《决策理论和方法》课程教学资源（讲稿）第八章 多属性效用理论

第八章多属性效用理论(Mult- -attribute Utility Theory) 主要参考文献:92,68,86,118,129 §81优先序 二元关系 1无差异( ndifferent to) 2(严格)优于( Strict preference to) 3不劣于 (preference of indifference to ●可以用定义~, AB且BA AB且非BA 因此,在任何决策问题中,是偏好结构的基础,有必要假设关系的存在。至于是 否确定实存在,则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。 在单目标问题,有时存在可测属性(或代用属性洳如成本、收益来衡量偏好,这时决策问题 简化为各方案属性的比较和排序。 但在一般场合,需要用效用价值)函数来度量偏好,在多目标决策问题中,即使各目标 的属性值或效用已知,偏好次序仍不明确,还需作进一步研究 二、二元关系的种类用R表示二元关系) 传递性,若xRy,yRz则xRz ●自反性 reflectivity:xRx ●非自反性:( reflexivity)非xRx 对称性( Symmetry)若zRy,则yRx ●非对称性 asymmetry)若xRy,则非 ●反对称性anti- symmetry若xRy且yRx则必有x=y ●连通性( connectivity) completeness, Comparability 对x,y∈XxRy或和yRx 任何次序关系必须满足传递性传递性看似合理,实则不然,例如, 20.000~20.00120.001~20.002 99999~100,但是20≠100 连通性在仔细验证前也不能假设其成立因为存在不可比方案,但是若将不可比归入 无差异类,连通性就可成立 连通性⊕传递性完全序 §82多属性价值函数 价值函数的存在性 定理8.3 XcR,是X上的弱序,且

1 第八章 多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory) 主要参考文献: 92, 68, 86, 118, 129 §8.1 优先序 一、二元关系 1.无差异(Indifferent to)～ 2.(严格)优于(Strict preference to) 3.不劣于(preference of indifference to) ⚫可以用 定义～， ： A～B A B 且 B A A B A B 且非 B A 因此，在任何决策问题中， 是偏好结构的基础，有必要假设 关系的存在。至于 是 否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造 的途径。 ⚫在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题 简化为各方案属性的比较和排序。 但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标 的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。 二、二元关系的种类(用 R 表示二元关系) ⚫传递性，若 xRy, yRz 则 xRz ⚫自反性 reflectivity: xRx ⚫非自反性：(Irreflexivity)非 xRx ⚫对称性(Symmetry)若 zRy,则 yRx ⚫非对称性(asymmetry)若 xRy，则非 yRx ⚫反对称性(anti-symmetry)若 xRy 且 yRx 则必有 x = y ⚫连通性(connectivity) completeness, Comparability 对 x, y∈X xRy 或/和 yRx 任何次序关系必须满足传递性. 传递性看似合理，实则不然，例如， 20.000～20.001 20.001～20.002 … 99.999～100, 但是 20≠ 100 连通性在仔细验证前也不能假设其成立, 因为存在不可比方案; 但是,若将不可比归入 无差异类，连通性就可成立. 连通性  传递性 完全序 §8.2 多属性价值函数 一、价值函数的存在性 定理 8.3 X  R N , 是 X 上的弱序，且

①x,y∈X若x≥yxy; x,y∈X若xyz则必存在唯的0w(y) x~y分v(x)=v(y) Note:1.条件①为单调性( Monotonicity),即支配性( dominance)只要某一属性值增加偏好 也增加 2.条件②为偏好空间的连续性( continuity),即阿基未德性( Archimedean 3.v(x)=f(v1(x1)…,vn(xn)f的形式通常十分复杂,即使v(x,)为线性v的形式仍十分 复杂 例:x1,x2的价值函数为线性,即:v1=kx1n2=k2x2 且k2=15k,但是vx)≠v1(x1)v2(x2) 因此,价值函数的设定相当困难 二、加性价值函数 定义 若v(y=∑v,(y),则称价值函数V(y)是加性的 2加性价值函数的存在条件 定理86(P133)(n≥3) 定义在YR上的价值函数v(y)=v(y1…,yn)对任何y,y”∈Y !"mwp)≥则属性集满足互相偏好独立条件时当且仪当存在定义在Y i=1,,n上的实值函数ⅴ,使 y”分v1(y1”)+…+vn(yn”)≥v1(y1”)+…+vn(yn”) 3.互相偏好独立的定义: 属性集Ω称为互相偏好独立若Ω的每个非定正常子集θ偏好独立于其补集θ(Ω=OU) 4属性集Ω的子集⊙偏好独立于其补集⊙的定义(P130定义8.2)

