高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法第七章机构动力学的基础知识武汉理工大学WuhanUniversityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 第七章 机构动力学的基础知识
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法刚体的线动量、角动量和学习国标质量参数7.1刚体动力学基础惯量矩阵的变换及惯量概球分离体分析法7.2平面机构动力学分析连杆机构力分析的虚功方法武汉理工大学Wuhan Universityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 学 习 目 标 7.1 7.2 刚体动力学基础 平面机构动力学分析 刚体的线动量、角动量和 质量参数 惯量矩阵的变换及惯量椭 球 分离体分析法 连杆机构力分析的 虚功方法
高等机构学第三章空间连杆机构运动分折的雉阵方法7.1刚体动力学基础7.1.1刚体的线动量、角动量和质量参数，角速度为做空间运动的质量为m的刚体，其上的连体坐标系为0刚体质心的坐标在C点，质心的坐标可按如下积分求得：Oxyz(7-1)rdm质心的矢径为零。当坐标原点与质心重合时刚体线动量P是刚体内所有质点动量的失量和，即(7-2)P = limm,(v +0xr)=v [dm+0×[rdmm,y, = limn>00n>00i=1ilm由式（7-1）得(7-3)P=m(vo+のxr)武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 7.1刚体动力学基础 7.1.1刚体的线动量、角动量和质量参数 做空间运动的质量为m的刚体，其上的连体坐标系为 ，角速度为 刚体质心的坐标在C点，质心的坐标 可按如下积分求得： （7-1） 当坐标原点与质心重合时， ，质心的矢径为零。 刚体线动量P是刚体内所有各质点动量的矢量和，即 （7-2） 由式（7-1）得 （7-3） Oxyz c r 1 d c m r r m m = 0 c r = 0 0 1 1 lim lim ( ) d d n n i i i i n n i i m m P m v m v r v m r m → → = = = = + = + 0 ( ) P m v r = + c
高等机构学第三章空间连杆机构运动分折的雉阵方法上式括号中的失量和就是质心的速度。所以作空间运动的刚体的线动量就等于质心速度与刚体质量的乘积，P=mv，写为列阵形式为(P)=m(ve)由于质点m的动量对于点O之矩定义为质点对点O的动量矩，或称角动量，即m(mv)=r×mv。动量矩是矢量，方向有r与v之叉积决定。刚体对点O的角动量是刚体中所有格质点对于同一点○的角动量的和(7-4)L。=Jrx(vo+0xr)dmm展开积分号内的失量叉积有L.=-v.×/rdm+/rx(oxr)dm(7-5)mm如果刚体作绕固定点转动，原点O置于固定点，有V。=0。或者将原点O选在质心，则积分|rdm=0。m武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 上式括号中的矢量和就是质心的速度。所以作空间运动的刚体的线动量就等于 质心速度与刚体质量的乘积， ，写为列阵形式为 由于质点m的动量对于点O 之矩定义为质点对点O的动量矩，或称角动量，即 。动量矩是矢量，方向有r与v之叉积决定。刚体对点O 的角动 量是刚体中所有格质点对于同一点O 的角动量的和 （7-4） 展开积分号内的矢量叉积有 （7-5） 如果刚体作绕固定点转动，原点O置于固定点，有 。或者将原点O选在 质心，则积分 。 P mv = c P m v = c 0 m mv r mv ( ) = 0 0 (v r) d m L r m = + 0 0 d ( ) d m m L v r m r r m = − + 0 v = 0 d 0 m r m =
