7旋转运动 摄象机的旋转所能获得的关于物体的有用信息却并不能增加,这 点可以从图3.19得到解释。 X,YXY xy (a' a,b) Z R 图3.19围绕光心的摄象机旋转 图320坐标系旋转与外界相对坐标的逆旋转等价
3.7旋转运动 摄象机的旋转所能获得的关于物体的有用信息却并不能增加，这一 点可以从图3.19得到解释。 图3.19 围绕光心的摄象机旋转 P ( , ) a b ( , ) a' b' X' Y' , X Y, x' y' , x y, O o o' R Z Z' 图3.20 坐标系旋转与外界相对坐标的逆旋转等价
37旋转变换 摄象机的旋转用旋转矩阵R=(R),j=12,3表示,注意到旋转矩阵在空间上必须满足 保角、保距等性质,因而R为正交的单位矩阵,即det[R]=1且RR′=RR=1 于是对于空间中N矢量m的点旋转关系表示为 m= Rm (3.39) 类似地,设视平面上直线l的N向量为n,当摄象机旋转,新旧N向量之间的关系为 n= R'n (3.40) 写成分量形式有 命题316在R=(R),=123的旋转变换下,视平面上”点将被映射为b),并 满足 RMa+ R2b+ r3f Rga+R236+ R33f Ra+R、b+R (341) b Rua+R236+Rnf
3.7.1旋转变换 摄象机的旋转用旋转矩阵 R = (Rij),i, j = 1,2,3表示，注意到旋转矩阵在空间上必须满足 保角、保距等性质，因而R为正交的单位矩阵，即det[R] =1且RR R R I t t = = 。 于是对于空间中N矢量m的点旋转关系表示为 m R m t = (3.39) 类似地，设视平面上直线l的N向量为n，当摄象机旋转，新旧N向量之间的关系为 n R n t = (3.40) 写成分量形式有 命题3.16 在 R = (R ),i, j = 1,2,3 ij 的旋转变换下，视平面上 (a ,b) 点将被映射为(a¢,b¢) ，并 满足： ï ï î ï ï í ì + + + + = + + + + = R a R b R f R a R b R f b f R a R b R f R a R b R f a f 13 23 33 12 22 32 13 23 33 11 21 31 ' ' (3.41)
命题317在R=(R)ij=12,3的旋转变换下,视平面上的直线4+B+C=0被映射成 Ax+By+C'=0,并满足以下关系, A'=k(R,A+R2B+R,clf B=k(R2A+R2B+R2C/∫) C=k(RA+R3B+RC/f) 其中k为非0的任意常数。 X 旋转矩阵的计算 在视觉研究中往往关心的是通过某些条件 求解单位正交变换矩阵R。为了讨论的方便, 从现在起对N矢量规定方向: 1.点的N向量m=(mm2m)中的 m120,这是由于所看到的物体均在视点的前 万; 图321直线与它的N向量之间的关系 2视平面上的直线带有方向,直线的N向量 n与直线之间的关系满足右手螺旋法则,如图 321所示。 基于以上约定,有
命题 3.17 在R = (R ),i, j =1,2,3 ij 的旋转变换下，视平面上的直线Ax + By + C = 0 被映射成 A¢x + B¢y + C¢ = 0，并满足以下关系， ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì = + + = + + = + + C k R A R B R C f B k R A R B R C f A k R A R B R C f 13 23 33 12 22 32 11 21 31 ' ' ' 其中k为非0的任意常数。 旋转矩阵的计算 在视觉研究中往往关心的是通过某些条件 求解单位正交变换矩阵R。为了讨论的方便， 从现在起对N矢量规定方向： 1. 点 的 N 向 量 ( ) t m = m1 m2 m3 中 的 0 m3 ³ ，这是由于所看到的物体均在视点的前 方； 2.视平面上的直线带有方向，直线的N向量 n与直线之间的关系满足右手螺旋法则，如图 3.21所示。 基于以上约定，有 O X Y Z x y o n l 图3.21 直线与它的N向量之间的关系
