《数值计算》课程教学课件（讲稿）第2章 插值法（5/5）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第二章插值法第一节问题的提出第二节拉格朗日插值第三节牛顿插值第四节埃尔米特插值第五节分段低次插值第六节三次样条插值上页下页返园

上页 下页 返回 第二章 插值法 第一节 问题的提出 第二节 拉格朗日插值 第三节 牛顿插值 第四节 埃尔米特插值 第五节 分段低次插值 第六节 三次样条插值

86三次样条插值样条（spline），是早期飞机、造船工业中绘图员用来画光滑曲线的细木条或细金属丝，绘图时，为了将一些已知的点连成光滑曲线，绘图员用压铁把样条固定在相邻的若干点上，样条具有弹性，形成通过这些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需的曲线.数学上仿此得出的函数便称为样条函数，由于分段线性插值和分段埃尔米特插值的光滑性不够（例如船体放样、飞机的外形曲线设计常需二阶可导），况且节点处的导数值难以获得。样条插值是用分段低次多项式去逼近被逼近函数，并且能满足对光滑性的要求，又无需给出每个节点处的导数值.它除了要求给出各个节点处的函数值之外，只需提供两个边界节点处的导数上页下页信息返园

上页 下页 返回 §6 三次样条插值 由于分段线性插值和分段埃尔米特插值的光滑性不够（例 如船体放样、飞机的外形曲线设计常需二阶可导），况且节点 处的导数值难以获得

一、样条函数设有节点a=x<x,<<x,=b，分段函数s(x)满足:(1)于每个区间x,xk+il上是一个次数不超过m的实系数代数多项式。(2)s(x)于[a,b上具有m-1阶连续导数。则称s(x)为[a,b上的m次样条函数。对m=3，便得到三次样条函数(1）S(x)在每个小区间x,Xk+il上都是三次多项式(2) S"(x)在区间a,b]上连续,即S(x)C[a,b]则称S(x)为区间a,bl上的三次样条函数此时曲线S(x)处处均有连续曲率（阶导数连续）上页一工程必须的。下页返圆

上页 下页 返回 设有节点a  x0  x1  xn  b，分段函数s(x)满足： 一、样条函数 2 ( ) [ , ] , ( ) [ , ] 2 （ ）S x 在区间a b 上连续 即S x C a b （1）S(x)在每个小区间[xk , xk1 ]上都是三次多项式 则称 S(x)为区间[a,b]上的三次样条函数 工程必须的。 此时曲线 处处均有连续曲率（二阶导数连续）   S(x) 系数代数多项式。 (1)于每个区间[xk , xk1 ]上是一个次数不超过m的 实 (2)s(x)于[a,b]上具有m 1阶连续导数。 则称s(x)为[a,b]上的m次样条函数。 对m  3，便得到三次样条函数：

如果函数f(x)在节点xo,xi,,x,处的函数值为f(x,)=yj,j=0,l,...,n而三次样条函数S(x）满足(1)S(x,)=yj,j=0,l,..",n则称S(x)为f(x)在[a,b上的三次样条插值函数注：三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于S(x）自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而埃尔米特插值依赖于f在所有插值点的导数值。H(x)f(x)S(x)上页下页返园

上页 下页 返回 注：三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而埃尔米特插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x) 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,  , xn 处的函数值为 f (xj )  yj , j  0,1,  ,n 而三次样条函数S(x)满足 S(xj )  yj , j  0,1,  ,n 则称S(x)为f (x)在[a,b]上的三次样条插值函数 -(1)

二、三次样条插值函数的建立1.构造三次样条插值函数的三转角法设a=x<x,<….<x,=b为区间[a,b] 的一个分割如果函数f(x)在节点xo,x,,x,处的函数值为f(x,)= y,j= 0,l,,n如果S(x)是f(x)的三次样条插值函数，则其必满足S(x,)= y,, j=0,l, ..,n-l,nlimS(x)= S(x,)= yj,j=1,..,n-1x→xj--(2)limS'(x)= S'(x,)=m;,j=l,.,n-1x-→xXj上页lim s"(x)= S"(x,),j=l,...,n-1下页x→xj返园

上页 下页 返回 如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,  , xn 处的函数值为 f (xj )  yj , j  0,1,  ,n 设a  x0  x1  xn  b为区间 [a,b] 的一个分割 如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数，则其必满足 S(xj )  yj , j  0,1,  ,n1,n lim ( )  ( )  ,  1, , 1  S x S xj mj j n x x j  lim ( )  ( ),  1, , 1  S x S xj j n x x j  lim ( )  ( )  ,  1, , 1  S x S xj yj j n x x j  -(2)        三转角法 二、三次样条插值函数的建立 1. 构造三次样条插值函数的

