第12卷第4期 智能系统学报 Vol.12 No.4 2017年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2017 D0I:10.11992/is.201610011 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20170407.1758.018.html 异质边多重图网络模型研究 王娜娜，高红2，刘巍12 (1.大连海事大学交通运输管理学院，辽宁大连116026：2.大连海事大学数学系，辽宁大连116026) 摘要：在物流网络中，为实现物流节点之间的异质边的统一性度量，运用可拓学中的基元理论构建了一种基于物 元特征的异质边多重完全图网络模型，该网络模型适用于物流中心和物流配送中心共同具有的功能，其功能有运输 功能、储存功能、包装功能、流通加工功能、信息处理功能，功能特征之间是异质，每一个功能特征决定了两物流节点 间相连接的一条边。在每个功能特征建立一个关联函数，关联函数值作为边权，实现了物流网络的统一性度量，同 时也为物流网络优化提供便利。 关键词：复杂网络：多重边：多重图网络；异质边：可拓学：物元；二维可拓距：二维位值 中图分类号：TP182文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)04-0475-07 中文引用格式：王娜娜，高红，刘巍.异质边多重图网络模型研究[J].智能系统学报，2017,12(4)：475-481. 英文引用格式：WANG Nana,GAO Hong,LIU Wei.Research on a heterogeneous edge multi-graph network model[J].CAAI transactions on intelligent Systems,2017,12(4):475-481. Research on a heterogeneous edge multi-graph network model WANG Nana',GAO Hong?,LIU Wei.2 (1.College of Transportation Management,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China;2.Department of Mathematics,Dalian Maritime University,Dalian 116026,China) Abstract:In a logistics network,in order to achieve unity of the logistics node between heterogeneous edge measurements,we use the primitive Extenics theory to build a type of heterogeneity and multiple complete graph network models based on matter-element characteristics.This network model is suitable for the common functions of the logistics center and the logistics distribution center.Its functions include transportation,storage,packaging, circulation processing,and information processing.There is heterogeneity among the characteristics of these functions.The characteristics of every function exhibit one connected edge between two logistics nodes.We established a connection function for each function characteristic and the function value was used as the right edge. This achieved unity in the logistics network measurements and is appropriate for logistics network optimization. Keywords:complex network;multi-links;multi-graph network;heterogeneous edge;extenics;matter-element; two-dimensional extension distance;two-dimensional place value 复杂网络的研究在复杂系统中有重要的应 方面有着更为复杂的形态，从而需要更合适的模型 用-]。在复杂网络中，物流多重图网络的突出特 表达方式和更实用的解决方案。 点是节点间可以有多种运输方式可以选择，可以选 马啸来[建立了同一位置有多个物流节点和 择铁路运输、公路运输、航空运输等。 物流路径可供选择的、以多重图作为拓扑形式的物 在应用图论工具研究复杂网络时，通常是针对 流链选择决策模型，并讨论了将其转化为简单图的 无多重边的网络研究，但是多重边复杂网络比通常 求解算法。高洋等5)根据网络中边的不同性质提 的单边复杂网络在拓扑结构、节点动态特性等性质 出了网络拆分的思想，通过引入时滞进行拆分，从 而建立了多重边复杂网络的动力学模型：安新磊 收稿日期：2016-10-14.网络出版日期：2017-04-07 等[6]在通常公交网络模型的基础上，建立了一种新 基金项目：辽宁省自然科学基金项目(2015020033). 通信作者：刘巍.E-mail:liuwei09@aliyun.com. 的多重边公交线路网络模型；Acosta--Mendoza等t)
第 １２ 卷第 ４ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１２ №．４ ２０１７ 年 ８ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｕｇ． ２０１７ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１６１００１１ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ｔｐ．２０１７０４０７．１７５８．０１８．ｈｔｍｌ 异质边多重图网络模型研究 王娜娜１ ，高红２ ，刘巍１，２ （１． 大连海事大学 交通运输管理学院，辽宁 大连 １１６０２６； ２． 大连海事大学 数学系，辽宁 大连 １１６０２６） 摘 要：在物流网络中，为实现物流节点之间的异质边的统一性度量，运用可拓学中的基元理论构建了一种基于物 元特征的异质边多重完全图网络模型，该网络模型适用于物流中心和物流配送中心共同具有的功能，其功能有运输 功能、储存功能、包装功能、流通加工功能、信息处理功能，功能特征之间是异质，每一个功能特征决定了两物流节点 间相连接的一条边。 在每个功能特征建立一个关联函数，关联函数值作为边权，实现了物流网络的统一性度量，同 时也为物流网络优化提供便利。 关键词：复杂网络；多重边；多重图网络；异质边；可拓学；物元；二维可拓距；二维位值 中图分类号：ＴＰ１８２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１７）０４－０４７５－０７ 中文引用格式：王娜娜，高红，刘巍．异质边多重图网络模型研究［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１７， １２（４）： ４７５－４８１． 英文引用格式：ＷＡＮＧ Ｎａｎａ，ＧＡＯ Ｈｏｎｇ， ＬＩＵ Ｗｅｉ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ａ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｄｇｅ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｐｈ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌ ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１７， １２（４）： ４７５－４８１． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ａ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｄｇｅ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｐｈ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌ ＷＡＮＧ Ｎａｎａ １ ， ＧＡＯ Ｈｏｎｇ ２ ， ＬＩＵ Ｗｅｉ １，２ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ， Ｄａｌｉａｎ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｄａｌｉａｎ １１６０２６， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， Ｄａｌｉａｎ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｄａｌｉａｎ １１６０２６， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ａ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｅｔｗｏｒｋ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｕｎｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｏｄｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｄｇｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ， ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ Ｅｘｔｅｎｉｃｓ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｂｕｉｌｄ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｇｒａｐｈ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｔｅｒ⁃ｅｌｅｍｅｎｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ． Ｔｈｉｓ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｍｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｃｅｎｔｅｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃｅｎｔｅｒ． Ｉｔｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ， ｓｔｏｒａｇｅ， ｐａｃｋａｇｉｎｇ， ｃｉｒｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ａｎｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｅｖｅｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｘｈｉｂｉｔ ｏｎｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｅｄｇｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｏｄｅｓ． Ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ａ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｗａｓ ｕｓｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｅｄｇｅ． Ｔｈｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｕｎｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｉｓ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｆｏｒ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｅｔｗｏｒｋ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ； ｍｕｌｔｉ⁃ｌｉｎｋｓ； ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｐｈ ｎｅｔｗｏｒｋ； ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｄｇｅ； ｅｘｔｅｎｉｃｓ； ｍａｔｔｅｒ⁃ｅｌｅｍｅｎｔ； ｔｗｏ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｄｉｓｔａｎｃｅ； ｔｗｏ⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｌａｃｅ ｖａｌｕｅ 收稿日期：２０１６－１０－１４． 网络出版日期：２０１７－０４－０７． 基金项目：辽宁省自然科学基金项目（２０１５０２００３３）． 通信作者：刘巍． Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｌｉｕｗｅｉ０９＠ ａｌｉｙｕｎ．ｃｏｍ． 复杂网络的研究在复杂系统中有重要的应 用［１－３］ 。 在复杂网络中，物流多重图网络的突出特 点是节点间可以有多种运输方式可以选择，可以选 择铁路运输、公路运输、航空运输等。 在应用图论工具研究复杂网络时，通常是针对 无多重边的网络研究，但是多重边复杂网络比通常 的单边复杂网络在拓扑结构、节点动态特性等性质 方面有着更为复杂的形态，从而需要更合适的模型 表达方式和更实用的解决方案。 马啸来［４］建立了同一位置有多个物流节点和 物流路径可供选择的、以多重图作为拓扑形式的物 流链选择决策模型，并讨论了将其转化为简单图的 求解算法。 高洋等［５］ 根据网络中边的不同性质提 出了网络拆分的思想， 通过引入时滞进行拆分， 从 而建立了多重边复杂网络的动力学模型；安新磊 等［６］在通常公交网络模型的基础上，建立了一种新 的多重边公交线路网络模型；Ａｃｏｓｔａ⁃Ｍｅｎｄｏｚａ 等［７］
·476 智能系统学报 第12卷 提出一种用于多重图集合中的近似模式挖掘的新 个实数w(e),称(e)为该边的权，并称图G为多重 算法：Su劉提出在一般多重图中特征值边缘连通 图网络。 性的新方法；Haxella9]提出没有小密集子集的边缘 定义5如果多重图G的任何两个不同的顶点 着色多重图，给出多重图色度指数的推论结果； 之间都有r重边，则称G为r-多重完全图。图2表 Yango]提出通过多重图排名的鲁棒视觉跟踪原创 示3-多重图的示意图。 研究文章来探讨图的排名和多个组合方法： 铁路物流 …公路物流--…航空物流 Chakareskit给出多重图分析选择顶点的方法：文 献[12]针对SF和ER网络，研究了随机攻击条件下 层级网络间的依存强度对系统的作用效果： Stippinger1]提出交织型层级复杂网络，它是用于描 述子网络交织关系的密切程度。 本文依托物流网络的应用背景，试图引入可拓 学的基元理论4-1s],构建一种多重图网络的新模 图2复杂物流网络示意图 型，这种新型多重图网络模型的特点是其重边具有 Fig.2 Complex logistics network 异质性，并且依据可拓论的思想能够进一步研究这 在经典的多重图网络研究中，一般是将多重边 种网络模型的优化问题。 看成是同一性质的连接，每一边e上权w(e)也都是 一致的可公度的度量，即要么都是费用，要么都是 1基本概念 距离。但是在复杂的物流网络以及更为复杂的社 经典图论中关于图是这样定义的。 会网络中，多重边的性质往往是不一致的，或者说 定义1一个有序二元组(V,E)称为一个图， 是异质性的。那么怎么样标度多重图中边的异质 记为G=(V,E),其中V称为G的顶点集，V≠⑦，其 性，怎样研究这种复杂网络的性质，怎样实现这种 元素称为顶点或结点，一般可记为V= 复杂网络的优化，带着这些问题，我们引入可拓学 {1,2,…,"m};E称为G的边集，一般可记为E= 中的基元概念及其可拓性，将其应用到具有异质边 {e1,e2,…,en},其元素称为边，它联结V中的两个 的多重图网络模型的构建。 点，如果这两个点是无序的，则称该边为无向边，相 可拓学是研究解决矛盾问题的规律和方法的 应G称为无向图：否则，称为有向边，相应G称为有 学科，可拓学理论的逻辑细胞是基元[)，基元包括 向图。 物元、事元、关系元。 定义2在图G=(V,E)中，如果允许有多重 定义6以物On为对象，n个特征Cm1,C2, 边，也就是有至少二个边的二个顶点完全相同，至 …,Cm及0n关于Cm(i=1,2,…,n)对应的量值Vm 少有二个顶点可以由二个边相连接，则称G为多重 (i=1,2,…,n)所构成的n维阵列： 图。图1表示了一个一般性的多重图的示意图。 [0a,0nr,0l M= cm2', =(O,C,V) Cma' 称为n维物元)，其中 Cml C= V.= 定义7设A。是平面上的一个凸区域，T。是 图1多重图示意图 Fig.1 Multigraph A。的边界，P(x1,x2)为平面上的一点，则点 定义3若将图G的每一条边e都对应一个实 P(x1,x2)与区域A。的二维可拓距16-1规定为 数w(e),称w(e)为该边的权，并称图G为赋权图 infp(P,Ao),P年Ao Pe0 (网络)，记为G=(V,E,w)。 p(P,Ao)= infp(P,Ao),P∈Ao 定义4在多重图G中的每一条边e都对应一 PIEIO
