第一章 矩阵代数 1.1分块矩阵 1.2广义逆 1.3拉直运算和Kronecker积 1.4矩阵的微商 1
1 第一章 矩阵代数 1.1 分块矩阵 1.2 广义逆 1.3 拉直运算和Kronecker 积 1.4 矩阵的微商
§1.1分块矩阵 定义1.1.1 若A=(a为p×g阶矩阵，分成四块，使得 Au: k×l,A2:k×(q-I), A1:(p-k)×L,A2:(D-k)×(q-I)月 A12 称为矩阵A的分块表示形式. A 2
2 §1.1 分块矩阵 ( ) ( ) ( ) ( )( ) . : , : : , : , 21 22 11 12 21 22 11 12 则 称为矩阵 的分块表示形式 ， 若 为 阶矩阵，分成四块，使 得 A A A A A A A p k l A p k q l A k l A k q l A aij p q ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − × − × − × × − = × 定义1.1.1
性质1 若A和B有相同的分块，则 A11+B11A12+B12 A+B= A21+B21A22+B22 3
3 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + + + + + = 21 21 22 22 11 11 12 12 A B A B A B A B A B 若A和B有相同的分块，则 性质1
性质2 若C为q×矩阵，它分为C= ,其中 Cu:l×m,C12:l×(r-m),C21:(q-)×m, C22:(q-)×(r-m),则 e-e:) （AC1+AC21 AC12+A2C22 、A21C11+A2C21 A21C12+A2C22 4
4 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + + + + = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = − × − × × − − × ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ × = 21 11 22 21 21 12 22 22 11 11 12 21 11 12 12 22 21 22 11 12 21 22 11 12 22 11 12 21 21 22 11 12 : ( ) ( ), : , : ( ), :( ) , , A C A C A C A C A C A C A C A C C C C C A A A A AC C q l r m C l m C l r m C q l m C C C C C q r C 则 若 为 矩阵 它分为 ，其中 性质2
性质3 若A为方阵，A,也为方阵， (①)若A≠0，则A=AA21 其中A221=A22-A21AA12 (2)若42≠0，则A=412A22 其中A1:2=A11-A12A2A2I 5
5 21 1 11 2 11 12 22 22 11 2 22 12 1 22 1 22 21 11 11 11 22 1 11 (2) 0 (1) 0 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ≠ = = − ≠ = 其中 若 ，则 其中 若 ，则 若 为方阵， 也为方阵， 性质3
证明：（山）A≠0，利用 ') （A 0 (1.1) 0 A221 两边同时取行列式即可. 6
6 (1.1) 0 0 0 0 : (1) 0 22 1 11 12 1 11 21 22 11 12 1 21 11 11 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ≠ ⋅ − − A A I I A A A A A A A A I I 证明 A ，利用 两边同时取行列式即可
(2)A2≠0，利用 ,X, I 0 .0 I A112 0 (1.2) .0 A22 两边同时取行列式即可. 7
7 (1.2) 0 0 0 0 (2) 0 22 11 2 21 1 21 22 22 11 12 1 12 22 22 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ≠ ⋅ − − A A A A I I A A A A I I A A A ，利用 两边同时取行列式即可
性质4 若A为可逆方阵，A,和A2均为方阵 (1)若A≠0，则 -A+AA4,A4-A44 -4z44n A (2)若A2≠0，则 A1= A12 -A2A2A站 气-A分A1A2A分+A2A1A品2A2A分 8
8 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − + − = ≠ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − + − = ≠ − − ⋅ − − − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − − − 1 12 22 1 21 11 2 1 22 1 22 1 21 11 2 1 22 1 12 22 1 11 2 1 11 2 1 22 1 22 1 1 21 11 1 22 1 1 12 22 1 1 11 1 21 11 1 12 22 1 1 11 1 11 1 11 11 22 (2) 0 (1) 0 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 若 ，则 若 ，则 若 为可逆方阵， 和 均为方阵 性质4
性质4（续） (③)若A≠0，A2≠0，则 42 -A量A2A2, A-1= -A2A21A2A2 9
9 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − − = ≠ ≠ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − 1 22 1 1 21 11 2 1 22 1 12 22 1 1 11 1 11 2 1 11 22 (3) 0 0 A A A A A A A A A 若 A ，A ，则 性质4（续）
证明：(1)对(1.1)式两边求逆 日a肥e- A A （A -北，*4发 Au+Au An4z4a4u AzAAu A 10
10 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⇒ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − − − − ⋅ − − − − ⋅ − − − − − − 1 22 1 1 21 11 1 22 1 1 12 22 1 1 11 1 21 11 1 12 22 1 1 11 1 11 1 21 11 1 22 1 1 12 11 1 11 1 21 22 11 12 1 22 1 1 11 1 1 21 11 1 21 22 11 12 1 12 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A I I A A I I A A A A A A A A A A I I A A A A I I A A 证明: (1)对(1.1)式两边求逆