S(x）要满足上述四组共4n-2个)条件S,(x)xe[xo,x,]S(x)在[a,b]上S,(x)xe[x,x,]--(3)S(x)=是分段函数即·(S.-I(x)Xe[xn-1,xn]S,(x)是[xk,xk+il上的(两点)三次样条插值多项式满足St(x,)=yjj=k,k+1lim S,(x)= lim Sk-i(x)x-→xtx→xk--(4)lim S(x)= lim Sk-i(x)k =1,2,...,n-1x-→xkX→Xk上页共4n-2个条件lim S"(x)= lim S"-,(x)下页x-→xX-→Xk返园

上页 下页 返回 S(x)要满足上述四组(共4n 2个)条件 是分段函数即 在 上 , S(x) [a,b] ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( ) [ , ] 1 1 1 1 2 0 0 1 Sn x x xn xn S x x x x S x x x x               S(x)  Sk (x)是[xk , xk1 ]上 的(两 点)三次样条插值多项式,满 足 k j j S (x )  y lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k       lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         k 1,2,  ,n1 共4n 2个条件 j  k,k 1 -(3)        -(4)

S,(x)是[xk,xk+i]上的三次样条插值多赋,应有4个待定系数即要确定S(x），必须确定4n个待定的系数少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件S'(x) = f S'(xn)= fi ---(5)第一类（一阶）边界条件S"(xo)= f" S"(xn)= f" ---(6)第二类（二阶）边界条件lim S(P (x) = lim S(pP(x) --- (7)第三类（周期）边界条件x-→xtx-→xn上页p=1,2下页返圆

上页 下页 返回 Sk (x)是[xk , xk1 ]上的三次样条插值多项式,应 有4个待定系数 即要确定S(x)，必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件: 第一类(一阶)边界条件 0 0 S(x )  f  n n S(x )  f  第二类(二阶)边界条件 0 0 S(x )  f  n n S(x )  f  第三类(周期)边界条件 lim ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 S x S x p n x x p x x n       p  1,2 -(5) -(6) -(7)

一般使用第一、二类边界条件，常用第二类边界条件加上任何一类边界条件（至少两个)后，条件就够了。确定S(x）必须确定4n个待定系数，条件正好是4n个即 j=0,l,...,n(St(x,)=y;k=1,2,...,n-1lim S,(x) = lim Sk-i(x)x→xtX→xk---(8)k =1,2,..,n-1lim S'(x) = lim Ss-(x=mkx→xtX→xkk=1,2,...,n-1lim S"(x) = lim S"-,(x)x-xtX→XkS'(xo)= f° S'(xn)= f"上页或 s"(x)= f" S"(x)= f"下页返圆

上页 下页 返回 加上任何一类边界条件(至少两个)后，条件就够了。 确 定S(x)必须确定4n个待定系数，条件正好也 是4n个 一般使用第一、二类边界条件, 即 k j j S (x )  y lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k       lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         lim ( ) lim ( ) S x Sk 1 x x x k x xk k         k 1,2,  ,n1 j  0,1,  ,n k 1,2,  ,n1 k 1,2,  ,n1  mk 0 0 S(x )  f  n n S(x )  f         -(8) 0 0 S(x )  f  n n 或 S(x )  f  常用第二类边界条件

9设 S'(x,)=m,j=0,l,."",n逐个求f(x)在小区间x,x+l上的三次插值多项式(x)将S,(x)表示为xk，xk+i]上的两点三次埃尔米特插值多项式St(x)= H(k (x) = yrα(* (x)+ yk+iα( (x)+ m.β(* (x)+ mk+1β(*'(x)X-XX-XkX-Xk+1X-Xk+11+21+2+k+1=yk八Xk+1-XkXk+1-Xk)X-Xk+1)(Xk-Xk+1X-Xk+1X-Xk+mk(x-xk)+mk+I((x -Xk+1)上页Xk-Xk+1Xk+1-Xk下页返园

上页 下页 返回 设 S(xj )  mj , j  0,1,  ,n ( ) [ , ] ( ) 逐个求f x 在小区间 xk xk1 上的三次插值多项式Sk x 将Sk (x)表示为[xk , xk1 ]上的两点三次埃尔米特插值多项式 S ( x) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) H3 x y x y x m x m x k k k k k k k k k                           1 1 1 1 2 k k k k x x x x y 2 1           k k k x x x x    mk x  xk 2 1 1             k k k x x x x 2 1           k k k x x x x    mk1 x  xk1             k k k k x x x x y 1 1 2 2 1 1             k k k x x x x -(9)