第三节体积旋转体的体积一平行截面面积为已知的立体的体积三、小结吉思考题
一、旋转体的体积 三、小结 思考题 二、平行截面面积为已知的 立体的体积 第三节 体 积
高等数学一、旋转体的体积(volume of body)旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴上页下页圆柱圆锥圆台返回
下页 返回 上页 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积(volume of body)
高等数学一般地，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)直线x=α、x=b及 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？yy= f(x)取积分变量为x，x e[a,b]0x在[a,b]上任取小区x+dxXba间[x,x+dx]取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄上页片的体积为体积元素，dV=πLf(x)}dx下页旋转体的体积为π[f(x)P dx返回
下页 返回 上页 一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
高等数学例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积解直线OP方程为上页取积分变量为x，xE[O,h]下页返回在[0,h]上任取小区间[x,x+dx]
下页 返回 上页 y 例 1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 rhP x hr y = 取积分变量为x ， x[0,h ] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为
高等数学以dx为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为ixdv=h圆锥体的体积元hr儿dr上页623下页返回
下页 返回 上页 以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o
高等数学222例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕轴旋转构成旋转体的体积22解 ：y3=a3-x3201a-x3=Tasxe[-a,a旋转体的体积上页2232下页3元a3-x3dx =元a返回105
下页 返回 上页 − a a o y x 例 2 求星形线 32 32 32 x + y = a (a 0)绕x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 32 32 32 y = a − x 3 32 32 2 y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx aa 3 32 32 = − − . 105 32 3 = a
高等数学类似地，如果旋转体是由连续曲线x=()、直线y=c、=d及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体V体积为V= ("元[0(y)]'dyx=p(y)上页2下页0x返回
下页 返回 上页 类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )] = d c V
高等数学例3，求摆线x=a(t-sint)， y=a(l-cost)的一拱与y=0所围成的图形分别绕x 轴、轴旋转构成旋转体的体积解绕x轴旋转的旋转体体积y(x)元y(x)dxVX=L2元aTuZTa(1 - cost)? .a(1 - cos t)dt=元上页10下页2元S(1-3cos t +3cos2 t - cos3 t)dt = 5元2a3返回=元a
下页 返回 上页 例 3 求摆线 x = a(t − sin t)， y = a(1 − cos t) 的一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 20 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 20 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a a 2a y(x)
高等数学绕√轴旋转的旋转体体积Bx=x2(y)2ax=x(y)A可看作平面图OABC与OBC22元ax分别绕v轴旋转构成旋转体的体积之差2"元x:(y)dt -J"元x(y)dtV, = fo""a'(t-sint)?.asintdt=元J2元上页-πf" a'(t - sint)? asin tdt下页2元返回M(t -sin t)" sin tdt = 6元a3=元a10
下页 返回 上页 绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a
高等数学补充如果旋转体是由连续曲线y=f(x)直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为V, = 2元[x / f(x) / dx利用这个公式，可知上例中2元V.=2元x/ f(x) / dxJ02元2元上页=a(t -sint) · a(1 -cost)d[a(t - sint))0下页2元=2元a3(t - sint)(1 - cos t)"dt = 6元3a3返回
下页 返回 上页 补充 如果旋转体是由连续曲线y = f ( x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( ) | = 利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( ) | 2 0 = = − − − 2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)] = − − 2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 = a