《桥梁抗震》课程教学资源（课件讲稿）动力学（单自由度体系的振动分析）

第3章单自由度体系的振动分析

第 3 章 单自由度体系的振动分析

3.1单自由度体系的自由振动分析y(t)F(t)宁mk，最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系已经得到单自由度体系的运动方程：(3-1)mi+ci+ky=Fp(t)，这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应

3.1 单自由度体系的自由振动分析 ▪ 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程： k c m y( )t F( )t my cy ky F (t) + + = P   （3-1） ▪ 这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复 杂结构体系的广义坐标反应

y(t)如果去掉外荷载FmFp(t)=0!k定义等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动结构受外部于扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。（第二章）mj+ci+ky=0(3-2)■运动方程：自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！国初始位移：初始速度；初始位移+初始速度（3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程：

▪ 运动方程： m  y  +cy  +ky=0 （3-2） 等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。 定义 ▪ 自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移+初始速度 ▪ 结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动。(第二章） 如果去掉外荷载 FP (t)=0! k c m y( )t F( )t ▪ （3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程；

mi+ci+ky=0(3-2)■齐次方程：齐次方程求解：y(t) =Gest可设齐次方程解的形式为：j(t)=Gs?estj(t)=Gsest(3-3)■代入（3-2）可得：(ms?+cs+k)Gest=0(3-4)(ms2 + cs + k) = 0■其特征方程为：C或：+s+0?=0Sm式中の2=k/m，の是体系振动的圆频率根据阻尼系数c值的不同，解出的特征参数s值将具有不同的特性

▪ 齐次方程： m  y  + cy  + ky = 0 （3-2） ▪ 可设齐次方程解的形式为： st y(t) = Ge （3-3） 0 2 + + = st (ms cs k)Ge ▪ 其特征方程为： 0 2 2 + s + = m c 或： s ▪ 代入（3-2）可得： 0 2 (ms + cs + k) = （3-4） st y (t)=Gse st y t Gs e 2 ( )= ▪ 齐次方程求解： ▪ 式中2=k/m，是体系振动的圆频率。 ▪ 根据阻尼系数c值的不同，解出的特征参数s 值将具有不 同的特性

3.1.1无阻尼自由振动mi+ci+ky=0(3-2)自由振动方程：s+0?=0■特征方程：?m(3-9)If c=0:s=±ioo-iax代入(3-2)得：y(t)=G,eia +G,eetiax(3-10)引入Euler方程：子=cosat±isinat得无阻尼自由振动的位移反应：(3-12)y(t) = Asinat + BcosatA和B是由初始条件决定的常数

3.1.1 无阻尼自由振动 ▪ If c=0： ▪ 特征方程： 0 2 2 + s + = m c s ▪ 自由振动方程： m  y  + cy  + ky = 0 （3-2） s = i （3-9） i t i t y t G e G e  −  = 1 + 2 ( ) ▪ 引入Euler方程： ▪ 代入(3-2)得： e t i t i t    = cos  sin  （3-10） ▪ A和B是由初始条件决定的常数。 得无阻尼自由振动的位移反应： y(t) = Asint + Bcost （3-12）

(3-12)y(t) = Asinat + Bcosat■位移反应：■ 设t=0时： y(0)= yoj(0) = joy(t) = Asinat + BcosatB=yo■ 代入：0ByoA=4o代入：y(t)= Aocosat -Bosinat0jo0Ao■单自由度无阻尼体系运动方程的解：(3-13)yo sin ot + yo cosaoty(t) =0或写成：y(t) = psin(at +0)(3-14)

▪ 设t=0时： 0 0 y( ) = y 0 0 y ( ) = y  ▪ 代入： y(t) = Asint + Bcost y (t) = Acost − Bsint 0 y 0 B 0 y  A 0 B = y ▪ 代入：  0 y A  = ▪ 单自由度无阻尼体系运动方程的解： t y t y y t    ( ) sin cos 0 0 = +  （3-13） ▪ 或写成： y(t) =  sin(t + ) （3-14） ▪ 位移反应： y(t) = Asint + Bcost （3-12） 0

y(t) = lo inat + y. cosax(3-13)0(3-14)可写成：y(t) = psin(at + 0)证明：Ry(t)= pcossinat + psinecosatsin(a+b)=cosasinb+sinacosb三角关系：对比(3-13)：a-ebot ;Jo= pcose显然有：Jo = psinep0yo0ayoyo+y?O=arctanjo0yo0

t y t y y t    ( ) sin cos 0 0 = +  （3-13）  ▪ 三角关系： sin(a+b)=cosasinb+sinacosb ▪ 对比(3-13)： b — t ; a —  0 y  0 y ▪ 显然有：     = cos 0 y y0 =  sin ▪ 证明： y(t) =  cos sint +  sin cost ▪ 可写成： y(t) =  sin(t + ) （3-14） 2 0 2 0 y y  +      =    0 0 y y    = arctan

sinat + ycosoty(t) =(3-13)のy(t)= psin(at +0(3-14)

t y t y y t    ( ) sin cos 0 0 = +  （3-13） y(t) =  sin(t + ) （3-14）

(t)=psin(ot+)定义对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。运动的角速度称为自振圆频率k（弧度/秒；rad/s）0：m运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每个角增量2元便发生一个完整循环，自振周期就是：2元m（秒；sec)2元k0·单位时间内的循环次数称为自振频率：0（次/秒；Hz）2元

定义 • 对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移 称为振幅。 • 运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每 个角增量 2p 便发生一个完整循环，自振周期就是： （弧度/秒 ； rad/s） m k  = • 单位时间内的循环次数称为自振频率： （秒； sec） k m T p  p 2 2 = = （ 次/秒 ；Hz） p  2 1 = = T f T y(t) =  sin(t +  ) 1sec t  • 运动的角速度称为自振圆频率：

简支梁的自振频率EImL由第2章我们已经推导出用柔度表示的简支梁的运动方程(2-5)mj+gj+=Fa(0)根据定义：等效动荷载为零的情况下产生的振动称为自由振动令体系的等效动荷载F（t)-0，则简支梁的自由振动方程为：mgmj+cj+gy=0mTTT已知：k=则可导出：serg90LPSV4mdmgd

简支梁的自振频率 EI m l 0 1 =  my + cy + y ▪ 已知： ▪ 由第2章我们已经推导出用柔度表示的简支梁的运动方程： my + cy + y = FE (t) （2-5）  1   ▪ 令体系的等效动荷载FE (t)=0，则简支梁的自由振动方程为： ▪ 根据定义：等效动荷载为零的情况下产生的振动称为自由振动。  1 k = ，则可导出： m k  = m mg st m 1 = mg g = P g = st g  =