定理313当给定视平面上的点P和过该点的直线l,同时也给定旋转后对应点P′ 和对应过该点的直线'后,则由P到Pl到〃(包括指向的旋转变换矩阵R可以被 唯一地确定。 R X R2R Z R (b) 图32坐标变换关系 证明:设点P和P的N矢量分别m和m,直线/和l的N矢量分别为n和n,由邻接关 系有 (m,n)=0 (m,n)=0 l=n×n ,n2,m的关系如图32(a)所示
定理 3.13 当给定视平面上的点 P 和过该点的直线 l，同时也给定旋转后对应点 P' 和对应过该点的直线 l' 后，则由 P 到 P'、l 到 l' (包括指向)的旋转变换矩阵 R 可以被 唯一地确定。 O X Y Z x y o n l P u m l n m m' n' l' O O e1 e2 e3 O R R2 1 t R2 R1 (a) (b) 图3.22 坐标变换关系 证明：设点P和P' 的N矢量分别m和m' ，直线l和l' 的N矢量分别为n和n' ，由邻接关 系有 î í ì ¢ ¢ = = ( , ) 0 ( , ) 0 m n m n 令 î í ì = ´ = ´ u' n' m' u n m u, n,m的关系如图3.22(a)所示
由于u,n,m和n,n',m各自是相互正交的单位矢量,分别用其构成3×3矩阵并令之 和R,有 R=(u n m) R2=(un'n’m) 因而R和R2都是旋转变换矩阵,R将以{1e2e}为基底的坐标系变换到 {unm}为基底的坐标系,B2将以{e1e2c}为基底的坐标系变换到以u'n'm 为基底的坐标系,故R(=R)将unm}变换到ee2e},RR将lnm}变 到{'n'm’(如图322b所示),于是R可写为 R=RR=(u'n' mu n m) [证毕] 由于实际处理中并非总能确定直线的方 向,往往是双解,需有一个从双解中选择合 适解的问题。 e 图3.23旋转轴1与旋转角θ
q m m' l O 图 3.23 旋转轴 l 与旋转角q 由于u,n,m和u¢,n¢,m¢各自是相互正交的单位矢量，分别用其构成3´ 3 矩阵并令之为R1 和R2，有 î í ì = ¢ ¢ ¢ = ( ) ( ) 2 1 R u n m R u n m 因 而 R1 和 R2 都是旋转变换矩阵，R1 将以 {e1 e2 e3} 为基底的坐标系变换到以 {u n m}为基底的坐标系，R2 将以{e1 e2 e3}为基底的坐标系变换到以{u¢ n¢ m¢} 为基底的坐标系，故 ( ) 1 1 1 t R = R - 将{u n m}变换到{e1 e2 e3} ， t R2R1 将{u n m} 变换 到{u¢ n¢ m¢}(如图3.22(b)所示)，于是R可写为 ( )( ) t t R = R2R1 = u ' n' m' u n m [证毕] 由于实际处理中并非总能确定直线的方 向，往往是双解，需有一个从双解中选择合 适解的问题
命题3.18设N向量为m′的点由N向量为m的点经旋转变换而得到,则旋转轴的单位 矢量l,以及按右手螺旋方向的旋转角度θ由下式决定 1=Mxml l0=cos"(m, m) (3.43) 证明:上式中的与m、m正交,{mm构成右手系(如图323),m按右螺旋方向 旋转θ(以为轴)得到映射为m,于是θ=cos(m,m) [证毕 定理314绕单位矢量l=(l2)为轴,按右手螺旋方向旋转角为的旋转的变换 矩阵R由下式给定 coS0+/ (1-cos0) 4 7,(1-cos0)-1 sin 0 77(1-cos0)+l, sin 0 R=L4 (1-cos0)+L, sine cos0+12(1-cos])I,(1-cos 0 )-4, sin 0 (3.44 4,7(1-cos0)-L sin 8 17, (1-cos0+l g coS0+1(1-cos0)
