五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法 作用于i质点上的力有 mN o 惯性力1=m(x+2) 弹性恢复力S,=k1x1+k2x2+…knx 阻尼力R =C1x1+C;2X2+…C 运动方程 mx+∑cx+∑kx=-m这 m(+xg) S() R(口) m](3}+l]1x}+k1x}=mn]{F()
五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法 i 1,2,N 作用于i质点上的力有 m1 m2 mi mN xi xg(t) mi ( ) i i g m x x S (t) i R(t) i 惯性力 Ii mi (x i x g） 弹性恢复力 i i i in n S k x k x k x 1 1 2 2 阻尼力 i i i in n R c x c x c x 1 1 2 2 运动方程 i i g n j ij n j i i ij i m x c x k x m x 1 1 mx cx kx mIx (t) g
m]}+[lx)+1x)=-[m() 设{x(1)}=∑{x},D,(1) 代入运动方程,得 m∑{X},D、()+c∑{X,D,(1)+[k]∑{X,D,(t)=-[m12() 方程两端左乘{Xx xH[mk∑{x}D,(x)+{XHlk∑{X,D,()+ +{X[k∑{X,D,(t)=-{XH[mU少x2(r) x}[m]{x},D,(t)+{x[l{X},D,(t)+{xH[k{x},D,(t) -{xy[m]()x2(t)
设 N i i i x t X D t 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 1 1 1 m X D t c X D t k X D t m I x t g N i i i N i i i N i i i ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) 1 1 1 X k X D t X m I x t X m X D t X c X D t g T j N i i i T j N i i i T j N i i i T j ( ) ( ) ( ) ( ) X m I x t X m X D t X c X D t X k X D t g T j j j T j j j T j j j T j 代入运动方程，得 方程两端左乘 T X j mx cx kx mIx (t) g
x}[mkx},D,()+{x[elX),D(1)+{x[kx},D,(t) X}[m](}x2(r) MD,(r)+C;D+KD,()=-{X}[m](}x2(t) M={XH[m]{x}-振型广义质量 K={XHx}-振型广义刚度 C={xH[c]{x}-j振型广义阻尼系数 LxLMK1 D,+D,() M K M,C;=25,O,M D,(t)+25,O,D,+2D,(t) X[M{} x,(1) LxMKY
( ) ( ) ( ) * * * M D t C D K D t X m I x t g T j j j j j j j * 2 * K j j M j * * 2 C j j j M j ( ) 2 ( ) ( ) 2 x t X M X X M I D t D D t g j T j T j j j j j j j ( ) ( ) ( ) ( ) X m I x t X m X D t X c X D t X k X D t g T j j j T j j j T j j j T j j T M j X j m X * ---j振型广义质量 ---j振型广义阻尼系数 j T K j X j k X * j T C j X j c X * ---j振型广义刚度 ( ) ( ) ( ) * * * * * x t M X M I D t M K D M C D t g j T j j j j j j j j
D,()+250,D+o2D,() (r[Miri s(t) XM ∑ m;1 LXMKY 振型的振型参与系数 D,()+2501D1+O2D,(1)=-y,x2() x(t)}=∑{x,D,(t) x(t)=∑xD,()
( ) 2 ( ) ( ) 2 x t X M X X M I D t D D t g j T j T j j j j j j j n i i ji n i i ji j T j T j j m x m x X M X X M I 1 2 1 ---j振型的振型参与系数 ( ) 2 ( ) ( ) 2 D t D D t x t j j j j j j j g N i i i x t X D t 1 ( ) ( ) N j i ji j x t x D t 1 ( ) ( )
D1(t)+250,D1+OD,(t)=-yxg(t) xt 对于单自由度体系 x+25ax+ox=x(t) ()e So(t-T) sin od (t-t)dr 对于j振型折算体系(右图) o, Jo g(t)e s,o,( gino, (t-r)dt D()=-y Joi(r)e rd sin@, (t-t)dr (t) ri
( ) 2 ( ) ( ) 2 D t D D t x t j j j j j j j g x(t) x (t) g m 2 ( ) 2 x x x x t g t t x t x e t 0 d ( ) g d ( ) sin ( )d 1 ( ) t j t j D t x e t j j 0 j ( ) g j ( ) ( ) sin ( )d (t) j j t t j t x e t j j 0 j ( ) g j ( ) sin ( )d 1 ( ) (t) j x (t) g * Mj j j 对于单自由度体系 对于j振型折算体系（右图） j 1,2,N
i质点相对于基础的位移与加速度为 D,( ∑xny△(1) x(1)=∑xny△,() ∑y,xx2(t)= i质点t时刻的水平地震作用为 F1(t)=m1[x1(t)+x8(t) x2(1)∑y,x1=x2(t) m∑[xy1△,(t)+y1x2(t) F(t) F(t=mkr,A (t)+xiri(ol t时刻第j振型i质点的水平地震作用
i质点相对于基础的位移与加速度为 N j ji j j x t 1 ( ) N j i ji j j x t x t 1 ( ) ( ) i质点t时刻的水平地震作用为 F (t) m [ x (t) x (t)] i i i g [ ( ) ( )] 1 m x t x x t j ji g N j i ji j j ( ) ( ) ( ) 1 1 x t x x t x x t j ji g n j g j ji g n j N j ji F t 1 ( ) N j i ji j x t x D t 1 ( ) ( ) F (t) m [ x (t) x x (t)] ji i ji j j ji j g ---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fi(t)=mIxin,A (t)+xir i(t) t时刻第j振型i质点的水平地震作用 F=F, (O=m xr,A (t)+x(l 一一体系j振型质点水平地震作用标准值 对于单自由度体系 F=F()==m()+x(O) Fi=axil g —体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
