第四章根轨迹法 41根轨迹法的基本概念 42绘制根轨迹的基本条件和规则 43特殊根轨迹 44用根轨迹法分析系统性能
第四章 根轨迹法 ◼ 4.1 根轨迹法的基本概念 ◼ 4.2绘制根轨迹的基本条件和规则 ◼ 4.3 特殊根轨迹 ◼ 4.4 用根轨迹法分析系统性能
41根轨迹法的基本概念 概述:闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极 点也就是特征方程式的根。当系统的某 一个或某些参量变化时,特征方程的根 在s平面上运动的轨迹称为根轨迹。 根轨迹法:直接由开环传递函数求取闭环 特征根的方法
4.1 根轨迹法的基本概念 概述: 闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关，系统的闭环极 点也就是特征方程式的根。当系统的某 一个或某些参量变化时，特征方程的根 在s平面上运动的轨迹称为根轨迹。 根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环 特征根的方法
例二阶系统 K R(S C(s) s(0.5+1) K1=2 K 2K K1=0 G(s K1=0 s(05+1)s(S+2)s(s+2) C(S) K1=2 R +2s+K △(S)=2+2s+k1=0→52=-1±l-k 0, 2K,=2时, =时,S=-1,S2=-1K1=∞时,s=-1+j0,s2=-1-j
例 二阶系统 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0.5 1 2 2 K K K G s s s s s s s = = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 C s K s R s s s K = = + + ( ) 2 1 1,2 1 = + + = = − − s s s K s K 2 0 1 1 1 1 2 1 1 2 0 0 2 1 1 1 K s s K s s = = = − = = − = − 时， ， 时， ， 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 K s j s j K s j s j = = − + = − − = = − + = − − 时， ， 时，
分析: 1.K1变化时,根轨迹均位于左半s平 K 面,系统恒稳定 2根轨迹有两条,起点S=0,S2=-2 K1=2 3.0<K1<1时,闭环特征根为不相等 K1=0|k1=1 的负实根,呈过阻尼状态 K1=0 1°°4.K1=1时,闭环特征根为一对重根, K1=2 为临界阻尼状态 5.K11时,闭环特征根为共轭复根, KI 为欠阻尼状态,响应为衰减振荡 6.开环增益K可由根轨迹上对应的K1值求得。 K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹
6. 开环增益K可由根轨迹上对应的 K1值求得。 K1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.. 分析: 1. K1变化时,根轨迹均位于左半s平 面,系统恒稳定. 1 2 2.根轨迹有两条, 起点 s s = = − 0, 2 3. 01时,闭环特征根为共轭复根, 为欠阻尼状态，响应为衰减振荡
42绘制根轨迹的基本条件和规则 421根轨迹方程: 描述闭环特征根随参数变化关系的闭环特征方程 设系统开环传递函数为 KI(-=) G(S)H(S=-N (s-p 其中k称为根轨迹增益 三/是开环零点;P是开环极点
4.2.1 根轨迹方程： 描述闭环特征根随参数变化关系的闭环特征方程 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m j j n i i K s z G s H s s p = = − = − 其中 K 称为根轨迹增益 设系统开环传递函数为 j z 是开环零点； pi 是开环极点。 4.2绘制根轨迹的基本条件和规则
系统的闭环传递函数为 C(s G(S) R(S)1+G(SH(S) →根轨迹方程(系统闭环特征方程)为 +G(S)H(s)=0→GH()=-1 KII(s-2) G(SH(S) =-1=1∠(2k+1)x ∏(s-p)
( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 ( ) m j j n i i K s z G s H s k s p = = − = = − = + − 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 + = = − G s H s G s H s 根轨迹方程（系统闭环特征方程）为 系统的闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s R s C s + =
幅值条件:G(s)H(s)=1 P G()H(s)=- K → IIls-pI x一2 相角条件:∠G(s)H(S=±(2k+1)π,k=0,12, ∑4(s-=)-∑4(-p)=奇数倍z j=1
1 1 | ( ) ( ) | 1 m j j n i i K s z G s H s s p = = − = = − 1 1 | | | | n i i m j j s p K s z = = − = − 1 1 ( ) ( ) m n j i j i s z s p = = − − − = 奇数倍 幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件:∠G(s)H(s)=±(2k+1)π, k=0,1,2,…
例单位反馈系统的开环传递函数为 K(S+4) G(S)= S(+2)(s+66) 在s平面上取点1=-15+5试检验它是否为根 轨迹上的点;如果是,则确定与它相对应的K1值 是多少。 解:开环极点为:p1=0,p2=2,p3=-66; 开环零点为:z1=-4, 在图上将这些零、极点及试验点s标注出来
例 单位反馈系统的开环传递函数为 ( 4) ( ) ( 2)( 6.6) K s G s s s s + = + + 在s平面上取点s1= -1.5+j2.5,试检验它是否为根 轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值 是多少。 解：开环极点为：p1=0, p2= -2, p3= -6.6; 开环零点为：z1= -4, 在图上将这些零、极点及试验点s1标注出来
Ja 120 26 45 79 根据相角条件检验S1是否是根轨迹上的点,即 由此可知s确实是根轨迹上的一点。 为了求得与s相对应的K值,可利用幅值条件 K s+p2|s+p2|!s+p2|2.9×2.6×5.8 12.15 S1+ 3.6
根据相角条件检验s1是否是根轨迹上的点，即 由此可知s确实是根轨迹上的一点。 为了求得与s相对应的K值，可利用幅值条件 1 1 1 2 1 3 1 1 2.9 2.6 5.8 12.15 3.6 s p s p s p K s z + + + = = = +
说明 1.开环零点乙极点p是决定闭环根轨迹的条件。 相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件,根 轨迹就是s平面上满足相角条件的点。 3.满足相角方程的闭环极点值,代入幅值方程式就 可以求出对应的值 4.任意特征方程D(s)=0均可处理成形式 1+G(s)H(s)=0 以其它参数为自变量作出的根轨迹称广义根轨迹
说 明 1．开环零点zi、极点pj是决定闭环根轨迹的条件。 2．相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，根 轨迹就是s平面上满足相角条件的点。 3. 满足相角方程的闭环极点值，代入幅值方程式就 可以求出对应的值 4．任意特征方程 均可处理成形式 以其它参数为自变量作出的根轨迹称广义根轨迹。 D s( ) 0 = 1 ( ) ( ) 0 + = G s H s