高等机构学第三章空间连杆机构运动分折的雉阵方法这两种情况下，刚体对O点的角动量简化为L。=[rx(oxr)dm(7-6)m将叉积展开后得L。= ([[(r·r)o-(r·o)r]dm( 7-7)m将失量r和同时在动系中分解=(r,,r）,の=(,の），则L =J[(rr +rr,+rr)o-(ro +r,o, +r.o.)r]dm7[(c?+r?)o.-rro,-rro(7-8 )I(r?+r)o,-rr,o-rro.dm(r?+r)ox-rro,-rroy武汉理工大学WuhanUniversityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 这两种情况下，刚体对O点的角动量简化为 （7-6） 将叉积展开后得 （7-7） 将矢量r和 同时在动系中分解， ，则 （7-8） 0 ( r) d m L r m = 0 ( ) ( ) d m L r r r r m = − ( , , ) , ( , , ) T T x y z x y z r r r r = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 d d x x y y z z x x y y z z m y z x x y y z x x z x y x y x y z z m x y x z x x y z y L r r r r r r r r r r m r r r r r r r r r r r r m r r r r r r = + + − + + + − − = + − − + − −
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法上式可进一步表示为(r?+r?)o -rrrL(7-9)(r?+r)o,-rro -rro.dm=3L.(r?+r)ox-rrox-rroy式中，L.的关于动系的三个分量记以L,Ly,L：。定义：Ix =[(r? +r°)dm= J(r2 -r°)dmIm= J(r?+r°)dm=[(r2-r))dm1_ =[(c? +r3)dm=[(r2 -r°)dmIz、1w、1.分别称之为刚体m对轴x,y和z的惯性矩。三个积分为I, =I,a=Jrr, dm,I,=I, =Jrrdm,Iα=I=[rr dm武汉理工大学WuhanUniversityofTechnology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 上式可进一步表示为 （7-9） 式中， 的关于动系的三个分量记以 。 定义： 分别称之为刚体m对轴 x, y和z的惯性矩。三个积分为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 d y z x x y y z x x x z x y x y x y z z y m z x y x z x x y z y r r r r r r L L r r r r r r m L L r r r r r r + − − = + − − = + − − L0 , , L L L x y z ( ) ( ) 2 2 2 2 d d xx y z x m m I r r m r r m = + = − ( ) ( ) 2 2 2 2 d d yy z x y m m I r r m r r m = + = − ( ) ( ) 2 2 2 2 d d zz x y z m m I r r m r r m = + = − xx yy zz I I I 、 、 d , d , d xy yx x y yz zy y z zx xz z x m m m I I r r m I I r r m I I r r m = = = = = =
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法Iw、I、I分别称之为刚体m对轴xy,yz和zx的惯性积。积分2+r?+r:°)dm=(r2称为极惯性矩。它与三个轴惯性矩有如下关系：I。=(I+I+I)将以上各定义所代表队参量带入式（7-9）得LIuo-Iuo,-Iuo.L=3L,[=ImO,-IOx-I,O.L.IO.-IOx-1,oy最后，上式可表示为如下的简洁形式：(L]=[](0)(7-10)式中[Ix -I, -[1]=]--ly Iw -Iy.(7-11)-lx -y I.武汉理工大学2WuhanUniversityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 分别称之为刚体m对轴 xy, yz和 zx的惯性积。积分 称为极惯性矩。它与三个轴惯性矩有如下关系： 将以上各定义所代表队参量带入式（7-9）得 最后，上式可表示为如下的简洁形式： （7-10） 式中 （7-11） xy yz zx III 、 、 ( ) 2 2 2 0 = d x y z m I r r r m + + 0 ( ) 1 = 2 xx yy zz I I I I + + 0 = x xx x xy y xz z y yy y yx x yz z z zz z zx x zy y L I I I L L I I I L I I I − − = − − − − L I 0= = xx xy xz yz yy yz zx zy zz I I I I I I I I I I − − − − − −
