第一章矩阵与行列式 第一节矩阵及其运算 矩阵的概念 人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时,会获得许多重要的数据 资料,将这些数据排成一个矩形的数表 以便于进行储存、运算和分析,这种矩形的数表就是矩阵 定义1由mxn个数an(=12,…m,j=1,2,…,n)排成m行n列的矩形 数表 a2i a22 称为m行n列矩阵,简称为m×n矩阵,其中a称为矩阵的位于第i行、第j 列的元素.通常,我们用大写字母A,B,…表示矩阵.例如,记 A= 其中小括号“()”也可用方括号“[]代替有时,矩阵也简记为A=(an) 或A=(q)特别地,当m=n时,称A为n阶矩阵或n阶方阵,其中一阶方
第一章 矩阵与行列式 第一节 矩阵及其运算 一、矩阵的概念 人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据 资料, 将这些数据排成一个矩形的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵. 定义 1 由 m n 个数 a i m j n ij ( = = 1,2, , ; 1,2, , ) 排成 m 行 n 列的矩形 数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为 m 行 n 列矩阵, 简称为 m n 矩阵, 其中 ij a 称为矩阵的位于第 i 行、第 j 列的元素. 通常, 我们用大写字母 A B, , 表示矩阵. 例如, 记 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn a a a a a a A a a a = 其中小括号“ ( )”也可用方括号“ ”代替. 有时, 矩阵也简记为 ( ij)m n A a = 或 A a = ( ij). 特别地, 当 m n = 时, 称 A 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵, 其中一阶方
线性[代数 阵(q)是一个数,括号可略去 元素全为实数的矩阵称为实矩阵,元素全为复数的矩阵称为复矩阵.本 书主要在实数范围内讨论问题 对于由n个未知量、m个方程组成的线性方程组: aux+a2x2+.+ann=b, arx,+a2x2+.+a2,,=b, (1.1.1) 称矩阵 bb:b 为线性方程组(11.1)的增广矩阵;称矩阵 a1 为线性方程组(1.1.1)的系数矩阵;矩阵 b b2 B 称为线性方程组(1.1.1)的常数项矩阵 显然,线性方程组(1.1.1)由矩阵(.1.2)完全地确定 下面介绍一些特殊的矩阵 (1)零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为O (2)列矩阵、行矩阵在矩阵A中,如果n=1,则
2 线 性 代 数 阵 (a) 是一个数, 括号可略去. 元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本 书主要在实数范围内讨论问题. 对于由 n 个未知量、 m 个方程组成的线性方程组： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (1.1.1) 称矩阵 A 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b = (1.1.2) 为线性方程组 (1.1.1) 的增广矩阵；称矩阵 A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a (1.1.3) 为线性方程组 (1.1.1) 的系数矩阵；矩阵 1 2 m b b B b = (1.1.4) 称为线性方程组 (1.1.1) 的常数项矩阵. 显然, 线性方程组 (1.1.1) 由矩阵 (1.1.2) 完全地确定. 下面介绍一些特殊的矩阵. (1) 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记为 O . (2) 列矩阵、行矩阵 在矩阵 A 中, 如果 n = 1, 则
称这种只有一列的矩阵为列矩阵;同样,如果m=1,则 称这种只有一行的矩阵为行矩阵 我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量.列向量和行向量统 称为向量.向量的元素称为分量,有n个分量的向量称为n维向量矩阵与 量有密切的联系,矩阵A=(a)可以看成由n个m维列向量 组成,也可以看成由m个n维行向量(ana2…an),l=12,…m组成 (3)负矩阵如果矩阵A=(a),则-4=(-a)称为矩阵A的负矩阵 (4)行阶梯形矩阵如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中,其 下方元素全为零,则称此矩阵为行阶梯形矩阵.例如矩阵 02345 A B 00567 000-3 00018 00000 均为行阶梯形矩阵,而矩阵 02345 00567 00418 则不是行阶梯形矩阵 5)行最简形矩阵如果行阶梯形矩阵中,非零行的第一个非零元素均为 且其所在列的其余元素均为0,则称此矩阵为行最简形矩阵.例如,矩阵