2 ① x y X • • ,  若 x • ≥ y • x • y • ; ② x y z X • • • , ,  若 x • y • z • 则 必存在唯一的 0＜λ ＜1 使 y • ～λ x • +(1-λ ) z • ; 则存在定义在 X 上的实值函数 v，满足 x • y •  v( x • )＞ v( y • ) x •  y •  v( x • ) = v( y • ) Note: 1. 条件①为单调性(Monotonicity), 即支配性(dominance): 只要某一属性值增加偏好 也增加. 2. 条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean). 3. v( x • )=f( v x v x 1 1 n n ( ), , ( ) ) f 的形式通常十分复杂，即使 v x i i ( ) 为线性 v 的形式仍十分 复杂. 例： x1 , x 2 的价值函数为线性, 即: v1 =k1 x1 v2 =k2 x 2 且 k2=1.5k1, 但是 v( x • )≠ v1 ( x1 )+ v2 ( x 2 ) 因此, 价值函数的设定相当困难. 二、加性价值函数 1.定义： 若 v( y • )= v y i i n i =  1 ( ) , 则称价值函数 V( y • )是加性的 2.加性价值函数的存在条件 定理 8.6(P133) (n≥ 3) 定义在 Y R N 上的价值函数 v( y • )=v( y y 1 n ,  , )对任何 y • ’, y • ”∈Y , y • ’ y • ” iff v( y • ’)≥ v( y • ”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在 Y i , i=1,… ,n 上的实值函数 v i 使 y • ’ y • ” v1 ( y1 ’)+ … + vn ( y n ’) ≥ v1 ( y1 ”)+ … + vn ( y n ”) 3.互相偏好独立的定义： 属性集Ω 称为互相偏好独立,若Ω 的每个非定正常子集Θ 偏好独立于其补集  − (Ω =Θ U  − ) 4.属性集Ω 的子集Θ 偏好独立于其补集  − 的定义(P130 定义 8.2)

当且仅当:对特定的y.∈Y若(ya’y9)(y”,y9)则对所有y.∈Y必有 (ya’y.)(ya”,y.)称属性集Ω的子集偏好独立于其补集θ 5两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4,定理84) 消去条件对x1,y1,a1∈H1,x2,y2,a2∈H 有(x1,a1)(a1,y2),(a1,x2)(y2,a2则必有(x1,x2)(y1,y2) 则称满足消去条件 Thomson条件将消去条件中的改为 三、其他简单形式 1拟加性 v(y=∑k0)+∑∑k0),()+∑∑∑k0)O,)2(y) 条件yi=1,2,…n弱差独立于其补集Y(详见p135,定义87) 2乘性(p136-137) 若属性集Ω的每个非室子集Q弱差独立于其补集⊙,则 v(y)=∑k()+∑∑k(y()+k2∑∑∑kkk4(),(y)(Uy) …+k…k1k2…knv1(y1)…vn(yn) §83多属性效用函数 二个属性的效用函数 后果空间ⅹ×Y,后果(xy),设决策人在XxY上的偏好满足公理(1)~(6),则可用形如 v(xy)}=vx(x)+vy(x)的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下) 设决策人关于X×Y空间及P上的抽奖的偏好为u(xy)则u(xy)和v(xy)代表了X×Y上相同 的偏好,u(xy)=φ(vxy).其中φ()是保序变换 决策人的行为符合理性行为公理时,形如 l2:<0.5.(175150)0.5,(225,150) l3:<0.5(100250),0.5,(400250 l4:<0.5(175,250)0.5,(225,250 若效用独立则l1l2ll4 2定义 若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同决策人对它们的偏好与Y的取值无关 则称ⅹ是效用独立于Y。效用独立又称风险独立(若X效用独立于Y则决策人对抽奖的ⅹ

