《数值计算》课程教学课件（讲稿）第1章 绪论（2/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第一章绪论第一节 问题的提出第二节数值分析的内容与特点第三节计算机机器数系与浮点运算第四节数值计算的误差第五节数值计算的注意事项上页下页返圆

上页 下页 返回 第一章 绪 论 第一节 问题的提出 第三节 计算机机器数系与浮点运算 第五节 数值计算的注意事项 第四节 数值计算的误差 第二节 数值分析的内容与特点

六、有效数字与相对误差的关系有效数字一相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为0.5×10m-n10-n8%*8+*0.a,a,..a,×10m2x0.a..1×10-n+1<2a百相对误差限一有效数字1×10-n+1光已知x*的相对误差限可写为&2(a, +1)10-n+1则[x-x*≤8,*.|x*×0.aja....×10m2(a, +1)10-n+1(a, +1)×10m-l =0.5×10m-n上页2(a, +1)下页可见x*至少有n位有效数字返圆

上页 下页 返回 六、有效数字与相对误差的关系  有效数字  相对误差限 1 1 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 0 0 1 0 0 5 1 0 *             n n m n m n r a .a a a .a . x * ε* ε   已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为  相对误差限 有效数字 m m n n m n r a . a .a a a x x ε x                     ( 1) 1 0 0 5 1 0 2( 1) 1 0 0 1 0 2( 1) 1 0 | * | * | * | 1 1 1 1 1 2 1 1  1 1 10 2( 1) 1 *      n r a 已知 x* 的相对误差限可写为 ε 则 可见 x* 至少有 n 位有效数字

例5为使元*的相对误差小于0.001%，至少应取几位有效数字？解假设元*取到n位有效数字，则其相对误差上限为110-n+1光C2a要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足1×10-n+1<0.001%*&<2a1已知ai=3，则从以上不等式可解得n6-log6，即n≥6，应取元*=3.14159上页下页返回

上页 下页 返回 例5 为使 π* 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解 假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为 1 1 10 2 1 *     n r a ε 要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足 10 0.001% 2 1 * 1 1    n r a ε 已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得n > 6  log6，即 n  6，应取 * = 3.14159

七、数值运算的误差估计1、代数运算的误差估计设近似数与x的误差限分别为e(x)和ε(x）,则它们进行加、减乘、除运算得到的误分别为(x ±x,) =8(x) +8(x,)8(x x2) ~ xe(x2)+x (x)e(x,)+xe(x,)8(x /x,)(x, ±0)X上页下页返回

上页 下页 返回 乘、除运算得到的误差限分别为 设近似数x1 * 与x2 * 的误差限分别为 (x1 * )和 (x2 * ),则它们进行加、减、 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 2 * 2 * 1 * 2 * 2 * 1 * 2 * 1 * 1 * 2 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1         x x x x x x x x x x x x x x x x x x          ； ； 1、代数运算的误差估计 七、数值运算的误差估计

2、函数值的误差估计当自变量有误差时计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计(x)- f(x)= (x)(x-x)+ ["((x-x)（5介于x与x之间）2["(3)]F(x)- f(x")≤|F'(x) e(x)+e"(x")2忽略ε(x*)的高阶项，可得计算函数的误差限ε(f(x) ~f(x)s(x*)附：泰勒公式若函数f(x)在闭区间a，b上有定义，且有一直到n阶的连续导数，当u<x<b时有有限导数r(n+1)(x)，则F(x)=()(x-a)*+R,(x)(a≤x≤b)K!k=0上页1式中f(n+1)(5)(x-a)n+1R,(x)=(a<<b)下页(n +1)!返圆

上页 下页 返回 ( )( ) ( ) ( 1) ! 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( ) ( ) ( ) [ ] ( 1) 1 0 ( ) ( 1) f x a a b n R x f x a R x a x b k f x n a x b f x f x a b n n n n n k k k n                  式 中   阶的连续导数，当 时有有限导数 ， 则 附：泰勒公式 若函数 在闭区间 ， 上有定义，且有一直到 2、函数值的误差估计 当自变量有误差时计算函数值也会产生误差，其误差限可 利用函数的泰勒展开式进行估计. ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) * * * * * * * 2 * * * * * 2 * f x f x x x x f f x f x f x x x x x x f f x f x f x x x                       忽 略 的高阶项，可得计算函数的误差限 介 于 与 之 间