提出一种用于多重图集合中的近似模式挖掘的新 算法；Ｓｕｉｌ ［８］提出在一般多重图中特征值边缘连通 性的新方法；Ｈａｘｅｌｌａ ［９］提出没有小密集子集的边缘 着色多重图， 给出多重图色度指数的推论结果； Ｙａｎｇ ［１０］提出通过多重图排名的鲁棒视觉跟踪原创 研究 文 章 来 探 讨 图 的 排 名 和 多 个 组 合 方 法； Ｃｈａｋａｒｅｓｋｉ ［１１］给出多重图分析选择顶点的方法；文 献［１２］针对 ＳＦ 和 ＥＲ 网络，研究了随机攻击条件下 层级 网 络 间 的 依 存 强 度 对 系 统 的 作 用 效 果； Ｓｔｉｐｐｉｎｇｅｒ ［１３］提出交织型层级复杂网络，它是用于描 述子网络交织关系的密切程度。 本文依托物流网络的应用背景，试图引入可拓 学的基元理论［１４－１５］ ，构建一种多重图网络的新模 型，这种新型多重图网络模型的特点是其重边具有 异质性，并且依据可拓论的思想能够进一步研究这 种网络模型的优化问题。 １ 基本概念 经典图论中关于图是这样定义的。 定义 １ 一个有序二元组 (Ｖ，Ｅ) 称为一个图， 记为 Ｇ ＝ (Ｖ，Ｅ) ，其中 Ｖ 称为 Ｇ 的顶点集，Ｖ≠∅，其 元 素 称 为 顶 点 或 结 点， 一 般 可 记 为 Ｖ ＝ ｖ１ ，ｖ２ ，…，ｖｍ { } ；Ｅ 称为 Ｇ 的边集，一般可记为 Ｅ ＝ ｅ１ ，ｅ２ ，…，ｅｎ { } ，其元素称为边，它联结 Ｖ 中的两个 点，如果这两个点是无序的，则称该边为无向边， 相 应 Ｇ 称为无向图；否则， 称为有向边，相应 Ｇ 称为有 向图。 定义 ２ 在图 Ｇ ＝ (Ｖ，Ｅ) 中，如果允许有多重 边，也就是有至少二个边的二个顶点完全相同，至 少有二个顶点可以由二个边相连接，则称 Ｇ 为多重 图。 图 １ 表示了一个一般性的多重图的示意图。 图 １ 多重图示意图 Ｆｉｇ．１ Ｍｕｌｔｉｇｒａｐｈ 定义 ３ 若将图 Ｇ 的每一条边 ｅ 都对应一个实 数 ｗ(ｅ) ，称 ｗ (ｅ) 为该边的权，并称图 Ｇ 为赋权图 （网络），记为 Ｇ ＝ (Ｖ，Ｅ，ｗ) 。 定义 ４ 在多重图 Ｇ 中的每一条边 ｅ 都对应一 个实数 ｗ(ｅ) ，称 ｗ(ｅ) 为该边的权，并称图 Ｇ 为多重 图网络。 定义 ５ 如果多重图 Ｇ 的任何两个不同的顶点 之间都有 ｒ 重边，则称 Ｇ 为 ｒ－多重完全图。 图 ２ 表 示 ３－多重图的示意图。 图 ２ 复杂物流网络示意图 Ｆｉｇ．２ Ｃｏｍｐｌｅｘ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｅｔｗｏｒｋ 在经典的多重图网络研究中，一般是将多重边 看成是同一性质的连接，每一边 ｅ 上权 ｗ(ｅ) 也都是 一致的可公度的度量，即要么都是费用，要么都是 距离。 但是在复杂的物流网络以及更为复杂的社 会网络中，多重边的性质往往是不一致的，或者说 是异质性的。 那么怎么样标度多重图中边的异质 性，怎样研究这种复杂网络的性质，怎样实现这种 复杂网络的优化，带着这些问题，我们引入可拓学 中的基元概念及其可拓性，将其应用到具有异质边 的多重图网络模型的构建。 可拓学是研究解决矛盾问题的规律和方法的 学科，可拓学理论的逻辑细胞是基元［４］ ，基元包括 物元、事元、关系元。 定义 ６ 以物 Ｏｍ 为对象，ｎ 个特征 Ｃｍ１ ，Ｃｍ２ ， …，Ｃｍｎ及 Ｏｍ 关于 Ｃｍｉ (ｉ ＝ １，２，…，ｎ) 对应的量值 Ｖｍｉ (ｉ ＝ １，２，…，ｎ) 所构成的 ｎ 维阵列： Ｍ ＝ Ｏｍ′， Ｏｍ１′， Ｏｍ２′ ｃｍ２′， ｖｍ２ ︙ ︙ ｃｍｎ′， ｖｍｍ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ＝ （Ｏｍ′，Ｃｍ ，Ｖｍ ） 称为 ｎ 维物元［１５］ ，其中 Ｃｍ ＝ ｃｍ１ ｃｍ２ ︙ ｃｍｎ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ， Ｖｍ ＝ ｖｍ１ ｖｍ２ ︙ ｖｍｎ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú 定义 ７ 设 Ａ０ 是平面上的一个凸区域，Γ０ 是 Ａ０ 的 边 界， Ｐ ｘ１ ，ｘ２ ( ) 为 平 面 上 的 一 点， 则 点 Ｐ ｘ１ ，ｘ２ ( ) 与区域 Ａ０ 的二维可拓距［１６－１７］规定为 ρ Ｐ，Ａ０ ( ) ＝ ｉｎｆ Ｐ１∈Γ０ ρ Ｐ，Ａ０ ( ) ， Ｐ ∉ Ａ０ － ｉｎｆ Ｐ１∈Γ０ ρ Ｐ，Ａ０ ( ) ， Ｐ ∈ Ａ０ ì î í ïï ï ·４７６· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第4期 王娜娜，等：异质边多重图网络模型研究 ·477 式中：P,为区域A。的边界T。上的一点。 可以将该网络边的集合记为E={e.1,e.2, 定义8二维位值。设A。和A是平面上的矩 …,eIi,j1,2,…,n},其中各边上的权的集合记 形区域，且A。CA,T是A的边界，P(x1,x2)为平面 为F, 上的一点，则P(x,x2)关于区域A。和A组成的区 F={f(cmh)lh=1,2,r:i,j=1,2,…,n} 域套的位值规定为 这样构成的网络属于r一多重完全图网络。但 D(P,A,A)=p(P,A)-p(P,Ao) 是与普通r-多重完全图网络的不同点在于任何两 为二维位值]，其中 顶点间的r条边是异质的，其异质性由r个特征c1, infp(P,P,).PA P2Er c2,…,cm所决定，而网络中所有节点（顶点）是同质 p(P,A)= infp(P,P2),Pe∈A 的。为了描述两个顶点间的关系，还需要引入两个 论域上关系的概念。 P,为区域A的边界T上的一点。D(P,Ao,A) 定义9可拓关系。设U、V是任意两个集合， 就描述了点P(x,x,)与区域A。和A组成的区域套 且k是UxV到是实数域R的一个映射，称 的位置关系。 7={(u,v,y)|(u,)∈U×V,y=k(u,w)} 基元是有序三元组，是现实世界中“物”、“事”、 为U和V之间的一个二元可拓关系[。所有U和 “关系”的形式化表示，是“质”与“量”的统一体。 V二元可拓关系的全体记为￡(UxV):称F= 为了描述多重图中边的异质性，我们将基元概念引 {(u,w,y)(u,x)∈UxW,y=k(u,w)≥0}为r的正域：r= 入多重图网络中，构造一种新型网络模型。 {(u,i,y）|(u,w)∈UxW,y=k(u,)≤0}为F的负域： 2模型构建 Jo()={(u,)(u,)∈UxW,k(u,)=0}为F的零界： 针对每个节点之间有r个边的-多重完全图网 这里的关联函数y=k(u,v)是二维的，在文献[19- 络来研究，将模型称之为基于物元特征的下-异质边 20]中给出了一种构造二维关联函数的方法。 多重完全图网络模型。 由于需要描述的是网络两个节点间在某一指 记所构造的网络为G=(V,E,F),在G中， 定特征上的关系，故此将上面定义的可拓关系再扩 顶点集合V中的元素为r维物元M,即V={M, 充为如下定义的概念。 M2,…,Mn} 定义10基于特征的可拓关系。设V={M1, M2,…,Mn}是前面在描述基于物元特征的r-异质 边多重完全图网络中定义的n维物元集，V中物元 ”+ 的r个特征为cm1,c2,…,cn针对其中某一c,定义 iea={(u,,y)|(u,)∈V×V,y= 式中：c1,c2,…,cm是所有物元M共有的r个特 k。(u,v）∈（-o,+oo)} 征，任何两个顶点M,和M之间有r重边相连，r个 称为物元集V上关于特征c的可拓关系。其中 边是不同质的，分别对应特征c1,c2,…,c,连接 k(u,)称为该可拓关系的关联函数。这里，二维 示意图见图3。 关联函数k(u,v)是一个物元集合笛卡儿积VxV 到实数域！的映射。本文根据实际应用问题设置其 f(c) 的具体构造。构造思想借鉴文献[19-20]，建立二 维简单关联函数。 f(c) 正域为有限区域A=(a,b)×(c,d〉，且最大值 点M(xo,y)∈A,对于不同的有限区域和最大值点 的取值不同，建立的关联函数也是不同的，但是对 f(c) 于物流节点的各个功能关联函数构造方法是相同 图3r重边连接示意图 的，关联函数的形状相似，都是锥形的如图4所示。 Fig.3 r-Multi-links 对于任意一点p(x,y)的二维关联函数构造为