3 当且仅当：对特定的 y Y   −  − 若 ( y ’, y  − 0 ) ( y ”, y  − 0 ) 则对所有 y Y   −  − 必有 ( y ’, y  − ) ( y ”, y  − ) 称属性集Ω 的子集偏好独立于其补集  − . 5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义 8.4，定理 8.4) 消去条件 对 x1 , y1 , a1  Y1 , x 2 , y 2 , a2  Y2 有( x1 , a1 ) ( a1 , y 2 ),( a1 , x 2 ) ( y 2 ,a2 )则必有( x1 , x 2 ) ( y1 , y 2 ) 则称 满足消去条件. Thomson 条件 将消去条件中的 改为～. 三、其他简单形式 1.拟加性： v( y • )= k v y i i i n i =  1 ( ) + j i n ij i i n i j j k v y v y =   1 ( ) ( ) + k j n j i n ijk i i n i j j k k k v y v y v y =    1 ( ) ( ) ( ) + … + k12n v1 ( y1 ) … vn ( y n ) 条件 Yi i=1,2,… ,n 弱差独立于其补集 Y i − (详见 p135,定义 8.7) 2.乘性(pp136-137) 若属性集Ω 的每个非室子集Θ 弱差独立于其补集  − , 则 v( y • )= k v y i i i n i =  1 ( ) +k k k v y v y i j i n j i i n i j j =   1 ( ) ( ) + k 2 k k k v y v y v y i j k j n j i n k i i n i j j k k =    1 ( ) ( ) ( ) + … + k k k k n n −1 1 2  v1 ( y1 ) … vn ( y n ) §8.3 多属性效用函数 一、二个属性的效用函数 ·后果空间 X×Y，后果(x,y)，设决策人在 X×Y 上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如 v(x,y)= v X (x)+ vY (x) 的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下) ·设决策人关于 X×Y 空间及 P 上的抽奖的偏好为 u(x,y)则 u(x,y)和 v(x,y)代表了 X×Y 上相同 的偏好，u(x,y)=φ (v(x,y)). 其中φ (·)是保序变换 ·决策人的行为符合理性行为公理时, 形如 的抽奖 可以用期望效用 E[u(x,y)]= p u x y i i n i i =  1 ( , ) 来衡量其优劣. 二、效用独立(Utility Independence) 1.例： l 1 : l 2 : l 3 : l 4 : 若效用独立, 则 l 1 l 2  l 3 l 4 2.定义： 若二个抽奖有公共的固定的 Y 的值而 X 中的值不同，决策人对它们的偏好与 Y 的取值无关， 则称 X 是效用独立于 Y。效用独立又称风险独立(若 X 效用独立于 Y 则决策人对抽奖的 X

上的风险态度与Y无关)更一般的定义见P147,定义8.10 3效用独立蕴含偏好独立 (x,a)(x3,a)对某个a )> e0,a(y)β(y)的确定与y有关 同理,Y是效用独立于X的,当且仅当对固定的x (x, y =y(y)u(xo, y)+8(y)V(x,y)EXxY 其中(x>0,yx)8(x)的确定与x。有关 5X、Y相互效用独立 定理∶X和Y是相互效用独立的,则:若选(xo,y)使uxo,y 必有叫(xy)=u(x,y)+u(x02y)+ku(x,you(xo2y) 即XY相互效用独立且u(x0,y)=0时,u(xy)具加性 6加性条件 在上述假设下,再附加:对某个x1,x2∈X,y1,y2∈Y 5(x1,y1)0.5,(x2,y2)~ 且(x1,y0)飞(x2,y0),(x0,y2)(x,y) Ay u(x, y)=u(x, yo) u( xo,y) 7.加性独立也可以用另一种方式来表示 属性X、Y是加性独立的,若对所有xx∈X,y,y'∈Y 0.5(X,y)0.5、(x2,y2)~ 8定理 设叫(xy)是XxY上的效用函数且X、Y是加性独立的则若选(x0,y)uxo,y)=0 F u(x,y=u(x, yo)+u( xo y) 加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足 拟加性效用函数的例 某人拟度假,他根据两个属性来确定休安排假的优劣 x:每天的日照时数 y:每天的费用 在与决策分析人讨论后确定了 a.他的偏好是相互效用独立的 b.x的边际效用是线性的,日照愈长愈好 c.y的边际效用也是线性的,费用愈小愈好 d.他认为下面的无差异成立:(10,16)~(8,12)