3 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 11 21 m1 a a A a = , 称这种只有一列的矩阵为列矩阵；同样, 如果 m =1, 则 A a a a = ( 11 12 1n ) , 称这种只有一行的矩阵为行矩阵. 我们也将列矩阵和行矩阵分别称为列向量和行向量. 列向量和行向量统 称为向量. 向量的元素称为分量, 有 n 个分量的向量称为 n 维向量. 矩阵与 向量有密切的联系, 矩阵 ( ij)m n A a = 可以看成由 n 个 m 维列向量 1 2 , 1,2, , j j mj a a j n a = 组成, 也可以看成由 m 个 n 维行向量 ( 1 2 ), 1,2, , i i in a a a i m = 组成. (3) 负矩阵 如果矩阵 ( ij)m n A a = , 则 ( ij)m n A a − = − 称为矩阵 A 的负矩阵. (4) 行阶梯形矩阵 如果矩阵每一行的第一个非零元素所在的列中, 其 下方元素全为零, 则称此矩阵为行阶梯形矩阵. 例如矩阵 1 0 2 3 4 0 2 3 4 5 0 0 5 6 7 0 0 0 1 8 A = , 1 2 1 0 2 0 3 2 2 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 B − − − = − 均为行阶梯形矩阵, 而矩阵 1 0 2 3 2 0 2 3 4 5 0 0 5 6 7 0 0 4 1 8 C = 则不是行阶梯形矩阵. (5) 行最简形矩阵 如果行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元素均为 1, 且其所在列的其余元素均为 0, 则称此矩阵为行最简形矩阵. 例如, 矩阵
线性[代数 106 000 12 0010 0 是行最简形矩阵 (6)上(下)三角矩阵n阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对 角线,左下角到右上角元素的连线称为次副)对角线如果方阵的主对角线 下(上)方元素全为0,则称此矩阵为上(下)三角矩阵.矩阵 0 为上三角矩阵,矩阵 0 为下三角矩阵 7)对角矩阵如果方阵中除主对角线上的元素外,其余元素全为0,则 称此矩阵为对角矩阵.例如,矩阵 0 00:元 0 为对角矩阵 (8)单位矩阵在对角矩阵中,如果=1(=2…,n),即为 0 0 10:0 0 则称此矩阵为单位矩阵.单位矩阵一般用E或l表示
4 线 性 代 数 1 0 6 0 3 0 1 2 0 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 − 是行最简形矩阵. (6) 上(下)三角矩阵 n 阶方阵的左上角到右下角元素的连线称为主对 角线, 左下角到右上角元素的连线称为次(副)对角线. 如果方阵的主对角线 下(上)方元素全为 0, 则称此矩阵为上(下)三角矩阵. 矩阵 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 为上三角矩阵, 矩阵 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a 为下三角矩阵. (7) 对角矩阵 如果方阵中除主对角线上的元素外, 其余元素全为 0, 则 称此矩阵为对角矩阵. 例如, 矩阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n 为对角矩阵. (8) 单位矩阵 在对角矩阵中, 如果 i = 1 1, 2, , (i n), 即为 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 则称此矩阵为单位矩阵. 单位矩阵一般用 E 或 I 表示
定义2如果两个矩阵A=(a),B=(b)的行数相同、列数也相同,则 称矩阵A与B为同型矩阵 定义3如果两个同型矩阵An,Bn的对应元素均相等,即 =b(=12…,m=12…m),则称矩阵A与B相等,记作A=B
5 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 定义 2 如果两个矩阵 A a = ( ij), B b = ( ij) 的行数相同、列数也相同, 则 称矩阵 A 与 B 为同型矩阵. 定义 3 如果两个同型矩阵 A m n , B m n 的对应元素均相等, 即 a b i m j n ij ij = = = ( 1, 2, , ; 1, 2, , ), 则称矩阵 A 与 B 相等, 记作 A B =