式中：Ｐ１ 为区域 Ａ０ 的边界 Γ０ 上的一点。 定义 ８ 二维位值。 设 Ａ０ 和 Ａ 是平面上的矩 形区域，且 Ａ０⊂Ａ，Γ 是 Ａ 的边界，Ｐ ｘ１ ，ｘ２ ( ) 为平面 上的一点，则 Ｐ ｘ１ ，ｘ２ ( ) 关于区域 Ａ０ 和 Ａ 组成的区 域套的位值规定为 Ｄ(Ｐ，Ａ０ ，Ａ) ＝ ρ(Ｐ，Ａ) － ρ Ｐ，Ａ０ ( ) 为二维位值［１８］ ，其中 ρ(Ｐ，Ａ) ＝ ｉｎｆ Ｐ２∈Γ ρ Ｐ，Ｐ２ ( ) ， Ｐ ∉ Ａ － ｉｎｆ Ｐ２∈Γ ρ Ｐ，Ｐ２ ( ) ， Ｐ ∈ Ａ ì î í ïï ïï Ｐ２ 为区域 Ａ 的边界 Γ 上的一点。 Ｄ(Ｐ，Ａ０ ，Ａ) 就描述了点 Ｐ ｘ１ ，ｘ２ ( ) 与区域 Ａ０ 和 Ａ 组成的区域套 的位置关系。 基元是有序三元组，是现实世界中“物”、“事”、 “关系” 的形式化表示，是“质” 与“量” 的统一体。 为了描述多重图中边的异质性，我们将基元概念引 入多重图网络中，构造一种新型网络模型。 ２ 模型构建 针对每个节点之间有 ｒ 个边的 ｒ⁃多重完全图网 络来研究，将模型称之为基于物元特征的 ｒ⁃异质边 多重完全图网络模型。 记所构 造 的 网 络 为 Ｇ ＝ (Ｖ，Ｅ，Ｆ ) ，在 Ｇ 中， 顶点集合 Ｖ 中的元素为 ｒ 维物元 Ｍ，即Ｖ ＝ ｛ Ｍ１ ， Ｍ２ ，…，Ｍｎ ｝ Ｍｉ ＝ Ｏｍｉ， ｃｍ１ ， ｖｍ１ ｃｍ２ ， ｖｍ１ ︙ ︙ ｃｍｒ， ｖｍｒ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 式中：ｃｍ１ ，ｃｍ２ ，…，ｃｍｒ 是所有物元 Ｍ 共有的 ｒ 个特 征，任何两个顶点 Ｍｉ 和 Ｍｊ 之间有 ｒ 重边相连，ｒ 个 边是不同质的，分别对应特征 ｃｍ１ ，ｃｍ２ ，…，ｃｍｒ，连接 示意图见图 ３。 图 ３ ｒ 重边连接示意图 Ｆｉｇ．３ ｒ⁃Ｍｕｌｔｉ⁃ｌｉｎｋｓ 可以将该网络边的集合记为 Ｅ ＝ ｛ ｅｉ，ｊ，１ ，ｅｉ，ｊ，２ ， …，ｅｉ，ｊ，ｒ ｜ ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ｝，其中各边上的权的集合记 为 Ｆ， Ｆ ＝ ｆ ｉｊ ｃｍｈ { ( ) ｜ ｈ ＝ １，２，…ｒ；ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ} 这样构成的网络属于 ｒ－多重完全图网络。 但 是与普通 ｒ－多重完全图网络的不同点在于任何两 顶点间的 ｒ 条边是异质的，其异质性由 ｒ 个特征 ｃｍ１ ， ｃｍ２ ，…，ｃｍｒ所决定，而网络中所有节点（顶点）是同质 的。 为了描述两个顶点间的关系，还需要引入两个 论域上关系的概念。 定义 ９ 可拓关系。 设 Ｕ、Ｖ 是任意两个集合， 且 ｋ 是 Ｕ×Ｖ 到是实数域 Ｒ 的一个映射，称 ｒ ～ ＝ {（ｕ，ｖ，ｙ） （ｕ，ｖ） ∈Ｕ × Ｖ，ｙ ＝ ｋ（ｕ，ｖ）} 为 Ｕ 和 Ｖ 之间的一个二元可拓关系［１８］ 。 所有 Ｕ 和 Ｖ 二 元 可 拓 关 系 的 全 体 记 为 ￡ (Ｕ×Ｖ) ： 称 ｒ ～ ＝ {（ｕ，ｖ，ｙ） （ｕ，ｖ）∈Ｕ×Ｖ，ｙ＝ｋ（ｕ，ｖ）≥０}为 ｒ ～ 的正域；ｒ ～ ＝ {（ｕ，ｖ，ｙ） （ｕ，ｖ）∈Ｕ×Ｖ，ｙ＝ｋ（ｕ，ｖ）≤０} 为 ｒ ～ 的 负 域； Ｊ０ ｒ ～ ( ) ＝{（ｕ，ｖ） （ｕ，ｖ）∈Ｕ×Ｖ，ｋ（ｕ，ｖ）＝ ０} 为 ｒ ～ 的零界； 这里的关联函数 ｙ ＝ ｋ（ｕ，ｖ）是二维的，在文献［１９－ ２０］中给出了一种构造二维关联函数的方法。 由于需要描述的是网络两个节点间在某一指 定特征上的关系，故此将上面定义的可拓关系再扩 充为如下定义的概念。 定义 １０ 基于特征的可拓关系。 设 Ｖ ＝ ｛Ｍ１ ， Ｍ２ ，…，Ｍｎ ｝是前面在描述基于物元特征的 ｒ－异质 边多重完全图网络中定义的 ｎ 维物元集，Ｖ 中物元 的 ｒ 个特征为 ｃｍ１ ，ｃｍ２ ，…，ｃｍｒ针对其中某一 ｃｍｈ ，定义 ｒ ～ ｃｍｈ ＝ {（ｕ，ｖ，ｙ） ｜ （ｕ，ｖ） ∈ Ｖ × Ｖ，ｙ ＝ ｋｃｍｈ （ｕ，ｖ） ∈ （ － ¥， ＋ ¥）} 称为物元集 Ｖ 上关于特征 ｃｍｈ 的可拓关系。 其中 ｋｃｍｈ （ｕ，ｖ）称为该可拓关系的关联函数。 这里，二维 关联函数 ｋｃｍｈ （ ｕ，ｖ）是一个物元集合笛卡儿积 Ｖ×Ｖ 到实数域 Ｉ 的映射。 本文根据实际应用问题设置其 的具体构造。 构造思想借鉴文献［１９－２０］，建立二 维简单关联函数。 正域为有限区域 Ａ ＝ 〈 ａ，ｂ〉 ×〈 ｃ，ｄ〉， 且最大值 点 Ｍ ｘ０ ，ｙ０ ( ) ∈Ａ，对于不同的有限区域和最大值点 的取值不同，建立的关联函数也是不同的，但是对 于物流节点的各个功能关联函数构造方法是相同 的，关联函数的形状相似，都是锥形的如图 ４ 所示。 对于任意一点 ｐ (ｘ，ｙ) 的二维关联函数构造为 第 ４ 期 王娜娜，等：异质边多重图网络模型研究 ·４７７·
.478. 智能系统学报 第12卷 (y-c)/(yo-c),y≤yo,x1≤x≤x4 根据可拓学的基元理论，采用物元表示网络节 (x-a)/(x0-a),x≤x0,y1≤y≤y2 点，所有网络节点都具有r个相同特征，特征之间是 k(p)= (-d)(yo-d),y≥yo,x2≤x≤x3 不同质的，而每一个特征决定了两个相邻节点间相 (x-b)/(x0-b),x≥xoy3≤y≤y4 连接的一条边，用不同特征下的关联函数值表示边 权，实现异质边的统一性度量，这就为异质边多重 (1) 边物流网络的处理带来便利。 式中： xo-a.ay。-cxo 3 实例 x1= Yo -c 我们提出的这种r-多重完全图网络模型是建 xo-a 九一 t2 ay。-dxo 立在物元特征基础之上的，对于物流网络的应用背 Yo-d 景来说，物流节点的功能特征可以作为网络节点物 =么+y-。 元的特征。比如物流中心一般具有如下功能：运输 。~+ Yo-d 功能、储存功能、装卸搬运功能、包装功能、流通加 x0-bby。-cxo 工功能、信息处理功能、结算功能、需求预测功能、 %c* 4 Yo -c 设计咨询功能、教育与培训功能等。而对于物流配 送中心来说，一般其功能特征主要是配送功能、储 cxo ay 一x+ xo a xo -a 存功能、配组功能、分拣功能、衔接功能、集散功能、 yo-d.dko-ay。 包装功能、流通加工功能、运输功能、信息处理与提 ~0* xo -a 供功能理功能等。物流中心和物流配送中心的共 有的功能有运输功能、储存功能、包装功能、流通加 yo-d,dx。-by。 七。-6* y3= 工功能、信息处理功能。对于物流中心和物流配送 xo-b 中心的功能量化如下：运输功能、储存功能、包装功 yo-c,cxg-by。 0-6+ y4= 能、流通加工功能、信息处理功能分别对应着运输 xo-b 能力、仓库储存量、流通加工量、信息处理能力。本 则k(p)满足如下性质： 文以图3为例给出M,和M的物元表示。 1)k(p)在p=M处达到最大值，且k(M)=1: 物流节点D,运输功能cm1,45% 2)p(x,y)∈D,且x≠a,b,y≠c,d台k(p)>0; 储存功能c2, 100 3)p(x,y）年D,且x≠a,b,y≠c,d台k(p)<0: M= 包装功能cm3, 350 4)x=a or b,y=c or dek(p)=0. 加工功能cm4, 300 信息功能c5, 75% (y 1) 物流节点D, 运输功能cm1, 85%1 储存功能cm2, 90 M;= 包装功能cm3, 400 加工功能cm4,350 信息功能cm5,80% 最大值点在中点取得，根据式(1)构造的二维 关联函数构造方法，计算出节点M:与M之间5个 图4关联函数示意图 功能的5个关联函数，每个特征的关联函数的正域 Fig.4 Dependent function 取值及功能特征的取值是根据物流网络的实际情 况来定值。 网络权F可以根据可拓关系确定： 1)计算运输功能的关联度，其中正域为有限区 f(ch）=k(M,M),h=1,2,…,r,ij=1,2,…,n 域A1=(a1,b）×c1,d1〉，其中，(a1,b〉=(50%， (2) 80%〉，〈c1,d1〉=〈70%，95%〉且最大值点M1
ｋ (ｐ) ＝ (ｙ － ｃ) ／ ｙ０ ( － ｃ) ， ｙ ≤ ｙ０ ，ｘ１ ≤ ｘ ≤ ｘ４ (ｘ － ａ) ／ ｘ０ ( － ａ) ， ｘ ≤ ｘ０ ，ｙ１ ≤ ｙ ≤ ｙ２ (ｙ － ｄ) ／ ｙ０ ( － ｄ) ， ｙ ≥ ｙ０ ，ｘ２ ≤ ｘ ≤ ｘ３ (ｘ － ｂ) ／ ｘ０ ( － ｂ) ， ｘ ≥ ｘ０ ，ｙ３ ≤ ｙ ≤ ｙ４ ì î í ï ï ï ï ï ï （１） 式中： ｘ１ ＝ ｘ０ － ａ ｙ０ － ｃ ｙ ＋ ａｙｏ － ｃｘ０ ｙ０ － ｃ ｘ２ ＝ ｘ０ － ａ ｙ０ － ｄ ｙ ＋ ａｙｏ － ｄｘ０ ｙ０ － ｄ ｘ３ ＝ ｘ０ － ｂ ｙｏ － ｄ ｙ ＋ ｂｙｏ － ｄｘ０ ｙ０ － ｄ ｘ４ ＝ ｘ０ － ｂ ｙ０ － ｃ ｙ ＋ ｂｙｏ － ｃｘ０ ｙ０ － ｃ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ｙ１ ＝ ｙ０ － ｃ ｘ０ － ａ ｘ ＋ ｃｘ０ － ａｙｏ ｘ０ － ａ ｙ２ ＝ ｙ０ － ｄ ｘ０ － ａ ｘ ＋ ｄｘ０ － ａｙｏ ｘ０ － ａ ｙ３ ＝ ｙ０ － ｄ ｘｏ － ｂ ｘ ＋ ｄｘ０ － ｂｙｏ ｘ０ － ｂ ｙ４ ＝ ｙ０ － ｃ ｘ０ － ｂ ｘ ＋ ｃｘ０ － ｂｙｏ ｘ０ － ｂ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 则 ｋ (ｐ) 满足如下性质： １）ｋ (ｐ) 在 ｐ ＝Ｍ 处达到最大值，且 ｋ (Ｍ) ＝ １； ２）ｐ (ｘ，ｙ) ∈Ｄ，且 ｘ≠ａ，ｂ，ｙ≠ｃ，ｄ⇔ｋ (ｐ) ＞０； ３）ｐ (ｘ，ｙ) ∉Ｄ，且 ｘ≠ａ，ｂ，ｙ≠ｃ，ｄ⇔ｋ (ｐ) ＜０； ４）ｘ ＝ ａ ｏｒ ｂ，ｙ ＝ ｃ ｏｒ ｄ⇔ｋ (ｐ) ＝ ０。 