第三章 计算机视觉中的空间关系
第三章 计算机视觉中的空间关系
3.1成象模型与视觉坐标系 成象模型——三维空间中的物体到视平 X 面的投影关系 P(XY,Z 小孔成象——理想的投影成象模型 Y 平面S为二维成象平面(即视平面),C为 pxy o 小孔的位置(光学中心)。S上的点是三维 空间中点在视平面上的投影(成象),f称 为该光学系统的焦距 图3.1小孔成象模型 二.透镜成象—实际的成象系统 (3.1) 般地由于u>f,于是v≈f,于是可用 图3.2透镜成象模型 小孔模型近似代替透镜成象模型
3.1 成象模型与视觉坐标系 平面S为二维成象平面(即视平面)，C为 小孔的位置(光学中心)。S上的点是三维 空间中点在视平面上的投影(成象)，f称 为该光学系统的焦距。 成象模型— — 三维空间中的物体到视平 面的投影关系 一. 小孔成象— — 理想的投影成象模型 o O X Y x y Z C P X Y Z ( , , ) p x y ( , ) f S 图3.1 小孔成象模型 二. 透镜成象— — 实际的成象系统 f u v 1 1 1 = + f u v 图3.2 透镜成象模型 (3.1) 一般地由于u>>f，于是v≈f，于是可用 小孔模型近似代替透镜成象模型
三.计算上的坐标系 X 为方便,取成正实象的投影变换坐标系, 即将视平面的位置与光心的位置对调,以 此作为常用的视觉坐标系。 卩(x Z 容易验证,在图3.3所示的视觉坐标系中, 视平面上的点p(x)与空间中对应点P(XY,Z 之间有如下的几何关系 X 图3.3视觉坐标系 (3.2) 视觉坐标系OYY也常被称为摄象机坐标系, 0 视点即是摄象机的光心。 32齐次坐标与N矢量 B 在图34中AB⊥1,4l2,当0→时,有BP→∞,AP→l,图34无穷远点 P为与2交点,称为无穷远点,原来直线上的无穷远点称为平 常点。 全体无穷远点构成无穷远直线。欧氏平面加上无穷远点和无 穷远直线构成射影平面
3.2 齐次坐标与N矢量 • 三. 计算上的坐标系 • 为方便，取成正实象的投影变换坐标系， 即将视平面的位置与光心的位置对调，以 此作为常用的视觉坐标系。 • 容易验证，在图3.3所示的视觉坐标系中， 视平面上的点p(x,y)与空间中对应点P(X,Y,Z) 之间有如下的几何关系 • (3.2) • 视觉坐标系OXYZ也常被称为摄象机坐标系， 视点即是摄象机的光心。 ï î ï í ì = = Z Y y f Z X x f O X Y Z P X Y Z x o y p x y ( , , ) ( , ) A B P l l 1 2 q 图3.3 视觉坐标系 在图3.4中 AB ^l 1 ,l 1 ||l 2，当q 图3.4无穷远点 p ® 2 时，有BP ® ¥ ，AP ® l 1 ， P¥ 为l 1 与l 2 交点，称为无穷远点，原来直线上的无穷远点称为平 常点。 全体无穷远点构成无穷远直线。欧氏平面加上无穷远点和无 穷远直线构成射影平面
二.齐次坐标 考虑1:ax+by+c1=0a+b≠0 1:ax+by+c2=0a2+b≠0 D D D D≠0时,l,交于P(xy),x=,y=,可写成== DDD 这时约定若,D2有一个为零,对应分子也为零 D.=0,则,P产生,可用过原点且平行于的直线ax+by=0指示方向 统一平常点和无穷远点,用坐标X,Y,2)表示,这里X,YZ不同时为零 对平常点Z≠0,x=,y 对无穷远点Z=0 XY Z D=D=D均成立 n维空间中的一个点用齐次n+1维空间中的一条直线来表示,称为齐次坐标系 对视平面而言,用三个实数构成的齐次坐标m,m,m)和(nn3n)来分别表记视 面上的点与直线,并约定
二. 齐次坐标 考虑 : 0 0 : 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = + ¹ + + = + ¹ l a x b y c a b l a x b y c a b 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 a b a b D a c a c D b c b c D = = = D3 ¹ 0时， 1 2 l ,l 交于P(x, y) ， 3 2 3 1 , D D y D D x = = ，可写成 1 2 3 1 D D y D x = = 这时约定若D1 D2 , 有一个为零，对应分子也为零 D3 = 0，则 1 2 l || l ， P¥ 产生，可用过原点且平行于2 l 的直线 0 l a2 x + b2 y = 指示方向 统一平常点和无穷远点，用坐标(X ,Y,Z) 表示，这里X,Y,Z 不同时为零 对平常点 Z Y y Z X Z ¹ 0, x = , = 对无穷远点Z = 0 1 2 D3 Z D Y D X = = 均成立 n维空间中的一个点用齐次n+1维空间中的一条直线来表示，称为齐次坐标系 对视平面而言，用三个实数构成的齐次坐标( , , ) m1 m2 m3 和 ( , , ) 1 2 3 n n n 来分别表记视平 面上的点与直线，并约定：
