第二节平面图形的面积直角坐标系情形极坐标系情形二、木三、小结思考题
一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题 第二节 平面图形的面积
高等数学一、直角坐标系情形（rectangularcoordinate system）y4Vy= f(x)y= f(x)yi= fi(x)bto1oxAxaxx+ Axba曲边梯形的面积曲边梯形的面积上页下页A= J"f(x)dxA= f'lf,(x) - fi(x)]dx返回
下页 返回 上页 x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx ( rectangular coordinate system )
高等数学例1计算由两条抛物线y2=x和y=x所围成的图形的面积。解「x=y2两曲线的交点(0,0) (1,1)y=x2选x为积分变量xE[0,1]面积元素dA=(Vx-x)dx上页2-3下页2-号A= f'(/x-x")dx=返回
下页 返回 上页 例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x [ 0 , 1 ] A ( x x )dx 2 10 = − 10 3 3 3 2 23 = − x x . 31 = 2 y = x 2 x = y
高等数学例2计算由曲线V=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积0y=x3-6x10解?两曲线的交点V=7.5y= x3 -6xy=x2+3-2-1=(0,0),(-2,4),(3,9).2.5-选x为积分变量 xE[-2,3]上页(1) xE[-2, 0], dA, =(x3 -6x-x°)dx下页返回(2) xE[0,3], dA, =(x2 -x3 +6x)dx
下页 返回 上页 例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
高等数学于是所求面积 A= A, +AA= J,(x3 -6x - x")dx + J'(x2 - x3 + 6x)dx25312说明：注意各积分区间上被积函数的形式上页问题：禾积分变量只能选x吗？下页返回
下页 返回 上页 于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
高等数学例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积解丙两曲线的交点=x-y? = 2xy=x-42=2x2 (2,-2), (8,4)选J为积分变量JE[-2,4]上页下页4dA = 18.dA=A=V+4dy返回电122
下页 返回 上页 例 3 计算由曲线y 2x 2 = 和直线y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4
高等数学x=(t)如果曲边梯形的曲边为参数方程y=y(t)曲边梯形的面积A=y(t)p'(t)dt.（其中t，和t,对应曲线起点与终点的参数值）在[tj,t,]（或[t,t,)上x=(t)具有连续导数,上页y=y(t)连续下页返回
下页 返回 上页 如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续
高等数学X例4求椭圆：1的面积+b22ax=acost解椭圆的参数方程y=bsint由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积A = 4f ydx =4[' bsintd(acost)上页下页sin' tdt = πab.= 4ab.0返回
下页 返回 上页 例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
高等数学二、极坐标系情形(polarcoordinates systems)0+de设由曲线r=β(①)及射线r=p(0)β=α、=β围成一曲边扇de形，求其面积．这里，β(の)在[α,β]上连续，且β(①)≥0.x00:=α面积元素dA=[()d上页A下页只 A= [",[g(0)de.返回曲边扇形的面积
下页 返回 上页 设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = 二、极坐标系情形 r = ( ) (polar coordinates systems)
高等数学例5求双纽线p2=a2cos20所围平面图形的面积解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积y=xVAA=4A=acos2042cos2Ad0=a?A=00上页2下页返回
下页 返回 上页 例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a y = x cos 2 2 2 = a A1