图 ４ 关联函数示意图 Ｆｉｇ．４ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 网络权 Ｆ 可以根据可拓关系确定： ｆ ｉｊ（ｃｍｈ ） ＝ ｋｃｍｈ （Ｍｉ，Ｍｊ），ｈ ＝ １，２，…，ｒ，ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ （２） 根据可拓学的基元理论，采用物元表示网络节 点，所有网络节点都具有 ｒ 个相同特征，特征之间是 不同质的，而每一个特征决定了两个相邻节点间相 连接的一条边，用不同特征下的关联函数值表示边 权，实现异质边的统一性度量，这就为异质边多重 边物流网络的处理带来便利。 ３ 实例 我们提出的这种 ｒ－多重完全图网络模型是建 立在物元特征基础之上的，对于物流网络的应用背 景来说，物流节点的功能特征可以作为网络节点物 元的特征。 比如物流中心一般具有如下功能：运输 功能、储存功能、装卸搬运功能、包装功能、流通加 工功能、信息处理功能、结算功能、需求预测功能、 设计咨询功能、教育与培训功能等。 而对于物流配 送中心来说，一般其功能特征主要是配送功能、储 存功能、配组功能、分拣功能、衔接功能、集散功能、 包装功能、流通加工功能、运输功能、信息处理与提 供功能理功能等。 物流中心和物流配送中心的共 有的功能有运输功能、储存功能、包装功能、流通加 工功能、信息处理功能。 对于物流中心和物流配送 中心的功能量化如下：运输功能、储存功能、包装功 能、流通加工功能、信息处理功能分别对应着运输 能力、仓库储存量、流通加工量、信息处理能力。 本 文以图 ３ 为例给出 Ｍｉ 和 Ｍｊ 的物元表示。 Ｍｉ ＝ 物流节点 Ｄｉ， 运输功能 ｃｍ１ ， ４５％ 储存功能 ｃｍ２ ， １００ 包装功能 ｃｍ３ ， ３５０ 加工功能 ｃｍ４ ， ３００ 信息功能 ｃｍ５ ， ７５％ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú Ｍｊ ＝ 物流节点 Ｄｊ， 运输功能 ｃｍ１ ， ８５％ 储存功能 ｃｍ２ ， ９０ 包装功能 ｃｍ３ ， ４００ 加工功能 ｃｍ４ ， ３５０ 信息功能 ｃｍ５ ， ８０％ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú 最大值点在中点取得，根据式（１）构造的二维 关联函数构造方法，计算出节点 Ｍｉ 与 Ｍｊ 之间 ５ 个 功能的 ５ 个关联函数，每个特征的关联函数的正域 取值及功能特征的取值是根据物流网络的实际情 况来定值。 １）计算运输功能的关联度，其中正域为有限区 域 Ａ１ ＝ 〈 ａ１ ，ｂ１ 〉 ×〈 ｃ１ ，ｄ１ 〉，其中，〈 ａ１ ，ｂ１ 〉 ＝ 〈 ５０％， ８０％〉， 〈 ｃ１ ， ｄ１ 〉 ＝ 〈 ７０％， ９５％〉 且 最 大 值 点 Ｍ１ ·４７８· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第4期 王娜娜，等：异质边多重图网络模型研究 ·479- (65%,82.5%)∈A1,将p1(45%,85%)代入建立二维 关联函数构造k(P1): 413 0-70)25%-70%),y≤25%，学-号≤≤- 6 41 25 (x-50%)/65%-509%),x≤659%3+18≤ 4t* ys-5+41 40 6+30 k(p1)= 0-959%)1(82.5%-95%),y≥82.5%，-5+ 入6y+4≤x≤-3 3-30 :-80%)/65%-80%），￥≥65%， 541 3,13 6*+30≥y≤+ 40 求得长(a4)=- (40,300〉，〈c2,d2〉=〈40,250〉且最大值点M2 (170,145)∈A2。 2)计算储存功能的关联度，其中正域为有限区 3)将P2(100,90)代入建立二维关联函数构 域A2=(a2,b2〉×(c2,d2〉，其中，〈a2,b2〉= 造k(P2): 261340 (y-40)/(145-40), 26200 y≤145,27-2≤≤ 27+ 21 21100 (x-40)/(170-40), x≤170,26+13 器+0 13 k(P2)= 261340 0-250)/(145-250)，y≥145，-2元+ 26200 21≤x≤27-21 -300)/170-300),x≥170， 13670 26t+ 13sys 21100 26+13 求得长0)=品 〈100,500〉，〈c3,d3〉=〈100,500〉且最大值点M3 (300,300)∈A3,将P3(350,400)代入建立二维关联 3)计算包装功能的关联度，其中正域为有限区 函数构造k(P3): 域A3=〈a,b3〉×(c3,d〉，其中(a,b〉= [(0-100)/(300-100),y≤300，y≤x≤-y+400 k(P3)= (x-100)/(300-100),x≤300，≤y≤-x+400 (0-500)/(300-500),y≥300，-y+400≤x≤y (x-500)/(300-500),x≥300，-x+400≤y≤x 求得6.(M.)2 (200,400〉，〈c4,d4〉=〈200,450〉且最大值点M (300,325)∈A,将p,(300,350)代入建立二维关联 4)计算加工功能的关联度，其中正域为有限区 函数构造k(P): 域A4=〈a4,b〉×〈c4,d4〉，其中〈a4,b4〉= 4 0-20)/(325-200)，y≤325，+40≤x≤- 5+640 c-20)/30-20).≤30-50≤y≤-至+80 k(P4)= 4 0-450)/(325-450),y≥325，-+640≤x≤ 5+40 c-40)300-40),￥≥30，-子+800≤y≤子-50 5 5 求得么（4.)=2 域A=(a,b〉×(c,d）,其中(a5,b5〉=(60%， 80%),〈c5,d〉=(60%，90%〉且最大值点，M 5)计算信息功能的关联度，其中正域为有限区 (70%,75%)∈A5,将P5(75%,80%)代入建立二维
(６５％，８２．５％ ) ∈Ａ１ ，将 ｐ１ (４５％，８５％ ) 代入建立二维 关联函数构造 ｋ（ｐ１ ）： ｋ ｐ１ ( ) ＝ (ｙ － ７０％ ) ／ (８２．５％ － ７０％ ) ， ｙ ≤ ８２．５％， ４ ３ ｙ － １３ ３０ ≤ ｘ ≤－ ６ ５ ｙ ＋ ４１ ２５ (ｘ － ５０％ ) ／ (６５％ － ５０％ ) ， ｘ ≤ ６５％ ３ ４ ｘ ＋ １３ ４０ ≤ ｙ ≤－ ５ ６ ｘ ＋ ４１ ３０ (ｙ － ９５％ ) ／ (８２．５％ － ９５％ ) ， ｙ ≥ ８２．５％， － ６ ５ ｙ ＋ ４１ ２５ ≤ ｘ ≤ ４ ３ ｙ － １３ ３０ (ｘ － ８０％ ) ／ (６５％ － ８０％ ) ， ｘ ≥ ６５％， － ５ ６ ｘ ＋ ４１ ３０ ≥ ｙ ≤ ３ ４ ｘ ＋ １３ ４０ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 求得 ｋｃｍ１ （Ｍｉ，Ｍｊ）＝ － １ ３ 。 ２）计算储存功能的关联度，其中正域为有限区 域 Ａ２ ＝ 〈 ａ２ ， ｂ２ 〉 × 〈 ｃ２ ， ｄ２ 〉， 其 中， 〈 ａ２ ， ｂ２ 〉 ＝ 〈４０，３００〉， 〈 ｃ２ ， ｄ２ 〉 ＝ 〈 ４０， ２５０〉 且 最 大 值 点 Ｍ２ （１７０，１４５）∈Ａ２ 。 ３） 将 ｐ２ (１００，９０) 代入建立二维关联函数构 造ｋ（ｐ２ ）： ｋ ｐ２ ( ) ＝ (ｙ － ４０) ／ (１４５ － ４０) ， ｙ ≤ １４５， ２６ ２１ ｙ － ２００ ２１ ≤ ｘ ≤－ ２６ ２１ ｙ ＋ １３４０ ２１ (ｘ － ４０) ／ (１７０ － ４０) ， ｘ ≤ １７０， ２１ ２６ ｘ ＋ １００ １３ ≤ ｙ ≤－ ２１ ２６ ｘ ＋ ３６７０ １３ (ｙ － ２５０) ／ (１４５ － ２５０) ， ｙ ≥ １４５， － ２６ ２１ ｙ ＋ １３４０ ２１ ≤ ｘ ≤ ２６ ２１ ｙ － ２００ ２１ (ｘ － ３００) ／ (１７０ － ３００) ， ｘ ≥ １７０， － ２１ ２６ ｘ ＋ ３６７０ １３ ≤ ｙ ≤ ２１ ２６ ｘ ＋ １００ １３ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 求得 ｋｃｍ２ （Ｍｉ，Ｍｊ）＝ ６０ １０５ 。 ３）计算包装功能的关联度，其中正域为有限区 域 Ａ３ ＝ 〈 ａ３ ， ｂ３ 〉 × 〈 ｃ３ ， ｄ３ 〉， 其 中 〈 ａ３ ， ｂ３ 〉 ＝ 〈１００，５００〉，〈 ｃ３ ， ｄ３ 〉 ＝ 〈 １００， ５００〉 且最大值点 Ｍ３ （３００，３００）∈Ａ３ ，将 ｐ３ (３５０，４００) 代入建立二维关联 函数构造 ｋ（ｐ３ ）： ｋ ｐ３ ( ) ＝ (ｙ － １００) ／ (３００ － １００) ， ｙ ≤ ３００，ｙ ≤ ｘ ≤－ ｙ ＋ ４００ (ｘ － １００) ／ (３００ － １００) ， ｘ ≤ ３００， ≤ ｙ ≤－ ｘ ＋ ４００ (ｙ － ５００) ／ (３００ － ５００) ， ｙ ≥ ３００， － ｙ ＋ ４００ ≤ ｘ ≤ ｙ (ｘ － ５００) ／ (３００ － ５００) ， ｘ ≥ ３００， － ｘ ＋ ４００ ≤ ｙ ≤ ｘ ì î í ï ï ï ï 求得 ｋｃｍ３ （Ｍｉ，Ｍｊ）＝ １ ２ 。 ４）计算加工功能的关联度，其中正域为有限区 域 Ａ４ ＝ 〈 ａ４ ， ｂ４ 〉 × 〈 ｃ４ ， ｄ４ 〉， 其 中 〈 ａ４ ， ｂ４ 〉 ＝ 〈２００，４００〉，〈 ｃ４ ， ｄ４ 〉 ＝ 〈 ２００， ４５０〉 且最大值点 Ｍ４ （３００，３２５）∈Ａ４ 将 ｐ４（３００，３５０）代入建立二维关联 函数构造 ｋ（ｐ４ ）： ｋ ｐ４ ( ) ＝ (ｙ － ２００) ／ (３２５ － ２００) ， ｙ ≤ ３２５， ４ ５ ｙ ＋ ４０ ≤ ｘ ≤－ ４ ５ ｙ ＋ ６４０ (ｘ － ２００) ／ (３００ － ２００) ， ｘ ≤ ３００， ５ ４ ｘ － ５０ ≤ ｙ ≤－ ５ ４ ｘ ＋ ８００ (ｙ － ４５０) ／ (３２５ － ４５０) ， ｙ ≥ ３２５， － ４ ５ ｙ ＋ ６４０ ≤ ｘ ≤ ４ ５ ｙ ＋ ４０ (ｘ － ４００) ／ (３００ － ４００) ， ｘ ≥ ３００， － ５ ４ ｘ ＋ ８００ ≤ ｙ ≤ ５ ４ ｘ － ５０ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 求得 ｋｃｍ４ （Ｍｉ，Ｍｊ）＝ １ ２ 。 ５）计算信息功能的关联度，其中正域为有限区 域 Ａ５ ＝ 〈 ａ５ ， ｂ５ 〉 × 〈 ｃ５ ， ｄ５ 〉，其中〈 ａ５ ， ｂ５ 〉 ＝ 〈 ６０％， ８０％〉，〈 ｃ５ ， ｄ５ 〉 ＝ 〈 ６０％， ９０％〉 且 最 大 值 点， Ｍ５ (７０％，７５％ ) ∈Ａ５ ，将 ｐ５ (７５％，８０％ ) 代入建立二维 第 ４ 期 王娜娜，等：异质边多重图网络模型研究 ·４７９·
·480· 智能系统学报 第12卷 关联函数构造k(p): 2 1 2 0-60%)(75%-60%)，y≤75%，3+5≤x≤- 3+ 6 33 39 x-60%)/(70%-60%),x≤706,2-10≤y≤-2-3 k(p)= 0-90%)/(75%-90%),y≥75%，-3+5≤x≤3+5 26 21 5 (e-809%)709%-809%),x≥70%，-2-5≤y≤ 39 33 2*-10 1 求得k(M,M)= 的优化演变。 根据式(2)网络权F可以根据可拓关系确定， 参考文献： 即f(ch)=k(M,M),h=1,2,…,r,i,j=1,2,…, [1]WANG Z,SOLNOKI A.Self-organization towards optimally 1 60 interdependent networks by means of coevolution[J].New nf(c)=-3()=105()=2c)= journal of physics,2016,16:33-41. 4 1 [2]WANG NN,MI YY,LIU W,et al.Logistics network (cns)=20 model based on matter element node[J].Procedia compute science,2016.91:351-356. 4结束语 [3]王娜娜，高红，李珊珊，等.基于异质超边的超图[J]广 本文根据可拓学的基元理论构建了一种异质 东工业大学学报，2017,34(1)：6-10 边多重图网络模型一基于物元特征的T一异质边 WANG Nana,GAO Hang,LI Shanshan,et al.A research 多重图网络模型。这种模型适用于所有网络节点 on hypergraph of heterogeneous edge J].Journal of 都具有，个相同特征，特征之间是不同质的，而每一 guangdong university of technology,2017,34(1):6-10. 个特征决定了两个相邻节点间相连接的一条边，从 [4]马啸来.基于多重图的物流链选择决策模型及算法研究 [J].铁道运输与经济，2012,34(1)：56-61. 而形成-异质多重完全图网络。对于物流网络背景 MA Xiaolai.Study on decision-making model and calculation 来说，这种模型适用于物流网络各节点的功能特征 method of logistics chain selection based on multigraph[J]. 基本相同或者所关注的若干功能特征相同的情况， Railway transport and economy,2012,34(1):56-61. 这些功能特征是异质的，并且对应每个功能特征能 [5]高洋，李丽香，彭海朋，等.多重边复杂网络系统的稳定 够建立起物流节点间的可拓关系。 性分析[J].物理学报，2008,57(3)：1444-1452. 物流网络的运行是由许多运动过程和许多相 GAO Yang,LI Lixiang,PENG Haipeng,et al.Adaptive 对停顿过程组成的。因此，物流网络结构也是由执 Synchronization in united complex dynamical network with 行运动使命的线路和执行停顿使命的节点两种基 multi-links[J].Acta physica sinica,2008,57(3):144-1452. 本元素所组成，全部物流活动是在线路和结点进行 [6]安新磊，李引珍，马昌喜.一种新的多重边复杂公交网络 的物流网络水平高低、功能强弱则取决于网络中这 模型[J].交通运输系统工程与信息，2014,14(3)： 两个基本元素的配置和两个基本元素本身。 154-161. 提高物流网络的效能就应该从变换网络节点 AN Xinlei,LI Yinzhen,MA Changxi.Public traffic network 的功能特征和节点间的连接关系入手。这就体现 modeling withmulti-links J].Journal of transportation 在物流节点的物元变换和关联函数的变换。配置 systems engineering and information technology,2014,14 (3):154-161. 和关系的改变是网络结构的演变，节点功能的改变 [7 NIUSVEL A M,ANDRES G A.A new algorithm for 则是节点本身的功能性改变。由于我们采用物元 approximate pattern mining in multigraphs collections[J]. 表示网络节点，用基于特征的关联函数表示边权， Knowledge based systems,2016(109):198-207. 这就为异质多重边物流网络的处理带来便利。同 [8]SUIL Edge-connectivity in regular multigraphs from eigenvalues 时，这种异质多重边网络的优化可以通过网络中节 []Linear algebra and its applications,2016,491(15): 点特征间的联合相关度作为评价指标来指导网络 4-14
关联函数构造 ｋ（ｐ）： ｋ (ｐ) ＝ (ｙ － ６０％ ) ／ (７５％ － ６０％ ) ， ｙ ≤ ７５％， ２ ３ ｙ ＋ １ ５ ≤ ｘ ≤－ ２ ３ ｙ ＋ ６ ５ (ｘ － ６０％ ) ／ (７０％ － ６０％ ) ， ｘ ≤ ７０％， ３ ２ ｘ － ３ １０ ≤ ｙ ≤－ ３ ２ ｘ － ９ ５ (ｙ － ９０％ ) ／ (７５％ － ９０％ ) ， ｙ ≥ ７５％， － ２ ３ ｙ ＋ ６ ５ ≤ ｘ ≤ ２ ３ ｙ ＋ １ ５ (ｘ － ８０％ ) ／ (７０％ － ８０％ ) ， ｘ ≥ ７０％， － ３ ２ ｘ － ９ ５ ≤ ｙ ≤ ３ ２ ｘ － ３ １０ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 求得 ｋｃｍ５ （Ｍｉ，Ｍｊ）＝ １ ２ 。 根据式（２） 网络权 Ｆ 可以根据可拓关系确定， 即 ｆ ｉｊ（ｃｍｈ ）＝ ｋｃｍｈ （Ｍｉ，Ｍｊ），ｈ ＝ １，２，…，ｒ，ｉ，ｊ ＝ １，２，…， ｎ，ｆ ｉｊ（ｃｍ１ ）＝ － １ ３ ，ｆ ｉｊ（ｃｍ２ ）＝ ６０ １０５ ，ｆ ｉｊ（ｃｍ３ ）＝ １ ２ ，ｆ ｉｊ（ｃｍ４ ）＝ ４ ５ ，ｆ ｉｊ（ｃｍ５ ）＝ １ ２ 。 ４ 结束语 本文根据可拓学的基元理论构建了一种异质 边多重图网络模型———基于物元特征的 ｒ－异质边 多重图网络模型。 这种模型适用于所有网络节点 都具有 ｒ 个相同特征，特征之间是不同质的，而每一 个特征决定了两个相邻节点间相连接的一条边，从 而形成 ｒ⁃异质多重完全图网络。 