4 上的风险态度与 Y 无关). 更一般的定义见 P147，定义 8.10 3.效用独立蕴含偏好独立 (x,) (x’,) 对某个α   由 UI，对任何β 成立  (x,) (x’, ) 4.引理： X 是效用独立于 Y 的，当且仅当，对固定的 y 0 u(x,y)= (y) u(x, y 0 ) + (y) (x,y)XY 其中α (y)>0, α (y),β (y)的确定与 y 0 有关。 同理，Y 是效用独立于 X 的，当且仅当对固定的 x 0 u(x,y)=  (y) u( x 0 , y) + (y) (x,y)XY 其中(x)>0, (x),δ (x)的确定与 x 0 有关。 5. X、Y 相互效用独立 定理：X 和 Y 是相互效用独立的，则：若选( x 0 , y 0 )使 u( x 0 , y 0 )=0 必有 u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y)+k u(x, y 0 )u( x 0 ,y) 即 X Y 相互效用独立且 u( x 0 , y 0 )=0 时，u(x,y)具拟加性. 6.加性条件： 在上述假设下，再附加：对某个 x1 , x 2 X, y1 , y 2 Y,  且 ( x1 , y 0 ) ( x 2 , y 0 ), ( x 0 , y 2 ) ( x 0 , y1 ) 则 u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y) 7. 加性独立也可以用另一种方式来表示: 属性 X、Y 是加性独立的，若对所有 x,x’X, y,y’Y  8.定理 设 u(x,y)是 XY 上的效用函数,且 X、Y 是加性独立的,则若选( x 0 , y 0 )使 u( x 0 , y 0 )=0 有 u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y) 加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足。 三. 拟加性效用函数的例 某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣 x:每天的日照时数 y:每天的费用 在与决策分析人讨论后确定了: a. 他的偏好是相互效用独立的; b. x 的边际效用是线性的，日照愈长愈好; c. y 的边际效用也是线性的，费用愈小愈好; d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12) (15,16)～(12,8)

他面临的度假地有两种选择 B:y=15有25%的可能性是x=13,75%的可能性是x=4 他应选择那一地点度假? 解先选(x0,y)由于需要(x1,y)~(x0,y1) 在(10,16)~(8,12)中,x0=8,y=16则x1=10,y1=12 令u(8,16=0),u(10,16)=1,由x边际效用的线性性u(x,16)=(x-8y 同样,由y边际效用的线性性以及u(8,16)=0,u(8,12)=1 可得:u(8y)=(16-y)/4 因此:uxy)=ux,y0)+u(xoy)+ku(x,you(x02y) =(X-8)2+(16y)/4+k(x8)(16-y)/8 u(15,16)=u(12,8) 即(15-8)2=(12-8)2+(16-84+k×4/2×8/4得k=1/8 因此u(xy)=(x-8)/2+(16y)4+(x-8)(16-y)/64

5 他面临的度假地有两种选择 A：x=10, y=14 B: y=15 有 25%的可能性是 x=13, 75%的可能性是 x=4 他应选择那一地点度假? 解: 先选( x 0 , y 0 ).由于需要( x1 , y 0 )～( x 0 , y1 ) 在(10,16)～(8,12)中， x 0 =8, y 0 =16 则 x1 =10, y1 =12 令 u(8,16=0) , u(10, 16)=1 , 由 x 边际效用的线性性 u(x, 16)=(x-8)/2 同样，由 y 边际效用的线性性以及 u(8, 16)=0 , u(8, 12)=1 可得：u(8,y)=(16-y)/4 因此：u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y)+k u(x, y 0 )u( x 0 ,y) =(x-8)/2 + (16-y)/4 + k(x-8) (16-y)/8 ∵ (15,16)～(12,8) ∴ u(15, 16) = u(12, 8) 即 (15-8)/2 = (12-8)/2 + (16-8)/4 +k  4/2  8/4 得 k=1/8 因此 u(x,y)= (x-8)/2 + (16-y)/4 + (x-8) (16-y)/64