高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的瓶阵方法第三章空间连杆机构运动分析的矩阵方法武汉理工大学WuhanUniversityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法坐标变换矩阵的推导共同点的坐标变换方向余弦矩阵的性质3.1方向余弦矩阵的表示刚体的定点转动方向余弦矩阵的应用学习目标方向余弦矩阵的一次方向余弦矩阵的导数导数和角速度矩阵3.2刚体的瞬时转动方向余弦矩阵的二次导数和角加速度矩阵不共原点的坐标变换不共原点的坐标变换3.3刚体的位移矩阵和螺刚体的一般运动旋位移参数用逆矩阵云算法求刚体的位移矩阵用矩阵法研究复杂的3.4位置、速度、加速度相对运动封闭性的矩阵方程式武汉理工大学Wuhan Universityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 学 习 目 标 共同点的坐标变换 刚体的定点转动 方向余弦矩阵的导数 刚体的瞬时转动 不共原点的坐标变换 刚体的一般运动 用矩阵法研究复杂的 相对运动 3.1 3.2 3.3 3.4 坐标变换矩阵的推导 方向余弦矩阵的性质 方向余弦矩阵的表示 方向余弦矩阵的应用 方向余弦矩阵的一次 导数和角速度矩阵 方向余弦矩阵的二次 导数和角加速度矩阵 不共原点的坐标变换 刚体的位移矩阵和螺 旋位移参数 用逆矩阵云算法求刚 体的位移矩阵 位置、速度、加速度 封闭性的矩阵方程式
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法3.1共原点的坐标变换和刚体的定点的转动3.1.1坐标变换矩阵的推导一一方向余弦矩阵2PX.y.Z两组共原点的坐标，i为旧系，为新系YX,与Xi、Yi、Z的夹角为α1、β1、Y1;YrYj与Xi、Yi、Z的夹角为α2、β2、2;Z;与Xi、Yi、Z的夹角为α3、β3、Y3。图3.1坐标变换示意图武汉理工大学WuhanUniversity of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 3.1 共原点的坐标变换和刚体的定点的转动 3.1.1 坐标变换矩阵的推导 ——方向余弦矩阵 两组共原点的坐标, i为旧系，j为新系。 图3.1 坐标变换示意图
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法用i、5、，j、jz、is代表两坐标系的单位失量则有：o(Xy.Z)=jicosα+jzcosα2+jcosα31i2=jicosβ1+j2cosβ2+ j3cosβ3(3-1)i = ji cos1 +j2 cos2 + j cos3YJ= cosα +izcosβ+ i cos1jz = i1 cosα2 + i2 cos β2 + is cos2(3-2)j3= ii cosα + iz cos β + is cos3图3.1坐标变换示意图设空间有一点p，其径为r，p点在两坐标系的坐标分别是Xi、Yi、Zi和Xj、Yj、Zj。r= xii+yii2+zis=xji+yj2+zj3(3-3)武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 (3-1) (3-2) (3-3) 图3.1 坐标变换示意图
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法分别用i，i2，i点乘式(3-3），可得：x,=xjcosα1+yicosα2+Zicosα3yi=X,cosβi+yicosβ2+Zi cosβ3Zi=XjCOSY1+y;COSY2+ZiCOS3(); = [Ci](r)j(3-4)写成矩阵形式：cosα2Tcosα1cosα3][xi][xj]cosβ1cosβ2cosβ3[Ci] =()i=yiyjr[zi][cos1COS2COS3[3j]方阵中的每个元素都是坐标方向之间的余弦，所以叫做方向余弦矩阵武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 写成矩阵形式： （3-4） 方阵中的每个元素都是坐标方向之间的余弦，所以叫做方向余弦矩阵
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法ICi|是由j变到的矩阵。与[Cil是不同的。Cil的组成为：xjyjZjXi C11 = cos(xi,xj) C12 = cos(xi,x)) C13 = cos(xi,x))(3-6)yi C21 = cos(yi,xj) C22 = cos(yi,yj) C23 = cos(yi,zj)ZiC31 = cos(zi,xj) C32 = cos(zi,yj) C33 = cos(zi,zj)对于两个没有相对旋转的坐标系（空间平移），则有：C11 = C22 = C33 = 1其余元素均为零，这时方向余弦矩阵为单位矩阵[1]。武汉理工大学WuhanUniversityof Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 (3-6) 对于两个没有相对旋转的坐标系（空间平移）,则有：
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法3.1.2方向余弦矩阵的性质1.方向余弦矩阵。lcil与[ci]互为转置。点的坐标变换公式为：(n)i = [ci](n);(); = [Ci](7)i参照[Cil的组成，可以写出[Cil的组成：[C11C12C13[C11C21C311[Ci] =C21C22C23[Ci] =C12C32C22[C31[C13C33C32C33JC23也就是：[Ci] = [Ci]” 或 [Cil] =[Ci]"武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 3.1.2 方向余弦矩阵的性质 也就是：
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法2.方向余弦矩阵中9个元素中，只有3个是独立的，各元素之间必须满足下面6个关系式。c211 +c21 +c231= 1c212 + c2 22 + c232 = 1任一列元素的平方和为1Zc213 + c223 + c233 = 1另外，由于三个坐标是两两垂直的yiC11C12+C21C22+C31C32=01列乘2列C12C13+ C22C23 + C32C33 = 0C11C13+C21C32+C31C33=0图3.2坐标变换示意图2由于存在6个关系式，只有3个彼此不在同一行或同一列的元素才是独立的。武汉理工大学WuhanUniversity of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 2. 方向余弦矩阵中9个元素中，只有3个是独立的，各元素之间必须满足下面6个 关系式。 任一列元素的平方和为1 β α 另外，由于三个坐标是两两垂直的 1列乘2列 由于存在6个关系式，只有3个彼此不在同一行或同一列的元素才是独立的。 图3.2 坐标变换示意图2
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法3.方向余弦矩正为正交矩阵(3-9)[Cu]lCji] = [CillCi] = []有：[ci]-1=[ci]",逆矩阵就是转置矩阵。4.方向余弦矩阵的行列式等于1对(3-9)两边都取行列式，由于I[cu] = [Ci]]I[] = 1I[Cu,][;i] = [Cu] = [C,i]2故:I[Ci;]| = 1武汉理工大学DWuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 3．方向余弦矩正为正交矩阵 4．方向余弦矩阵的行列式等于1 对(3-9)两边都取行列式，由于 故：
高等机构学第三章空间连杆机构运动分析的短阵方法3.1.3方向余弦矩阵的表示1.绕一个坐标轴旋转的坐标变换(1)绕Z轴旋转相对于i坐标系来讲，i坐标系是绕Z轴旋转角。30角的正负按右手法则来定。（拇指表示Z轴，四指转向代表0正向）由（3-6）可写出坐标变换矩阵：A图3.3绕Z轴旋转的坐标变换01[cos-sine0[c]=(3-11)sinecosa100武汉理工大学Wuhan University of Technology
Wuhan University of Technology 武汉理工大学 高等机构学 第三章 空间连杆机构运动分析的矩阵方法 3.1.3方向余弦矩阵的表示 (3-11) 1. 绕一个坐标轴旋转的坐标变换