第四节几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结思考题
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 四、小结 思考题 第四节 几种特殊类型函数的积分
高等数学的积分一、有理函数(rational functions有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之P(x)ax" +axn-i +..+an-x+a,b,x" +b,xm-1 +...+bm-+x+b,Q(x)拉M其中m、n都是非负整数；ao,ai,…,an及上页bo,bi,,bm都是实数，并且a,±0，b，≠0下页返回
下页 返回 上页 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0，b0 0 . 一、有理函数(rational functions)的积分
高等数学假定分子与分母之间没有公因式n<m，这有理函数是真分式(1)(2）n≥m，这有理函数是假分式；利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和x31+x+1例=x+x2+1x2+1上页难点将有理函数化为部分分式之和下页返回
下页 返回 上页 假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
高等数学有理函数化为部分分式之和的一般规律：(1）分母中若有因式(x一a)，则分解后为A2A,(x-a)k-i(x-a)kx-a其中A,A,,A,都是常数4上页特殊地：k=1，分解后为下页x-a返回
下页 返回 上页 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
高等数学(2）分母中若有因式(x2+px+g)，其中p2-4q<0 则分解后为M,x+ NMx+NMx+N(x + px + g)k-1x2+ px+q(x2+px+g)k其中M,,N,都是常数(i=1,2,,k)Mx+ N上页特殊地：k=1，分解后为x+ px+q下页返回
下页 返回 上页 （2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +
高等数学真分式化为部分分式之和的待定系数法Bx+3x+3A例1x2-5x+6(x-2)(x-3)x-3x-2x+3= A(x-3)+ B(x-2),x+3=(A+B)x-(3A+2B)A=-5A+B=1,=三B=6-(3A+2B)=3,上页6x+3-5下页+返回x2-5x+6-x-2x-3
下页 返回 上页 真分式化为部分分式之和的待定系数法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1
高等数学BCA例22x-1(x-1)x(x-1)x(1)1= A(x -1)2 + Bx +Cx(x-1)代入特殊值来确定系数 A,B,C取x=0, =A=1取x=1,=B=1取 x=2, 并将A,B值代入(1) =C=-1上页下页x(x -1)2(x-1)2x-1x返回
下页 返回 上页 2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2
高等数学1ABx + C例3X1+x?(1+2x)(1 + x2)1+2x1 = A(1 + x°)+(Bx + C)(1+2x)整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+AA+2B=0,2BB+2C=0, = A=L5A+C=1,2上页x+155下页2返回(1+2x)(1+ x)1+ 2x1+x2
下页 返回 上页 例 3 . 1 51 52 1 254 2 xx x + − + + + = (1 2 )( 1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + =1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 51 , 52 , 54 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A ++ + + = (1 2 )( 1 ) 1 2 + x + x 整理得
高等数学1dx.例4求积分x(x-1)1解dxdx1x(x-)x-X:1=dx +dxdxxx-1=lnx-In(x -1)+C.上页x-1下页返回
下页 返回 上页 例4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x − dx x x − 2 ( 1) 1 dx x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = − 解
高等数学1dx.例5求积分(1 + 2x)(1 + x24255解dx=dxdx+2(1+ 2x)(1 + xx+2x11+2LXn(1+2)-d+dx一25+X2上页In(1+ 2x)-=In(1+ x)+=arctanx+C.5下页5返回
下页 返回 上页 例5 求积分 解 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + dx x x dx x x dx x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x dx x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x + C