命题3.18 设N向量为m' 的点由N向量为m的点经旋转变换而得到，则旋转轴的单位 矢量l，以及按右手螺旋方向的旋转角度q由下式决定 [ ] î í ì = = ´ - cos ( , ') ' 1 m m l N m m q (3.43) 证明：上式中的l与m、m' 正交，{m m' l}构成右手系(如图3.23)，m按右螺旋方向 旋转q(以l为轴)得到映射为m'，于是 cos ( , ') 1 m m - q = 。 [证毕] 定理3.14 绕单位矢量 ( ) t l l l l = 1 2 3 为轴，按右手螺旋方向旋转角为q 的旋转的变换 矩阵R由下式给定 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - + + - - + + - - - + - - - - + = (1 cos ) sin (1 cos ) sin cos (1 cos ) (1 cos ) sin cos (1 cos ) (1 cos ) sin cos (1 cos ) (1 cos ) sin (1 cos ) sin 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 2 1 q q q q q q q q q q q q q q q q q q ll l l l l l l l l l l l l l ll l l l l R (3.44)
P 证明:如图324所示,旋转的点从P移到P,点P在旋Q 转轴l上的正投影为Q,则OP=OP,QP=QP且 OQQP,OQ⊥QP,令OP=r,OP=r,P在QP上 的垂足为H,则 r=00+0H+ HP (345 而矢量OQ为矢量r在单位矢量l方向上的正投影,因 此 图3.24单位矢量l为 00=(r, 7/ (346) 轴、角度为θ的旋转 同样矢量QH为QP在P方向上的正投影,由P=P,因而有 OH OP OP'cos0=QPcos0=(OP-OO)cos0=(r-(r, D /)cose (347) OP 另一方面,矢量P与和均正交,长度为OPn0,又由OP=QP=×川有 1×r HP xrop'sine=/xrsin 348)
Q l P' H P q r r' 图 3.24 单位矢量 l 为 轴、角度为q的旋转 证明：如图3.24所示，旋转的点从P移到P' ，点P在旋 转轴 l上的正投影为Q ， 则OP = OP¢ ，QP = QP¢ 且 OQ^QP，OQ^QP¢，令OP = r ® ，OP¢ = r ® ，P' 在QP上 的垂足为H，则 ® ® ® r'= OQ+ QH + HP¢ (3.45) 而矢量 ® OQ 为矢量 r 在单位矢量 l 方向上的正投影，因 此 OQ = (r,l)l ® (3.46) 同样矢量QH ® 为QP¢ ® 在QP ® 方向上的正投影，由于QP = QP¢ ，因而有 QP cosq QPcosq (OP OQ)cosq (r (r,l)l)cosq QP QP QH = ¢ = = - = - ® ® ® ® ® (3.47) 另一方面，矢量 ® HP¢ 与l和r均正交，长度为OP¢sinq ，又由QP¢ = QP = l ´ r 有 QP sinq l rsinq l r l r HP ¢ = ´ ´ ´ ¢ = ® 3.48)
将(346)(3.47)和(348)式代入(345)式后有 r'=rose+lxrsin0+(1-cosO(r, /)u 整理为r′=Rr的形式既得(344)式 [证毕] 在计算旋转矩阵时除了上面的方法外,一般更关心各种鲁棒性算法,但由于实 际处理中一般很少只有单纯的旋转,而是旋转与平移的结合
将(3.46),(3.47)和(3.48)式代入(3.45)式后有 r'= r cosq + l ´ rsinq + (1- cosq)(r,l)l 整理为r¢ = Rr 的形式既得(3.44)式。 [证毕] 在计算旋转矩阵时除了上面的方法外，一般更关心各种鲁棒性算法，但由于实 际处理中一般很少只有单纯的旋转，而是旋转与平移的结合
X, 38—般刚体运动 刚体运动过程中不考虑诸如形变和热运动等形 式 R 在以下的讨论中,如无特殊说明均假定: 1.光心是固定的,仅按R旋转; 2.摄象机方向是固定的,仅按向 A,B,c) 量(ABC)平移 3.R和(4BC)都是关于运动前 O XYZ坐标定义的。 图3.25摄象机自由运动 381—般刚体运动的坐标变换 引起的坐标变换 考虑空间中点P在摄象机运动前后的坐标关系,设摄象机的平移运动向量 为(ABC),旋转运动为R,则运动后坐标P(X,Y,z)与运动前坐标 P(X,Y,)之间的关系(如图325)满足 X=R1(X-A)+R1(Y-B)+R3(Z-C) Y=R2(X-A)+R2(Y-B)+R2(Z-C) (349) z=R2(X-A)+R2:(Y-B)+R3(Z-C
