第六章图形变换 主要介绍 ■二维几何变换 ■窗口到视区的变换 维几何变换 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 1 第六章 图形变换 主要介绍 ◼ 二维几何变换 ◼ 窗口到视区的变换 ◼ 三维几何变换
内容 以下几方面的内容: 数学基础:矢量、矩阵及运算 维几何变换 维几何变换 投影变换 视窗变换 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 2 以下几方面的内容： 数学基础：矢量、矩阵及运算 二维几何变换 三维几何变换 投影变换 视窗变换 内容
变换的数学基础 盛矢量 ■矢量和 u. +v U+v=lu+v u +v 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 3 变换的数学基础 ◼ 矢量 ◼ 矢量和 = z y x u u u U = z y x v v v V + + + + = z z y y x x u v u v u v U V
变换的数学基础 n矢量的数乘 k k●U=k ku ■矢量的点积 U·=l1vx+l1vy+l2v 性质U=U U●=0U⊥ U●U=0<U=0 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 4 变换的数学基础 ◼ 矢量的数乘 ◼ 矢量的点积 ◼ 性质 • = z y x ku ku ku k U x x y y z z U •V = u v + u v + u v U •V =V •U U •V = 0U ⊥V U •U = 0U = 0
变换的数学基础 领m多■矢量的长度 √U·U=√u.2+l2+l2 单位矢量 矢量的夹角 cOS 6 ■矢量的叉积 k U×V=1,l,L 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 5 变换的数学基础 ◼ 矢量的长度 ◼ 单位矢量 ◼ 矢量的夹角 ◼ 矢量的叉积 2 2 2 U U U = ux + uy + uz = • U V U V • • cos = x y z x y z v v v u u u i j k U V =
变换的数学基础 r矩阵 nxn 阶矩阵 ■n阶方阵 ■零矩阵 ■行向量与列向量 n单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 ■矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 6 变换的数学基础 ◼ 矩阵◼ 阶矩阵 ◼ n阶方阵 ◼ 零矩阵 ◼ 行向量与列向量 ◼ 单位矩阵 ◼ 矩阵的加法 ◼ 矩阵的数乘 ◼ 矩阵的乘法 ◼ 矩阵的转置 ◼ 矩阵的逆 m n
变换的数学基础 矩阵的含义 矩阵:由m×n个数按一定位置排列的一个 整体,简称m×n矩阵。 a11 12 ain C21a22.2 amI am2 amn 2021/1/21 浙江大学计算机图形学 7
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 7 矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。 m m mn n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 A= 其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素 变换的数学基础
变换的数学基础 矩阵运算 加法 设A,B为两个具有相同行和列元素的矩阵 a1+b11a12+b12….an+bn A+B aml+6ml am2+bm2. amn +bmn 数乘 kA=[k*a1]1=1.m,j=1,,m 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 8 矩阵运算 ◼ 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B = ◼ 数乘 kA = [ k*aij]|i=1...m, j=1,.. n + + + + + + b ... ... ... ... b ... 1 1 2 m2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 m m m mn mn n n a b a a b a b a a b 变换的数学基础
变换的数学基础 乘法 设A为3×2矩阵,B为2×3矩阵 ta +a1 C=A·B IlI 12021 b2+a12b2+a1 3032 ab,ta ta b 1012 tab tab 23032 m xp m×nDn×p ∑a1*b ■单位矩阵 n 在一矩阵中,其主对角线各元素a1=1,其余 皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常 记作I n m×nIn 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 9 ◼ 乘法 设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵 C = A ·B = C=Cm×p = Am ×n ·Bn×p cij = ∑aik*bkj ◼ 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余 皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常 记作In 。 Am ×n = Am ×n ·In + + + + + + + + a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 k=1,n 变换的数学基础
变换的数学基础 逆矩阵 若矩阵A存在AA=AA=I,则称A为A的逆矩 阵 ■矩阵的转置 n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作/得到的 把矩阵A=(a)mxn的行和列互换而 (AT=A (A+B)1=A+B1 a4)7 aA (AB)=BA 当A为n阶矩阵,且A=A,则A是对称矩阵 2021/1/21 浙江大学计算机图形学
2021/1/21 浙江大学计算机图形学 10 ◼ 逆矩阵 若矩阵A存在A·A -1 =A-1 ·A=I，则称A -1为A的逆矩 阵 ◼ 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的 n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作A T 。 (AT ) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A·B)T = BT ·A T 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。 变换的数学基础