《轧钢工艺学》课程PPT教学课件（轧制原理）第五章 轧制单位压力分布函数式

第五章轧制单位压力分布函数式主要内容>基本概念>Karman方程及其采利柯夫解>Orowan方程及其Sims解>Karman方程与Orowan方程的比较

第五章 轧制单位压力分布函数式 主要内容 Ø 基本概念 Ø Karman方程及其采利柯夫解 Ø Orowan方程及其Sims解 Ø Karman方程与Orowan方程的比较 

3.1基本概念口轧制单位压力轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单位压力，简称单位压力，常用P示之。口轧制压力轧制压力是单位压力p在整个接触面的水平投影面积上的总和，用P示之。故P的方向与V轴平行。水平投影面积系指将接触面积投影到水平方向后的值。P=B.J" p.(Rdo.cosO)=B.J° p.dx其中R·de=ds，ds = dx/cos0, B = (B+ b)/2

3.1 基本概念 p 轧制单位压力 轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单 位压力，简称单位压力，常用 示之。 p 轧制压力 轧制压力是单位压力 在整个接触面的水平投影面积上的总 和，用 示之。故 的方向与 轴平行。水平投影面积系指将接 触面积投影到水平方向后的值。 其中 ， p p P P y P B p Rd B p dx L L       0 0 ＝ (  cos) R  d  ds ds  dx cos，B  (B  b) 2

基本概念口平均单位压力平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力P的平均值。用P表示。P=P/F口建立卡尔曼单位压力微分方程的思路在一定的假设条件下，于变形区内任意取一微分体，分析作用在此微分体上的各种作用力，根据力平衡条件，将各力通过微分平衡方程联系起来，同时运用塑性方程，接触弧方程，摩擦规律及边界条件来建立单位压力微分方程，并求解

基本概念 p 平均单位压力 平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力 的平均值。 用 表示。 p 建立卡尔曼单位压力微分方程的思路 在一定的假设条件下，于变形区内任意取一微分体，分析作 用在此微分体上的各种作用力，根据力平衡条件，将各力通过 微分平衡方程联系起来，同时运用塑性方程，接触弧方程，摩 擦规律及边界条件来建立单位压力微分方程，并求解。 p p  P F p

Karman方程口假定条件：(1)材料为各向同性、均质连续体：(2）当很大时，宽展很小，可以忽略，△b=0；(3)变形区内各截面上的vα,沿高度方向不变一平截面假定；(4)变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向；(5)不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形，冷轧过程需考虑。(6)沿接触弧上的整个宽度上的单位压力相同，故以单位宽度为研究对象；

Karman方程 p 假定条件： (1) 材料为各向同性、均质连续体； (2) 当 很大时，宽展很小，可以忽略， ； (3) 变形区内各截面上的 、 沿高度方向不变—平截面假定； (4) 变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向； (5) 不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形，冷轧过程需考 虑。 (6) 沿接触弧上的整个宽度上的单位压力相同，故以单位宽度 为研究对象； x v  x b  0 h b

Karman方程口建立近似平衡微分方程在后滑区取一宽为的微分单元体小条，其上受力如图所示，则由ZX=0，有2(, + do )(y+dy)-2o,y+ 2t rds cos0-2pds sin0 = 0化简后doy+o,dy + dody +trds cos0- pds sin 0 = 0

Karman方程 p 建立近似平衡微分方程 在后滑区取一宽为的微分单元体小条，其上受力如图所示，则 由 ，有 化简后 X  0 2(  d )( y  dy)  2 y  2 ds cos  2 pdssin  0 x x x f d y   dy  d dy  ds cos  pdssin  0 x x x f

Karman方程现对该式进行近似处理并整理1忽略高阶无穷小量do,dy；方程两边同时乘以ydx：ds = dx/cos0 =dy/sing ;3do则得p dy-0dxydxy dxydox-dyp-o.=0Idx(1)dxyy口近似屈服条件由假定④，知i=-x,=-,=-p，这里p是单压02=-0,=-0m2力而非静水压力

Karman方程 现对该式进行近似处理并整理 ① 忽略高阶无穷小量 ； ② 方程两边同时乘以 ； ③ ； 则得 (1) p 近似屈服条件 由假定④，知 ，这里 是单压 力而非静水压力。 d dy  x ydx ds  dx cos dy sin     0 dx dy y p dx y dy dx y d x x f       0   dx y dy y p dx d x x f    p  1   x ,  2   z   m ,  3   y   p

Karman方程根据屈服条件,,-，=2k=K，即-αx-(-p)= Kp-o,=Kx=p-Kdo = dp将其代入(1)式中，得p_d=0dxydxy同理，前滑区的Karman方程为__=0dxydxy这就是著名的Karman微分方程式

Karman方程 根据屈服条件， ，即 将其代入(1)式中，得 同理，前滑区的Karman方程为 这就是著名的Karman微分方程式。  1  3  2k  K d dp p K p K p K x x x x              ( )    0 y τ dx dy y K dx dp f    0 y τ dx dy y K dx dp f

Karman方程口Karmann微分方程式的第二种表达形式将高阶无论穷小略去后，式dy+o,dy+trdscos-pdssin=0可写成如下的形式do,y + o,dy = -t rds cos 0 + pds sin 0d(o,y)= -t rds cos 0+pds sin 9根据屈服条件，o,=p-K，而y=ho/2，ds=Rdo代入上式，%0l(- )-2rpsin0 , o0)Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较

Karman方程 p Karmann微分方程式的第二种表达形式 将高阶无论穷小略去后，式 可写成如下的形式 根据屈服条件， ，而 代入上式， Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比 较。 d x y  xdy  f ds cos  pdssin  0 d x y   xdy   f ds cos   pds sin  d x y   f ds cos pdssin  x  p  K y  h 2， ds  Rd          2 sin cos f h p K R p d d   

卡尔曼方程的求解条件口单位摩擦力T，沿接触弧的分布规律①全滑动：(f =const)tf=f·p其中f为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多P分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。②全粘着：T =k=K/2接触面上的摩擦切应力tf已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律

卡尔曼方程的求解条件 p 单位摩擦力 沿接触弧的分布规律 ① 全滑动： 其中 为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规 律是适合的。很多 分布式的求解都应用了该规律，如采利柯 夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。 ② 全粘着： 接触面上的摩擦切应力 已达剪切屈服应力，所以该式适于 接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律。  f  f ＝f  p ( f  const) f p  f  k  K 2  f

卡尔曼方程的求解条件③混合摩擦：接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区滑动区： =f·p粘着区： T, =k=K/2这一摩擦规律为陈家民公式所采用。④液体摩擦：dvdy即摩擦切应力t，与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系数n称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用

卡尔曼方程的求解条件  f  f  p  f  k  K 2 ③ 混合摩擦： 接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区 滑动区： 粘着区： 这一摩擦规律为陈家民公式所采用。 ④ 液体摩擦： 即摩擦切应力 与流体的速度梯度成正比，这一规律称为 Newton定律，比例系数 称为液体的粘度系数。该规律仅适于 冷轧，为Nadai公式所采用。 dy dvx f     f 