对于物流网络背景 来说，这种模型适用于物流网络各节点的功能特征 基本相同或者所关注的若干功能特征相同的情况， 这些功能特征是异质的，并且对应每个功能特征能 够建立起物流节点间的可拓关系。 物流网络的运行是由许多运动过程和许多相 对停顿过程组成的。 因此，物流网络结构也是由执 行运动使命的线路和执行停顿使命的节点两种基 本元素所组成，全部物流活动是在线路和结点进行 的物流网络水平高低、功能强弱则取决于网络中这 两个基本元素的配置和两个基本元素本身。 提高物流网络的效能就应该从变换网络节点 的功能特征和节点间的连接关系入手。 这就体现 在物流节点的物元变换和关联函数的变换。 配置 和关系的改变是网络结构的演变，节点功能的改变 则是节点本身的功能性改变。 由于我们采用物元 表示网络节点，用基于特征的关联函数表示边权， 这就为异质多重边物流网络的处理带来便利。 同 时，这种异质多重边网络的优化可以通过网络中节 点特征间的联合相关度作为评价指标来指导网络 的优化演变。 参考文献： ［１］ＷＡＮＧ Ｚ， ＳＯＬＮＯＫＩ Ａ． Ｓｅｌｆ⁃ｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎ ｔｏｗａｒｄｓ ｏｐｔｉｍａｌｌｙ ｉｎｔｅｒｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｃｏｅｖｏｌｕｔｉｏｎ［ Ｊ］． Ｎｅｗ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ， ２０１６， １６： ３３－４１． ［２］ ＷＡＮＧ Ｎ Ｎ， ＭＩ Ｙ Ｙ， ＬＩＵ Ｗ， ｅｔ ａｌ． Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｔｅｒ ｅｌｅｍｅｎｔ ｎｏｄｅ［ Ｊ］． Ｐｒｏｃｅｄｉａ ｃｏｍｐｕｔｅ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２０１６， ９１： ３５１－３５６． ［３］王娜娜，高红，李珊珊，等． 基于异质超边的超图［ Ｊ］．广 东工业大学学报， ２０１７， ３４（１）： ６－１０． ＷＡＮＧ Ｎａｎａ， ＧＡＯ Ｈａｎｇ， ＬＩ Ｓｈａｎｓｈａｎ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｈｙｐｅｒｇｒａｐｈ ｏｆ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｄｇｅ ［ Ｊ ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｇｕａｎｇｄｏｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２０１７， ３４（１）： ６－１０． ［４］马啸来． 基于多重图的物流链选择决策模型及算法研究 ［Ｊ］． 铁道运输与经济， ２０１２， ３４（１）： ５６－６１． ＭＡ Ｘｉａｏｌａｉ． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｍａｋｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｃｈａｉｎ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉｇｒａｐｈ［ Ｊ］． Ｒａｉｌｗａｙ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ａｎｄ ｅｃｏｎｏｍｙ， ２０１２， ３４（１）： ５６－６１． ［５］高洋，李丽香，彭海朋，等． 多重边复杂网络系统的稳定 性分析［Ｊ］． 物理学报， ２００８， ５７（３）： １４４４－１４５２． ＧＡＯ Ｙａｎｇ， ＬＩ Ｌｉｘｉａｎｇ， ＰＥＮＧ Ｈａｉｐｅｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｕｎｉｔｅｄ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉ⁃ｌｉｎｋｓ［Ｊ］． Ａｃｔａ ｐｈｙｓｉｃａ ｓｉｎｉｃａ， ２００８， ５７（３）： １４４－１４５２． ［６］安新磊，李引珍，马昌喜． 一种新的多重边复杂公交网络 模型［ Ｊ］． 交通运输系统工程与信息， ２０１４， １４ （ ３）： １５４－１６１． ＡＮ Ｘｉｎｌｅｉ， ＬＩ Ｙｉｎｚｈｅｎ， ＭＡ Ｃｈａｎｇｘｉ． Ｐｕｂｌｉｃ ｔｒａｆｆｉｃ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｗｉｔｈｍｕｌｔｉ⁃ｌｉｎｋｓ ［ Ｊ ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２０１４， １４ （３）： １５４－１６１． ［７ ］ ＮＩＵＳＶＥＬ Ａ Ｍ， ＡＮＤＲＥＳ Ｇ Ａ． Ａ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｍｉｎｉｎｇ ｉｎ ｍｕｌｔｉｇｒａｐｈｓ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｓ ［ Ｊ］． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｂａｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６（１０９）： １９８－２０７． ［８］ＳＵＩＬ．Ｅｄｇｅ⁃ｃｏｎｎｅｃｔｉｖｉｔｙ ｉｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｍｕｌｔｉｇｒａｐｈｓ ｆｒｏｍ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ［Ｊ］． Ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１６， ４９１（１５）： ４－１４． ·４８０· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第4期 王娜娜，等：异质边多重图网络模型研究 ·481- [9]HAXELLA P E,KIESTEAD H A.Edge coloring multi-gra [18]蔡文.物元模型及其应用M).北京：科学技术文献出版 phs without small dense subsets[J].Original researc 社.1994 article,2015,338(12):2502-2506. [19]李志明，杨春燕。三个区域套下二维初等关联函数的构 [10]XUN Y,WANG M.Robust visual tracking via multi-graph 造方法[J].辽宁工程技术大学学报，2015,2：267-272. ranking[J].Neurocomputing,2015,159:35-43. LI Zhiming,YANG Chunyan.Construction method of two- [11]CHAKARESKI J.Vertex selection via a multi-graph analysis dimensional elementary dependent function in three nested [J].Original research article,2014,102:139-150. regions[J].Journal of liaoning technical university,2015, [12]JIANG J,LI W.The effect of interdependence on the 2:267-272 percolation of interdependent network[].Physica:a [20]YANG Chunyan,CAI Wen.Extenics:theory method and statistical mechanics and its applications,2014,41:573-581. application[M].Beijing:Science Press,2013. [13]STIPPINGER M.Enhancing resilience of interdependent 作者简介： networks by healing[]].Physica:a statistical mechanics 王娜娜，女，1989年生，硕士研究 and its applications,2014,416:481-487. 生，主要研究方向为优化运筹优化。 [14]蔡文，杨春燕，何斌.可拓学的基础理论与方法体系 [J].科学通报，2013,58(13)：1190-1199. CAI Wen,YANG Chunyan,HE Bin.Basic theory and methodology on extenics [J].Chinese science bulletin, 2013,58(13):1190-1199. [15]蔡文.可拓集合和不相容问题[J].