线性[代数 二、矩阵的运算 1.矩阵的加法 定义4由两个同型矩阵Am=(a)=n,Bm=(b)对应元素的和 即a4+b(=12,…m,j=12,…,m)组成的mxn矩阵称为矩阵A与B的和 记作A+B,即 a1+b1a12+b12 a. +b A+B= a1+b +b2 由此定义及负矩阵的概念,我们定义矩阵A与B的差为 A-B=A+(-B) 注只有同型矩阵才能相加(减) 2.数与矩阵相乘(简称数乘) 定义5数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的 积,记作k4,即 ka 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算,其满足如下性质: (1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)(4)A=(4) (4)(2+)A=AA+uA (5)A(4+B)=A+B (6)A+O=A; 8)A+(-A) 上面的λ,4都是任意常数 例1设A= 1-23|求A+B和2A-3B
6 线 性 代 数 二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义 4 由两个同型矩阵 m n ij ( )m n A a = , m n ij ( )m n B b = 对应元素的和, 即 ij ij a b + (i m j n = = 1, 2, , ; 1, 2, , ) 组成的 m n 矩阵称为矩阵 A 与 B 的和, 记作 A B+ , 即 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b + + + + + + + = + + + . 由此定义及负矩阵的概念, 我们定义矩阵 A 与 B 的差为 A B A B − = + −( ). 注 只有同型矩阵才能相加(减). 2. 数与矩阵相乘(简称数乘) 定义 5 数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵称为数 k 与矩阵 A 的 积, 记作 kA , 即 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka = 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算, 其满足如下性质： (1) A B B A + = + ； (2) (A B C A B C + + = + + ) ( ) ； (3) ( ) A A = ( ) ； (4) ( + = + ) A A A ； (5) (A B A B + = + ) ； (6) A O A + = ； (7) 1A A = ； (8) A A O + − = ( ) . 上面的 , 都是任意常数. 例 1 设 1 1 2 0 3 4 A − = , 403 1 2 3 B − = − − , 求 A B+ 和 2 3 A B − . 解
A+B 1+02+(-3)(5 0+(-1)3+(-2)4+3 117 2-24)(120-9)(-10-213 2A-3B 3.矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法) n个变量x1,x2,…x与m个变量y1,y2…,yn之间的关系式 =a1x1+a12x2+…+anx y2=a211+a2X2+…+a2nxn, (1.1.5) Vm=amx,+,t,.+amnon 表示一个从变量x1x2,…,xn到变量y,y2…,yn的线性变换 设有两个线性变换 ∫=a1y+a1y2+a3y3 =a1y1+a2y2+a23y3 (1.16) 和 y2=b21x1+b2x2 b21x1+b32 若要求出从x,x2到=1,=2的线性变换,可将(1)代入(1.1.6),得 ∫=(ah1+a2b1+an41)x+(anh2+a12+4 (1.1.8) 二2=(a21b1+a2b21+a23b1)x1+(a21b2+a2b2+a2b2)x2 线性变换(.18)可看作是先作线性变换(1.1.7)、再作线性变换(1.1.6)的结果, 我们称线性变换(1.1.8)为线性变换(1.16)与(1.17)的乘积,相应地,我们 将线性变换(1.1.8)所对应的矩阵定义为(116)与(1.1.7所对应的矩阵的乘积 即 b1b12 b2 b,=a,+a,2b21+a, bsI a, bi2 +a2b2+a1b2 a21 a22 a a2,61+a22b2+a23b31 a2b +a,b2+a2 b3 般地,我们有:
7 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 1 4 1 0 2 ( 3) 5 1 1 0 ( 1) 3 ( 2) 4 3 1 1 7 A B + − + + − − − + = = + − + − + − ； 2 2 4 12 0 9 2 3 0 6 8 3 6 9 A B − − − = − − − 10 2 13 3 12 1 − − = − . 3. 矩阵与矩阵相乘(矩阵的乘法) n 个变量 1 2 , , , n x x x 与 m 个变量 1 2 , , , m y y y 之间的关系式 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + + + = + + + = + + + (1.1.5) 表示一个从变量 1 2 , , , n x x x 到变量 1 2 , , , m y y y 的线性变换. 设有两个线性变换 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 , . z a y a y a y z a y a y a y = + + = + + (1.1.6) 和 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , , . y b x b x y b x b x y b x b x = + = + = + (1.1.7) 若要求出从 1 2 x x , 到 1 2 z z , 的线性变换, 可将 (1.1.7) 代入 (1.1.6) , 得 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) . z a b a b a b x a b a b a b x z a b a b a b x a b a b a b x = + + + + + = + + + + + (1.1.8) 线性变换 (1.1.8) 可看作是先作线性变换 (1.1.7) 、再作线性变换 (1.1.6) 的结果, 我们称线性变换 (1.1.8) 为线性变换 (1.1.6) 与 (1.1.7) 的乘积, 相应地, 我们 将线性变换 (1.1.8) 所对应的矩阵定义为 (1.1.6) 与 (1.1.7) 所对应的矩阵的乘积, 即 11 12 11 12 13 21 22 21 22 23 31 32 b b a a a b b a a a b b 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 . a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + = + + + + 一般地, 我们有：
—[线性代数 定义6设有矩阵A=(a)和B=(b),规定矩阵A与B的乘积是一 个mxm矩阵C=(cn)n,记为C=AB.其中 aby, i=1,2, 注只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时,两个矩阵才能 相乘,且乘积矩阵C中的元素C就是A的第i行与B的第j列的对应元素乘 积的和 例2设 131,B=02 2 求 解 131102 01-2八(21 2×1+0×0+(-1)×22×0+0×2+(-1)×1 0×1+1×0+(-2)×20×0+1×2+(-2)×1 7 例3求矩阵 A 与B 的乘积AB及BA. 解 (1(1-(2
8 线 性 代 数 定义 6 设有矩阵 ( ij)m s A a = 和 ( ij)s n B b = , 规定矩阵 A 与 B 的乘积是一 个 m n 矩阵 ( ij)m n C c = , 记为 C AB = . 其中 1 1 2 2 1 , 1, 2, , ; 1, 2, , . ij i j i j is sj s ik kj k C a b a b a b a b i m j n = = + + + = = = 注 只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时, 两个矩阵才能 相乘, 且乘积矩阵 C 中的元素 Cij 就是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素乘 积的和. 例 2 设 2 0 1 1 3 1 0 1 2 A − = − − , 1 0 0 2 2 1 B = , 求 AB . 解 AB 2 0 1 1 0 1 3 1 0 2 0 1 2 2 1 − = − − 2 1 0 0 ( 1) 2 2 0 0 2 ( 1) 1 1 1 3 0 1 2 1 0 3 2 1 1 0 1 1 0 ( 2) 2 0 0 1 2 ( 2) 1 + + − + + − = − + + − + + + + − + + − 0 1 1 7 . 4 0 − = − 例 3 求矩阵 1 1 1 1 A − = − 与 1 1 1 1 B − − = 的乘积 AB 及 BA . 解 1 1 1 1 2 2 ; 1 1 1 1 2 2 AB − − − = = − − −