当f为多元函数时，若=f(xj,X2,…x,)，而x,X2,…x,的近似值为x,xz,...x,则A的近似值为A"=f(xi,xz,…x,)，于是函数值A*的误差e(A*)为e(A")= A*-A= f(x,,...,x,)-f(xi,...,x,.)a f(xi,...xn(c-x)-~(%)2(2axk[%]于是误差限(A) :8(x);~而A的相对误差限为SA[上页8, =8,(A)下页返回

上页 下页 返回 值 的误差 为 似值为 ， 则 的近似值为 ，于是函数 当 为多元函数时，若 ， 而 的 近 ( ) , , ( , , ) ( , , ) , , * * * * 2 * 1 * * * 2 * 1 1 2 1 2 A e A x x x A A f x x x f A f x x x x x x n n n n         * * 1 * * * * * * 1 * * * * 1 1 * * * 1 1 * * 1 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) A x x f A A A A x x f A e x f x x x f x x e A A A f x x f x x k n k k r r k n k k k n k k n k k k k n n n                                                                  而 的相对误差限为 于是误差限 ；   

例6：已测得某场地长l的值为=110m，宽d的值*-l≤0.2m，d*-d≤0.1m。为d=80m已知试求面积s=ld的绝对误差限与相对误差限。由公式可知解:因 s=ld，==d,(s) ~%(1)+%e(d)%=d=80m其中%= l =110m而ε(d) = 0.1mε(l) = 0.2m于是绝对误差限s(s*）~80×0.2+110×0.1=27(m2）27e(s*)e(s*= 0.31%相对误差限 ε,(s)=上页2I*d*5*8800下页返圆

上页 下页 返回 例6：已测得某场地长 的值为 ，宽 的值 为 已知 ， 。 试求面积 的绝对误差限与相对误差限。 l l 110m  d l l 0.2m * d  80m   d d 0.1m *   s  ld 解: 因 s  ld ， ， d ， l s    l d s    (s) (l) (d) d s l s          其中   s l  d  80m   d s  l  110m 由公式可知 ( ) 8 0 0.2 110 0.1 2 7( ) 2 s      m  于是绝对误差限  而 (l)  0.2m (d)  0.1m 0.3 1% 8800 ( ) ( ) 2 7 ( )          l d s s s s r   相对误差限 

cosy例7 设f(x,J)=x=1.30±0.005,y=0.871±0.0005x如果用=f(1.30,0.871)作为f(x，y)的近似值，则能有几位有效数值？c0s0.871解：u = f(1.30,0.871) =~0.495431.30afafsinycosy由于ayaxxc0s0.871sin0.871而× 0.0005(u)~×0.005+1.3021.30~ 0.0022< 0.005所以=f(1.30,0.871)能有二位有效数字上页下页返回

上页 下页 返回 位有效数值？ 如果用 ， 作 为 ， 的近似值，则 能有几 例 设 ， ， u f f x y u x y x y f x y ~ (1.3 0 0.871) ( ) ~ 1.3 0 0.005 0.871 0.0005. cos 7 ( , )       (1.30 0.871) . ~ 0.0022 0.005 0.0005 1.30 sin0.871 0.005 1.30 cos0.871 ) ~ ( cos sin 0.49543 1.30 cos0.871 (1.30 0.871) ~ 2 2 所 以 ， 能有二位有效数字 而 由 于 ， 解 ： ， u f u x y y f x y x f u f                   

八、误差分析的方法数值运算中的误差分析是个很重要而且复杂的问题，前面讨论了近似值的误差限，它只适用于简单情形。对一个工程或科学计算问题，往往要运算千万次，每步都做误差分析是不可能的。因为误差的积累有正有负，绝对值有大有小，如果都按最坏情况估计，得到的结果会比实际误差大很多：考虑到误差分布的随机性，将数据和运算中的舍人误差视为适合某种分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际，这种方法称为概率分析法。目前，还没有有效的方法对误差做出定量估计．为了确上页保数值计算结果的正确，需要对数值计算问题做定性分析下页返回

上页 下页 返回 八、误差分析的方法 数值运算中的误差分析是个很重要而且复杂的问题，前 面讨论了近似值的误差限，它只适用于简单情形。对一个工 程或科学计算问题，往往要运算千万次，每步都做误差分析 是不可能的。 因为误差的积累有正有负，绝对值有大有小，如果都按 最坏情况估计，得到的结果会比实际误差大很多．考虑到误 差分布的随机性，将数据和运算中的舍人误差视为适合某种 分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布，这样得到 的误差估计更接近实际，这种方法称为概率分析法． 目前，还没有有效的方法对误差做出定量估计．为了确 保数值计算结果的正确，需要对数值计算问题做定性分析