北东化二大学 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程(Constitutive Equation) (一)概述 1、本构方程的定义 描述物质应力与应变（或应变速率)之间关系的方程。 描述物质对所受力的力学响应的方程。 本构方程能反映流变过程中材料本身结构和所处状态的特征
描述物质应力与应变（或应变速率）之间关系的方程。 描述物质应力与应变（或应变速率）之间关系的方程。 描述物质对所受力的力学响应的方程。 描述物质对所受力的力学响应的方程。 本构方程能反映流变过程中材料本身结构和所处状态的特征 本构方程能反映流变过程中材料本身结构和所处状态的特征 四、本构方程（ 四、本构方程（Constitutive Equation Constitutive Equation ） （一）概述 1、本构方程的定义 、本构方程的定义 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 Beijing Uaiversity of Chemical Technology 四、本构方程(Constitutive Equation) (一)概述 2、本构方程的类型 (1)按材料的流变性质分类 粘性、粘弹性、对时间有依赖关系的流体 (2)按数学表达式分类 ■微分型(differential type) 把应力表示成运动量各阶导数的形式 ■积分型(integral type) 用整个形变历史的积分来表示应力 ■率型(rate type) 在微分方程中再包含应力的时间导数 形式上含有一个或多个应力和应变速率导数
（1）按材料的流变性质分类 粘性、粘弹性、对时间有依赖关系的流体 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程（Constitutive Equation Constitutive Equation） （一）概述 2、本构方程的类型 微分型（differential type differential type） 把应力表示成运动量各阶导数的形式 积分型（integral type integral type ） 用整个形变历史的积分来表示应力 率型（rate type rate type） 在微分方程中再包含应力的时间导数 形式上含有一个或多个应力和应变速率导数 （2）按数学表达式分类
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程(Constitutive Equation) 应力张量 T x [= T=
[ ] ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = τττ τττ τττ τ zzzyzx yzyyyx xzxyxx 应力张量 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程（ 四、本构方程（Constitutive Equation Constitutive Equation）
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 Beijing Uaiversity of Chemical Technology 四、本构方程(Constitutive Equation) 应变速率张量 2 av, Ov: Ox by Ox Oz Ox 向= ov+ : V 2 V+ v: 7 = Ox ay ay Oz ay 力四 In OV+ oV:+ , av: 力知 ax Oz a砂y Oz Oz
应变速率张量 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程（ 四、本构方程（Constitutive Equation Constitutive Equation） [ ] 2 2 2 xx x y z y y x y z zz z x y x yxzx x y y zy xz yz z VV V V V V VV V V VV V V V γ • ⎡ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎤ ⎢ + + ⎥ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = + ⎢ + ⎥ ⎢ ∂∂ ∂ ∂∂ ⎥ ⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ + + ⎢ ⎥ ∂∂∂∂ ∂ ⎣ ⎦ xx xy xz yx yy yz zx zy zz γ γ γ γ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
北京化2大学 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程(Constitutive Equation) (二) 牛顿流体的本构方程 1、应力张量的分解 001 Ta-t 0 t 8 0 + 0 0 tn T,一各向同性的应力张量； 一偏轴向应力张量； 上式中，：= Ts+in Ta t一剪切应力张量。 3
（二） 牛顿流体的本构方程 牛顿流体的本构方程 1、应力张量的分解 、应力张量的分解 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 四、本构方程（ 四、本构方程（Constitutive Equation Constitutive Equation） —各向同性的应力张量； II τ —偏轴向应力张量； III τ —剪切应力张量。 I τ
北幸化二大学 第四节：流变学的基础方程 Beijing Uaiversity of Chemical Technology 2、应变速率张量的分解 0 0 0 0 []= 0 0 0 0 0 0 10 Yu- 0 Y. Yn 0J1四 上式中，7=。++立。 3 [Y]:一为各向同性的应变速率张量 [Y]1—一为偏轴向应变速率张量 2 []a 为剪切应变速率张量
2、应变速率张量的分解 、应变速率张量的分解 1 2 ( ) 3 3 XX YY ZZ γ γ γγ = + + = ∇⋅ vK 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 (二)牛顿流体的本构方程 应变速率张量诸分量 在直角坐标系中，各应变速率的分量为： 7。=2 0,7。=2a : Ov: 驶 Ya=Y== D: 9张 82
应变速率张量诸分量 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 （二）牛顿流体的本构方程 （二）牛顿流体的本构方程
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 Beijing Uaiversity of Chemical Technology (二)牛顿流体的本构方程 3、应力与应变速率成正比 0 0 0 0 C 0 0 U2. [G]=nx[] 0 0 0
⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ ∝⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ γ γ γ τ τ τ 00 00 00 00 00 00 3、应力与应变速率成正比 、应力与应变速率成正比 [ ] [ ] I K I τ =η γ 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 （二）牛顿流体的本构方程 （二）牛顿流体的本构方程
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 (二) 牛顿流体的本构方程 3、应力与应变速率成正比 Lxx-T 0 0 0 0 E-t 0 0 Eeln =mlyln 0 0 Tu-T 0 Yx-Y 灯 0 [el =n,lylm 0
⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − − − ∝⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − − − γγ γγ γγ ττ ττ ττ zz yy xx zz yy xx 000 000 000 000 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ ∝⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ 0 0 0 0 0 0 zx zy yx yzxzxy zyzxyx yzxzxy γγ γ γγγ ττ τ τττ [ ] [ ] , II II γητ τ = [ ] [ ] III III γητ τ ,, = 3、应力与应变速率成正比 、应力与应变速率成正比 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 （二）牛顿流体的本构方程 （二）牛顿流体的本构方程
北京化二大学 第四节：流变学的基础方程 Beijing Uaiversity of Chemical Technology (二)牛顿流体的本构方程 [],=k[] (1) []n=:[]m—(2) []m=:[]m—(3) 式中k一 本体粘度系数 。—拉伸粘度系数 n”。一剪切粘度系数
[ ] [ ] [] [] [] [] I I K , II τ II ,, III τ III τ ηγ (1) τ ηγ (2) τ ηγ (3) —— —— —— = = = 第四节：流变学的基础方程 第四节：流变学的基础方程 （二）牛顿流体的本构方程 （二）牛顿流体的本构方程