O ( , , ) A B C X Y, R O' X' Y' , P Z' Z 图 3.25 摄象机自由运动 引起的坐标变换 3.8一般刚体运动 刚体运动过程中不考虑诸如形变和热运动等形 式。 在以下的讨论中，如无特殊说明均假定： 1. 光心是固定的，仅按R旋转； 2. 摄象机方向是固定的，仅按向 量(A B C) t平移； 3. R和( A B C) t 都是关于运动前 XYZ坐标定义的。 3.8.1一般刚体运动的坐标变换 考虑空间中点P在摄象机运动前后的坐标关系，设摄象机的平移运动向量 为 t (A B C) ，旋转运动为R ，则运动后坐标 P (X ' ,Y' ,Z') 与运动前坐标 P(X ,Y,Z) 之间的关系(如图3.25)满足 ï î ï í ì = - + - + - = - + - + - = - + - + - ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) 13 23 33 12 22 32 11 21 31 Z R X A R Y B R Z C Y R X A R Y B R Z C X R X A R Y B R Z C (3.49)
X=RX+R,I+rZ+A Y=RX+R,r+,2+ B (3.50) Z=RX+R, Y+R Z+C 旦给定了旋转矩阵R和平移向量(ABC)则摄象机或空间点运动引起的空间坐 标变换关系就可以确定了。称旋转矩阵R,(,j=123)和平移向量ABC)y等12参 量为运动参数。 在讨论由运动所产生的坐标变换时,由于寻找空间点的鲁棒性比空间平面要差得 多,因此在很多情况下考虑空间平面的坐标变换关系。将空间中的平面表示为 Z=pX+gr+r 其中称为平面的斜率,r为沿Z轴到平面的距离。当摄象机运动后,在新坐标 系下平面表示为 Z=pX+qtr 关心平面参数p,q,门与q以之间的关系 命题319对于由运动参数2,4BCk=123)所确定的摄象机运动,平面参数 p,g,ry 和 的变换关系为 p=R, Pf29-R,9'=-R2P+R2 q-2,r=-/+ Ap+ Bq-C R.P+rg-R RP+r, g-R R.P+r q-R (3.51) 证明:略
ï î ï í ì = + + + = + + + = + + + Z R X R Y R Z C Y R X R Y R Z B X R X R Y R Z A ' ' ' ' ' ' ' ' ' 31 32 33 21 22 23 11 12 13 (3.50) 一旦给定了旋转矩阵R和平移向量 t (A B C) 则摄象机或空间点运动引起的空间坐 标变换关系就可以确定了。称旋转矩阵 ( , 1,2,3) Ri, j i j = 和平移向量( A B C) t 等12参 量为运动参数。 在讨论由运动所产生的坐标变换时，由于寻找空间点的鲁棒性比空间平面要差得 多，因此在很多情况下考虑空间平面的坐标变换关系。将空间中的平面表示为 Z = pX + qY + r 其中称{p,q}为平面的斜率，r为沿Z轴到平面的距离。当摄象机运动后，在新坐标 系下平面表示为 Z'= p' X '+q'Y'+r' 关心平面参数{p¢ , q¢ ,r¢}与{p, q,r}之间的关系。 命题3.19 对于由运动参数{ , , , }( , 1,2,3) Ri, j A B C i j = 所确定的摄象机运动，平面参数 {p,q,r}和 {p ¢ ,q ¢ ,r ¢}的变换关系为 13 23 33 13 23 33 12 22 32 13 23 33 11 21 31 ' , ' , ' R p R q R r Ap Bq C r R p R q R R p R q R q R p R q R R p R q R p + - + + - = - + - + - = - + - + - = - (3.51) 证明：略