科学探索学报，1983 高红，女，1976年生，副教授博士， (1):83-97. 主要研究方向为现代算法及其在管理 CAI Wen.Extension set and non-compatible problems[J]. 学中的和图论及其应用。主持国家自 Journal of scientific exploration,1983(1):83-97 然科学基金青年基金项目、省级自然科 [16]LI Q X,LIU S F.The general elementary dependent 学基金项目、深圳市交通局项目多项， function based on the side distance[C]//Proceedings of 发表学术论文20余篇。 the 7 th World Congresson Intelligence Control and Automation.Piscataway,2008:1325-1328. 刘巍，男，1955年生，教授，博士生 [17]LI Q X.The interval elementary dependent function based 导师，主要研究方向为优化管理。主持 on interval side-distance[C]//Proceedings of IEEE 2008 国家自然科学基金、深圳市交通局项目 ISECS International Colloquium on Computing, 多项，发表学术论文30余篇。 Communication,Control,and Management.Piscataway, 2008:674-678
［９］ＨＡＸＥＬＬＡ Ｐ Ｅ， ＫＩＥＳＴＥＡＤ Ｈ Ａ． Ｅｄｇｅ ｃｏｌｏｒｉｎｇ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａ ｐｈｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｓｍａｌｌ ｄｅｎｓｅ ｓｕｂｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｒｅｓｅａｒｃ ａｒｔｉｃｌｅ， ２０１５， ３３８（１２）： ２５０２－２５０６． ［１０］ＸＵＮ Ｙ， ＷＡＮＧ Ｍ． Ｒｏｂｕｓｔ ｖｉｓｕａｌ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｖｉａ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｐｈ ｒａｎｋｉｎｇ［Ｊ］． Ｎｅｕｒｏｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ２０１５， １５９： ３５－４３． ［１１］ＣＨＡＫＡＲＥＳＫＩ Ｊ． Ｖｅｒｔｅｘ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｖｉａ ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｐｈ ａｎａｌｙｓｉｓ ［Ｊ］． Ｏｒｉｇｉｎａｌ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｒｔｉｃｌｅ， ２０１４， １０２： １３９－１５０． ［１２ ］ ＪＩＡＮＧ Ｊ， ＬＩ Ｗ． Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｐｅｒｃｏｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｒｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｎｅｔｗｏｒｋ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａ： ａ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１４， ４１： ５７３－５８１． ［１３］ ＳＴＩＰＰＩＮＧＥＲ Ｍ． Ｅｎｈａｎｃｉｎｇ ｒｅｓｉｌｉｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｔｅｒｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｂｙ ｈｅａｌｉｎｇ［ Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａ： ａ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１４， ４１６： ４８１－４８７． ［１４］蔡文，杨春燕，何斌． 可拓学的基础理论与方法体系 ［Ｊ］． 科学通报， ２０１３， ５８（１３）： １１９０－１１９９． ＣＡＩ Ｗｅｎ， ＹＡＮＧ Ｃｈｕｎｙａｎ， ＨＥ Ｂｉｎ． Ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ｏｎ ｅｘｔｅｎｉｃｓ ［ Ｊ ］． Ｃｈｉｎｅｓｅ ｓｃｉｅｎｃｅ ｂｕｌｌｅｔｉｎ， ２０１３， ５８（１３）： １１９０－１１９９． ［１５］蔡文．可拓集合和不相容问题［Ｊ］． 科学探索学报， １９８３ （１）： ８３－９７． ＣＡＩ Ｗｅｎ． Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｓｅｔ ａｎｄ ｎｏｎ⁃ｃｏｍｐａｔｉｂｌｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ， １９８３（１）： ８３－９７． ［１６］ ＬＩ Ｑ Ｘ， ＬＩＵ Ｓ Ｆ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｉｄｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ７ ｔｈ Ｗｏｒｌｄ Ｃｏｎｇｒｅｓｓｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ． Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ， ２００８： １３２５－１３２８． ［１７］ＬＩ Ｑ Ｘ． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｓｉｄｅ⁃ｄｉｓｔａｎｃｅ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＩＥＥＥ ２００８ ＩＳＥＣＳ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｏｑｕｉｕｍ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ， Ｃｏｎｔｒｏｌ， ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ． Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ， ２００８： ６７４－６７８． ［１８］蔡文．物元模型及其应用［Ｍ］． 北京：科学技术文献出版 社，１９９４． ［１９］李志明，杨春燕． 三个区域套下二维初等关联函数的构 造方法［Ｊ］． 辽宁工程技术大学学报， ２０１５， ２： ２６７－２７２． ＬＩ Ｚｈｉｍｉｎｇ， ＹＡＮＧ Ｃｈｕｎｙａｎ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｗｏ⁃ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｒｅｅ ｎｅｓｔｅｄ ｒｅｇｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｌｉａｏｎｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ２０１５， ２： ２６７－２７２． ［２０］ＹＡＮＧ Ｃｈｕｎｙａｎ， ＣＡＩ Ｗｅｎ． Ｅｘｔｅｎｉｃｓ： ｔｈｅｏｒｙ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｍ］． Ｂｅｉｊｉｎｇ： Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ， ２０１３． 作者简介： 王娜娜，女，１９８９ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为优化运筹优化。 高红，女，１９７６ 年生，副教授，博士， 主要研究方向为现代算法及其在管理 学中的和图论及其应用。 主持国家自 然科学基金青年基金项目、省级自然科 学基金项目、深圳市交通局项目多项， 发表学术论文 ２０ 余篇。 刘巍，男，１９５５ 年生 ，教授，博士生 导师，主要研究方向为优化管理。 主持 国家自然科学基金、深圳市交通局项目 多项，发表学术论文 ３０ 余篇。 第 ４ 期 王娜娜，等：异质边多重图网络模型研究 ·４８１·
