第九章二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程, 并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要 讨论含两个动态元件的线性二阶电路,重点是讨 论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机 程序分析高阶动态电路
第九章 二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程， 并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要 讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨 论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机 程序分析高阶动态电路
§9-1RLC串联电路的零输入响应 、RLC串联电路的微分方程 R 为了得到图9-所示RLC t u 串联电路的微分方程,先列出( C=u KⅥL方程 图9-1RLC串联二阶电路 R(t+ui(t)+uc(t=us(t) du i(t)=in(t=ic(t)=c dt du d uR(=ri(t)=rC. ui(t)=L dt digic at' dt
§9－1 RLC串联电路的零输入响应 一、RLC串联电路的微分方程 图9－1 RLC串联二阶电路 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S u t + u t + u t = u t 2 c 2 L c R c L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t u LC t i u t L t u u t Ri t RC t u i t i t i t C = = = = = = = 为了得到图9－1所示RLC 串联电路的微分方程，先列出 KVL方程
根据前述方程得到以下微分方程 Lc uu du dr2 +RC-C +u=us(t) (9-1) dt 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程 零输入响应方程为 du LC d2+hC业 +C=0(9-2) dt 其特征方程为 LC2+RCS+1=0(9-3) 其特征根为 R R 2L 2L) LC
根据前述方程得到以下微分方程 ( ) (9 1) d d d d C S C 2 C 2 + + u = u t − t u RC t u LC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 0 (9 2) d d d d C C 2 C 2 + + u = − t u RC t u LC 其特征方程为 1 0 (9 3) 2 LCs + RCs+ = − 其特征根为 (9 4) 1 2 2 2 1 2 − − = − L LC R L R s ， 零输入响应方程为
电路微分方程的特征根,称为电路的固有频率。当R, L,C的量值不同时,特征根可能出现以下三种情况 1.R>2时,s1,s,为不相等的实根。过阻尼情况。 VC 2.R=21时,S 1心2 为两个相等的实根。临界阻尼 情况。 3.R<2时,S VC 192 为共轭复数根。欠阻尼情况
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R， L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1. 时， 为不相等的实根。过阻尼情况。 C L R 2 1 2 s ,s 2. 时， 为两个相等的实根。临界阻尼 情况。 1 2 s ,s C L R = 2 3. 时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。 C L R 2 1 2 s ,s
二、过阻尼情况 当R 时,电路的固有频率1,2为两个不相同的 实数,齐次微分方程的解答具有下面的形式 (1)=K1e+K,e (9-5) 式中的两个常数K1,K2由初始条件i(和u。0)确定。 lc(0)=K1+k2(9-6) 对式(9-5求导,再令仁0得到 duc(t) (0) dt t=0 Ks, +Ks (9-7)
二、过阻尼情况 当 时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的 实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 C L R 2 ( ) e e (9 5) 1 2 C = 1 + 2 − s t s t u t K K 式中的两个常数K1，K2由初始条件iL (0)和uc (0) 确定。 (0) (9 6) uC = K1 + K2 − 对式(9－5)求导，再令t=0得到 (9 7) (0) d d ( ) L 0 1 1 2 2 C = = + = − C i K s K s t u t t
求解以上两个方程,可以得到 K (0) S1 S-s 由此得到电容电压的零输入响应,再利用KCL方程和 电容的CR可以得到电感电流的零输入响应
求解以上两个方程，可以得到 − − C i s u s s K C i s u s s K (0) (0) 1 (0) (0) 1 L 1 C 1 2 2 L 2 C 2 1 1 － ＝ － ＝ 由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和 电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应
例91电路如图9-1际示,已知R=3Q,L=0.5H,C=0.25F, u(0)=2Vi(0)=1A,求电容电压和电感电流的零输 入响应。 i320.5H 十WR-+l1 0. 25F=uc 图9-1RLC串联二阶电路 解:将R,L,C的量值代入式(9-4)计算出固有频率 RR 3± 8=-3±1 2L V2L LC
例9-1 电路如图9-1所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F, uC (0)=2V, iL (0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。 − − − = − − = − = = − 4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 2 2 1 2 L LC R L R s ， 解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率 图9－1 RLC串联二阶电路
将固有频率2和2=4代入式(9-5)得到 uc(t=Ke+K) (t≥0 利用电容电压的初始值uc(0)=2V和电感电流的初始值 i(0)=1A得到以下两个方程 lc(0)=K1+K2=2 K1=6 d=0=-2k1-4{.1(0) duc(t) 最后得到电容电压的零输入响应为 u()=(6e2-4e)v (t≥0)
将固有频率s1 =-2和s2 =-4代入式（9－5）得到 ( ) e e ( 0) 4 2 2 C = 1 + − − u t K K t t t 利用电容电压的初始值uC (0)=2V和电感电流的初始值 iL (0)=1A得到以下两个方程： 4 (0) 2 4 d d ( ) (0) 2 L 0 1 2 C C 1 2 = − − = = = + = = C i K K t u t u K K t K1=6 K2 =-4 ( ) (6e 4e )V ( 0) 2 4 C = − − − u t t t t 最后得到电容电压的零输入响应为
利用KCL和电容的CR方程得到电感电流的零输入响 应 i()=i()=c =(-3e-2+4e4)A (t≥0) dt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线,可以看出电 路各元件的能量交换过程。 uc/V iL/A (a)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应 ( 3e 4e )A ( 0) d d ( ) ( ) C 2 4 L = C = = − + − − t t u i t i t C t t 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程
Press [Enter Key to Continue 13〔t)=.000 ∈〔t)兴 6.00 .000)exp(-2.00 000 ∈〔t) 4.00 000)eexp〔-4.00j.000)t a()=(6e2-4e)()v 电容电压的零 t 输入响 应波 3g①05Hi② 十WR-+W1 0.25Fl lc(0)=2vi1(0)=1A
( ) ( 6 e 4 e ) ( ) V 2 4 C u t t t t = − − − 电容电压的零输入响应波形