BA= 由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同 (1)矩阵乘法不满足交换律:AB与BA未必同时有意义(如例2,BA没 有意义):即使都有意义也未必相等(如例3).因此为明确起见,称AB为A左 乘B,或B右乘A.只有在一些特殊情况下才有AB=BA,这时称A与B是 乘法可交换的.容易验证数量矩阵aE与任何同阶方阵A乘法可交换,即 (ae)a=a(ae)=aA. (2)矩阵乘法不满足消去律:由AB=O不能得出A=O或B=O(如例3), 即A≠O,B≠O但AB有可能为O 有了矩阵相等和乘法的定义,我们可以把线性方程组(11.1)写成矩阵形 式:AX=B,其中 、xn be 若B=O,则称(1.1)为齐次线性方程组:若B≠O,则称(1.1.1)为非齐次线 性方程组.也可以把线性变换(1.1.5)写成矩阵形式:Y=AX,其中 V2 A与X同上所设 可以证明矩阵的乘法有下列性质: (1)(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC:(B+C)A=BA+CA (3)A(AB)=()B=A(AB),A为任意常数 定义7设A为n阶方阵,k为正整数,称k个A的连乘积为方阵A的k 次幂,记作A,即A=AA…A 当k,都为正整数时,由矩阵乘法的性质,得
9 第 一 章 矩 阵 与 行 列 式 1 1 1 1 0 0 . 1 1 1 1 0 0 BA − − − = = − 由以上例题可以看出矩阵乘法与数的乘法有两点显著不同： (1) 矩阵乘法不满足交换律： AB 与 BA 未必同时有意义(如例 2 , BA 没 有意义)；即使都有意义也未必相等(如例 3 ). 因此为明确起见, 称 AB 为 A 左 乘 B , 或 B 右乘 A . 只有在一些特殊情况下才有 AB BA = , 这时称 A 与 B 是 乘法可交换的. 容易验证数量矩阵 aE 与任何同阶方阵 A 乘法可交换, 即 (aE A A aE aA ) = = ( ) . (2) 矩阵乘法不满足消去律：由 AB O= 不能得出 A O= 或 B O= (如例 3), 即 A O B O , 但 AB 有可能为 O . 有了矩阵相等和乘法的定义, 我们可以把线性方程组 (1.1.1) 写成矩阵形 式： AX B = , 其中 A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a , 1 1 2 2 , . n m x b x b X B x b = = 若 B O= , 则称 (1.1.1) 为齐次线性方程组；若 B O , 则称 (1.1.1) 为非齐次线 性方程组. 也可以把线性变换 (1.1.5) 写成矩阵形式： Y AX = , 其中 1 2 , m y y Y y = A 与 X 同上所设. 可以证明矩阵的乘法有下列性质： (1) (AB C A BC ) = ( ) ； (2) A B C AB AC ( + = + ) ； (B C A BA CA + = + ) ； (3) ( ) ( ) ( ) AB A B A B = = , 为任意常数； (4) ( ) ( ). m m n m n m n n aE A aA A aE = = 定义 7 设 A 为 n 阶方阵, k 为正整数, 称 k 个 A 的连乘积为方阵 A 的 k 次幂, 记作 k A , 即 . k k A AA A = 当 kl, 都为正整数时, 由矩阵乘法的性质, 得
线性[代数 (1)AA=A+ )(4 注由于矩阵乘法不满足交换律,所以,一般地(AB)≠AB 例4设A-(1,求r(m为正整数 解 01八(01)(01 12/11 A 01八01)(01 一般地,有 n 其正确性可由数学归纳法证得,证明略 4.矩阵的转置 定义8把m×n矩阵A的行与列互换得到的一个nxm矩阵,称为A的 转置矩阵,记作A.例如,矩阵 的转置矩阵为 矩阵的转置也是一种运算,满足下述运算规律: (1)(4)=4 (2)(A+B)=A+B (3)(4A)=H,2为一个数:(4)(AB)=BA 例5已知
10 线 性 代 数 (1) k l k l A A A + = ； (2) ( ) l k kl A A = . 注 由于矩阵乘法不满足交换律, 所以, 一般地 ( ) k k k AB A B . 例 4 设 1 1 0 1 A = , 求 n A ( n 为正整数). 解 1 1 0 1 A = ； 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 A = = ； 3 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1 A = = ； 一般地, 有 1 0 1 n n A = . 其正确性可由数学归纳法证得, 证明略. 4. 矩阵的转置 定义 8 把 m n 矩阵 A 的行与列互换得到的一个 n m 矩阵, 称为 A 的 转置矩阵, 记作 T A . 例如, 矩阵 1 2 0 3 1 1 A = − 的转置矩阵为 1 3 2 1 . 0 1 T A = − 矩阵的转置也是一种运算, 满足下述运算规律： (1) ( ) T T A A = ； (2) ( ) T T T A B A B + = + ； (3) ( ) T T A A = , 为一个数； (4) ( ) T T T AB B A = . 例 5 已知