理，可以确定V面上投影之椭圆 的长、短轴，并画出椭圆。方法步骤如同求 H面上椭圆，此处不再赘述
§8.2平面曲线的投影特性及画法 曲线 电子课件 例8-1,已知三角形平面△ABC内有一圆,圆心为O, 直径D=28mm。求其V、H面投影(图8-5)。 作图 (1)过圆心O作平面内水平线AE(a'e'及ae),ae即 水平面上椭圆的长轴; (2)求椭圆的短轴(OF:o'f,of;of⊥ae); (3)利用直角三角形法求短半轴的长度(og); (4)利用画椭圆方法画出椭圆 以上步骤是求作水平面上椭圆,V面上椭圆的作图 步骤与之类似(图8-5(b)),不再祥述。 图8-5 人火裘辔华清学院
曲 线 § 8.2 平面曲线的投影特性及画法 例8-1，已知三角形平面△ABC内有一圆，圆心为O， 直径D=28mm。求其V、H面投影（图8-5）。 作图： (1) 过圆心O作平面内水平线AE（a’e’及ae）,ae即 水平面上椭圆的长轴； （2）求椭圆的短轴（OF：o’f’ ，of；of⊥ae）； （3）利用直角三角形法求短半轴的长度（og）； （4）利用画椭圆方法画出椭圆。 以上步骤是求作水平面上椭圆，V面上椭圆的作图 步骤与之类似（图8-5（b）），不再祥述。 图8-5