max max F F (t) m x (t) x (t) ji ji i ji j j g ---体系j振型i质点水平地震作用标准值 ji j ji jG j F x ---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 F (t) m [ x (t) x x (t)] ji i ji j j ji j g ---t时刻第j振型i质点的水平地震作用 F F t m x t xg t G max max ( ) ( ) ( ) 对于单自由度体系
F=a xyG 一一体系j振型质点水平地震作用标准值计算公式 相应于j振型自振周期的地震影响系数; x-振型i质点的水平相对位移; 般只取2-3个振型, y,-j振型的振型参与系数; 当基本自振周期大于15s 或房屋高宽比大于5时, i质点的重力荷载代表值 振型个数可适当增加。 地震作用效应 (弯矩、位移等) F m○ m--选取振型数 振型地震作用 1振型地震2振型j振型n振型 作用标准值 生的地震效应;
j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数； ji x --- j振型i质点的水平相对位移； j --- j振型的振型参与系数； Gi --- i质点的重力荷载代表值。 m1 m2 mi F11 F12 F1i F1n F21 F22 F2i F2n Fj1 Fj 2 Fji Fjn Fn1 Fn2 Fni Fnn 1振型地震 作用标准值 2振型 j振型 n振型 地震作用效应 （弯矩、位移等） m j SEK S j 1 2 S j --j振型地震作用 产生的地震效应； m --选取振型数 ji j ji jG j F x ---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 一般只取2-3个振型， 当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时， 振型个数可适当增加
例:试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组。 解:(1)求体系的自振周期和振型 180t K,=98MN/m 0.334 0.667 4.019 {x={067{x2=1-0668{x=1-3035 m2=270k,=195MNm 1.000 1.000 1.000 m1=2701K1=245MN/m =0.467s72=0.208s73=0.134s (2)计算各振型的地震影响系数地震影响系数最大值(阻尼比为0.05) 查表得am=0.16 地震影响 烈度 8 0.4s 多遇地震0.040.08(0.12)0.16(0.24)0.32 竿遇地震 0.50(0.72)0.901.20)|140 地震特征周期分组的特征周期值(s) 场地类别工 Ⅲ 第一组025 0.35 0.45 0.65 第二组0.30 0.40 0.5 0.75 第三组0.35 0.45 0.65 0.90
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 m 270t 1 m 270t 2 m 180t 3 K1 245MN/m K2 195MN/m K3 98MN/m 解：（1）求体系的自振周期和振型 1.000 0.667 0.334 X 1 1.000 0.666 0.667 X 2 1.000 3.035 4.019 X 3 0.467 s T1 0.208 s T2 0.134 s T3 （2）计算各振型的地震影响系数 罕遇地震 ----- 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40 多遇地震 0.04 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 6 7 8 9 地震影响 烈度 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05） 查表得 max 0.16 地震特征周期分组的特征周期值（s） 第三组 0.35 0.45 0.65 0.90 第二组 0.30 0.40 0.55 0.75 第一组 0.25 0.35 0.45 0.65 场地类别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 0.4s Tg
例:试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组。 解:(1)求体系的自振周期和振型 180t K,=98MN/m 0.334 0.667 4.019 {x={067{x2=1-0668{x=1-3035 m2=270k,=195MNm 1.000 1.000 1.000 m1=2701K1=245MN/m =0.467s72=0.208s73=0.134s (2)计算各振型的地震影响系数 查表得am=0.16 haman 0.4s 第一振型T8<71<57g 04 772C 0.139 02-n(-5)kxn 第二振型0.1s<72<Tg 7(3) 001 60 72 0.16 0.05 0.05 第三振型0.1s<73<Tg 0.9 a3=12max=0.16 0.5+55 72 0.06+1.75
T(s) 0 0.1 Tg Tg 5 6.0 2max max 0.45 2 max ( ) T Tg 2 1 max [ 0.2 ( 5 )] T Tg 例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 m 270t 1 m 270t 2 m 180t 3 K1 245MN/m K2 195MN/m K3 98MN/m 解：（1）求体系的自振周期和振型 1.000 0.667 0.334 X 1 1.000 0.666 0.667 X 2 1.000 3.035 4.019 X 3 0.467 s T1 0.208 s T2 0.134 s T3 （2）计算各振型的地震影响系数 查表得 max 0.16 0.4s Tg 第一振型 Tg T1 5Tg 1 2 max ( ) T Tg 0.139 第二振型 T2 Tg 0.1s 2 2 max 0.16 第三振型 T3 Tg 0.1s 3 2 max 0.16 0.5 5 0.05 0.9 0.06 1.7 0.05 2 1