1.当m≠0时,齐次坐标(m,m,m2)的点表示视平面上的点(m,m);当n,=0 时,齐次坐标(m1,m2m3)的点表示视平面上的一个无穷远点或不能出现的点; 2.当n1≠0或n2≠0时,齐次坐标nn2,n3)对应视平面上的直线nx+n2y+n=0;当 n1=n2=0时,齐次坐标n1n2n3)对应视平面上的一条无穷远直线,或不能在视 平面上出现的直线。 命题31视平面上点的坐标/m,/m)和直线方程x+n2+n=0所对应的齐次坐 标 (mnmn2m)和n,n,n)具有伸缩不变性。 证明:取任意实数≠0,A(m,mm是对原齐次坐标的伸缩变换,于是, k k 同理,对 k≠0 由 k(n x+n,y+n,f)=0 x+n,y+n,f=0 证毕] 规格化矢量N矢量) 齐次坐标具有伸缩不变性,为减少由于有效位有限而产生的溢出对计算精度 的影响,引入归一化齐次坐标,并用矢量形式标记,称之为N矢量
1. 当m3 ¹ 0 时，齐次坐标(m ,m ,m ) 1 2 3 的点表示视平面上的点( f , ) m m f m m 1 3 2 3 ；当m3 = 0 时，齐次坐标(m ,m ,m ) 1 2 3 的点表示视平面上的一个无穷远点或不能出现的点； 2. 当n1 ¹ 0或n2 ¹ 0时，齐次坐标(n ,n ,n ) 1 2 3 对应视平面上的直线n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0 ；当 n1 = n2 = 0时，齐次坐标(n ,n ,n ) 1 2 3 对应视平面上的一条无穷远直线，或不能在视 平面上出现的直线。 命题3.1 视平面上点的坐标( f , ) m m f m m 1 3 2 3 和直线方程n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0 所对应的齐次坐 标(m ,m ,m ) 1 2 3 和(n ,n ,n ) 1 2 3 具有伸缩不变性。 证明：取任意实数k ¹ 0 ， k (m ,m ,m ) 1 2 3 是对原齐次坐标的伸缩变换，于是， ( f , ) ( , ) km km f km km f m m f m m 1 3 2 3 1 3 2 3 = 同理，对k ¹ 0，由k (n x n y n f ) 1 + 2 + 3 = 0，得n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0 。 [证毕] 三. 规格化矢量(N矢量) 齐次坐标具有伸缩不变性，为减少由于有效位有限而产生的溢出对计算精度 的影响，引入归一化齐次坐标，并用矢量形式标记，称之为N矢量
对视平面上的点(a,b),对应齐次坐标(a,b,f)的N矢量为m +b-+f A 对视平面上的直线Ax+By+C=0,的N矢量为n= B A2+B2+(C/f) f 33透视变换 X X P(X, Y Z 33) 齐次坐标的几何意义:各项同乘一系数,可 理解为同一视线上的点 命题3.2视平面上的点P的N矢量m是由视点O 指向空间中P点的单位矢量。 显然,证略 图35点的透视变换关系
对视平面上的点(a,b) ，对应齐次坐标(a,b, f )的N矢量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + + = f b a a b f m 2 2 2 1 对视平面上的直线Ax + By + C = 0，的N矢量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + + = C f B A A B C f n 2 2 2 ( ) 1 O X Y Z P X Y Z x o y ( , , ) m f 3.3 透视变换 ï î ï í ì = = Z Y y f Z X x f (3.3) 齐次坐标的几何意义：各项同乘一系数,可 理解为同一视线上的点 命题3.2 视平面上的点P的N矢量m是由视点O 指向空间中P点的单位矢量。 显然，证略 图3.5 点的透视变换关系
命题3.3视平面上的直线的N矢量n是由视点O与直线所决定的平面的单位法矢量 [证明]将空间投影关系带入直线方程 n1x+n2y+nf=0有 .+nZ=0 Z n X n2|·Y|=0 n 即(n1n2n)垂直与平面(34由视点O与直线 所决定的平面)上的点[证毕 图36直线N矢量的解释 宇义31一条空间直线上的无穷远线素集在视平面上所形成的收敛点称为消失点。 空间平面的无穷远面素集在视平面上所形成的收敛线称为消失线。 车视觉坐标系中,N矢量不仅可以用来代表射线的方向和平面的法线方向,而且也可 以用来说明消失点和消失线。 宇理31方向或单位矢量为m的空间直线在视平面上形成的投影直线的消失点的N矢量