高等机构学第三章空间连杆机构运动分折的雉阵方法这里由惯性矩及惯性积构成的3×3惯量矩阵[I]是对称矩阵。各元素之量纲均为。M在对角线上的元素是惯性矩，其他为惯性积。此二阶矩阵表示的是一个二阶惯量张量。武汉理工大学WuhanUniversityofTechnology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 这里由惯性矩及惯性积构成的3ⅹ3惯量矩阵[I]是对称矩阵。各元素之量纲 均为 。 在对角线上的元素是惯性矩，其他为惯性积。此二阶矩阵表示的是 一个二阶惯量张量。 2 ML
高等机构学第三章空间连杆机构运动分折的雉阵方法7.1.2惯量矩阵的变化及惯量椭球因为惯量矩阵的数值与坐标系的位置和方向有关，下面分两种情况讨论惯量矩阵在不同坐标系中如何计算。1.坐标系平移的情况式（7-10）中惯量矩阵[1]也可以写成张量形式根据式（7-7）有I=[[r?E -rr]dm(7-12)m当点o与质心0.不重合时，以r。和p表示o.相对点和点P相对o.的失径，如图7-1，则有r=r+p将上式代入式（7-12），利用pdm=0,dm=m导出I=l。+m(r?E-rr)(7-13)1.式中，为刚体对质心的惯量张量。图7-1原点0与质心0武汉理工大学WuhanUniversityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 7.1.2 惯量矩阵的变化及惯量椭球 因为惯量矩阵的数值与坐标系的位置和方向有关，下面分两种情况讨论 惯量矩阵在不同坐标系中如何计算。 1.坐标系平移的情况 式（7-10）中惯量矩阵[I]也可以写成张量形式。 根据式（7-7）有 （7-12） 当点 与质心 不重合时，以 和 表示 相对点 和点P相对 的矢径 ，如图7-1，则有 将上式代入式（7-12），利用 导出 （7-13） 式中， 为刚体对质心的惯量张量。 图7-1 原点 与质心 2 = d m I r E rr m − O Oc c r Oc O Oc c r r = + d 0, d m m m m m = = ( ) 2 = c c c c I I m r E r r + − c I O Oc
高等机构学第三章空间连杆机构运动分折的雉阵方法I确定以后，可利用式（7-13）计算刚体对任意点O的惯量张量。式（7-13）各项向Oxyz投影写成矩阵形式如下：[y?+z?-x.ye-z.Xez+x?[10] =[1]+m-yc(7-15)-x.ye[-zex。-yez。 x?+y?式中I为刚体对质心的惯量张量相对O.为原点平行与Oxyz各坐标轴的投影矩阵。因此已知刚体相对质心的惯量矩阵I1，可利用式（7-15）计算刚体相对任意点O的惯量矩阵2.不同方向坐标系之间惯量矩阵的变换对角速度在两个坐标系中的分量写出如下变换：(7-16)(0]=[G2 ](02]上式表示同一构件上的角速度在两个不同坐标系中的分量的变换关系。其中[c2为方向余弦矩阵。刚体转动动能按两不同坐标系可以写为两种形式，但两种形式计算的动能应相等，有T=(o,) [2](o,)=() [()(7-17)武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法 确定以后，可利用式（7-13）计算刚体对任意点O 的惯量张量。 式（7-13）各项向 Oxyz投影写成矩阵形式如下： （7-15） 式中， 为刚体对质心的惯量张量相对 为原点平行与Oxyz各坐标轴的投影 矩阵。因此已知刚体相对质心的惯量矩阵 ，可利用式（7-15）计算刚体 相对任意点O的惯量矩阵。 2.不同方向坐标系之间惯量矩阵的变换 对角速度在两个坐标系中的分量写 出如下变换： （7-16） 上式表示同一构件上的角速度在两个不同坐标系中的分量的变换关系。其中 为方向余弦矩阵。刚体转动动能按两不同坐标系可以写为两种形式，但两种形 式计算的动能应相等，有 （7-17） c I 2 2 2 2 0 2 2 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c y z x y z x I I m x y z x y z z x y z x y + − − = + − + − − − + I c Oc I c 1 12 2 =c c12 2 2 2 1 1 1 1 1 = = 2 2 T T T I I