命题3.3 视平面上的直线l的N矢量n是由视点O与直线l所决定的平面的单位法矢量。 O X Y Z x o y n l [ 证 明 ]: 将空间投影关系带入直线方程 l n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0有 n1X + n2Y + n3Z = 0 (3.4) 即 0 3 2 1 = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ · ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ Z Y X n n n 即(n n n ) 1 2 3 垂直与平面（3.4)(由视点 O 与直线 l 所决定的平面)上的点 [证毕] 图3.6 直线N矢量的解释 定义3.1 一条空间直线上的无穷远线素集在视平面上所形成的收敛点称为消失点。一 个空间平面的无穷远面素集在视平面上所形成的收敛线称为消失线。 在视觉坐标系中，N矢量不仅可以用来代表射线的方向和平面的法线方向，而且也可 以用来说明消失点和消失线。 定理3.1 方向或单位矢量为m的空间直线在视平面上形成的投影直线的消失点的N矢量 是m
证明:设是通过空间点(X0,2Z),单位矢量为m=(mmn2m)的空间直线,于是可 以用参数方程表达为 7:X=X。+sm1,Y=y。+Sm2,z=Z。+Sm l在视平面的投影为 X +sm Z+ Y+sm (36) 1.当s→±且m≠0时有 即投影收敛于点(fm,/m),根据定义, limx 消失点的N矢量刚好是m=( (3.7 lin 5→±∞ h 2.当m=0,虽然→±时x与y发散,但只要≠0,则有="从而可知m表 示位于无穷远处的消失点的N矢量。[证毕] 推论3.1空间中相互平行的直线族在视平面有相同的消失点
证明：设l是通过空间点( X ,Y , Z ) 0 0 0 ，单位矢量为m m m m t = ( ) 1 2 3 的空间直线，于是l 可 以用参数方程表达为： 0 1 0 2 0 3 l : X = X + sm ,Y = Y + sm , Z = Z + sm (3.5) l在视平面的投影为 ï ï î ï ï í ì + + = + + = 0 3 0 2 0 3 0 1 Z sm Y sm y f Z sm X sm x f (3.6) 1. 当 s ® ±¥且m3 ¹ 0时有 lim lim 3 2 3 1 ï ï î ï ï í ì = = ®±¥ ®±¥ m m y f m m x f s s (3.7) 即投影收敛于点( f , ) m m f m m 1 3 2 3 ，根据定义， 消失点的N矢量刚好是m m m m t = ( ) 1 2 3 。 2. 当 m3 = 0，虽然s ® ±¥时x与y发散，但只要Z0 ¹ 0，则有x y m m = 1 2 ， 从而可知m表 示位于无穷远处的消失点的N矢量。[证毕] 推论3.1 空间中相互平行的直线族在视平面有相同的消失点
类似地对空间平面有 定理32单位法矢量为n的空间平面在视平面上形成的投影的消失线的N矢量是n 正明:设S是单位法矢量为n=(n2n2)的空间平面,它的方程式可以写为, s:nxtnytnz=h (38) 其中h为视点O到平面S的距离。现在我们利用投影关系(3.3)式消去(38)式中的X和Y,有 升h (3.9) n,xtny+n 由此式可知,不论视点到平面S的距离如何,Z将沿着直线族nx+n2y+n→0变为无 (当h=0时,S过视点),根据定义,此直线的N矢量为n=(nn2n1) [证毕] 隹论32空间中相互平行的平面族在视平面有相同的消失线 宗上所述 如果空间直线在视平面上的消失点能够被确定的话,则其三维方向就可以确定 如果视平面上消失线能够被确定,则所对应三维空间中的平面的法线方向就可确定 空间中直线的方向和平面的法线方向可以由其消失点与消失线的N矢量直接得到。 犹是点与直线N矢量的物理意义
类似地对空间平面有 定理3.2 单位法矢量为n的空间平面在视平面上形成的投影的消失线的N矢量是n。 证明：设S是单位法矢量为 t n (n n n ) = 1 2 3 的空间平面，它的方程式可以写为， S n X + n Y + n Z = h 1 2 3 : (3.8) 其中h为视点O到平面S的距离。现在我们利用投影关系(3.3)式消去(3.8)式中的X和Y，有 n x n y n f fh Z 1 + 2 + 3 = (3.9) 由此式可知，不论视点到平面S的距离如何，Z将沿着直线族 0 n1 x + n2 y + n3 f ® 变为无穷 大(当h=0时，S过视点)，根据定义，此直线的N矢量为 t n (n n n ) = 1 2 3 。 [证毕] 推论3.2 空间中相互平行的平面族在视平面有相同的消失线。 综上所述 V如果空间直线在视平面上的消失点能够被确定的话，则其三维方向就可以确定 V如果视平面上消失线能够被确定，则所对应三维空间中的平面的法线方向就可确定 V空间中直线的方向和平面的法线方向可以由其消失点与消失线的N矢量直接得到。这 就是点与直线N矢量的物理意义
(a)消失点的N矢量空间方向 (b)消失线的N矢量空间方向 图37消失点与消失线的N矢量空间方向
m n (a)消失点的N矢量空间方向 (b)消失线的N矢量空间方向 图3.7 消失点与消失线的N矢量空间方向