第二章 边缘提取与多分辨率分析
第二章 边缘提取与多分辨率分析
fu.I fi,jy 21边缘提取的经典方法 两种边缘: 阶跃性边缘(图2.中PP) r 一阶导数在边缘点处达 到极值,二阶导数在边缘点 处呈零交叉( zero cross) 屋脊性边缘(图2.1中QQ) 阶导数在边缘点处呈 零交叉( zero cross),二阶 导数在边缘点处达到极值 图2.1两种边缘和边袋点近旁图像灰度方向的导数变化规律
2.1 边缘提取的经典方法 两种边缘： 阶跃性边缘 （图2.1中 P-P’) 一阶导数在边缘点处达 到极值，二阶导数在边缘点 处呈零交叉（zero cross） 屋脊性边缘（图2.1中 Q-Q’) 一阶导数在边缘点处呈 零交叉（zero cross），二阶 导数在边缘点处达到极值
经典边缘提取算法: AA A2 梯度算子( Roberts算子) A,(i,1)A3 G(,)=√△、f(,)2+△,f(, 其中 Af(G)=f(,j)-f(-1,)A,f(2)=f(,)-f(,j-1) Δf(j)=f(2j)-f(4),△,f(i,)=f(i,j)-f(4) Roberts算子是梯度的近似 R(i,)=max{(4)-f(4)f(4)-f(4 Sobel算子 S(i,j)=f(4)+2f(4)+f(1)(f(4)+2f(4)+f(41) +(f(4)+2f(4)+f(4)-(f(42)+2f(43)+f(4)
经典边缘提取算法： 梯度算子（Roberts算子） 2 2 G(i, j) f (i, j) f (i, j) = ∆x + ∆y ( , ) ( , ) ( 1, ), ( , ) ( , ) ( , 1) x y ∆ fij fij fi j fij fij fij = −− ∆ = − − 其中 Roberts算子是梯度的近似 0 42 6 R( , ) max{ ( ) ( ) , ( ) ( )} ij fA fA fA fA =− − Sobel算子 6 5 4 7 3 0 1 2 ( , ) A A A A i j A A A A ( , ) ( ( ) 2 ( )) ( )) ( ( ) 2 ( )) ( )) 0 1 2 6 5 A4 S i j = f A + f A + f A − f A + f A + f ( ( ) 2 ( )) ( )) ( ( ) 2 ( )) ( ) 0 7 6 2 3 A4 + f A + f A + f A − f A + f A + f 1 ( , ) ( , ) ( ), x ∆ fij fij fA = − 7 (, ) (, ) ( ) y ∆ fij fij fA = −
Laplacian算子 拉普拉斯算子是对图像求二阶导数。计算上,取关于x轴方向和y轴方 向的二阶差分之和: f(i,j)+ f(i,j) Vf(i,j)=f(A1)+f(43)+∫(A5)+f(A1)-4f(i,j 若在(i)点发生零交叉,则(ij)为边缘点 经典边缘提取算法的缺点是受噪声干扰比较大,不够准确 21Marr边缘检测算子 先对图像作平滑,然后在做边缘检测,Mar用高斯函数作平滑,然后用 Laplacian算子检测边缘,简称LoG滤波器 G(,y, o) 2no exp( 2o (-n2(x2+y2)
Laplacian算子 拉普拉斯算子是对图像求二阶导数。计算上 ，取关于x 轴方向和 y轴方 向的二阶差分之和： 2 1357 ∇ =+++− f (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 (, ) i j f A f A f A f A f i j 若在(i,j)点发生零交叉，则（i,j）为边缘点 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 f i j f i j f i j ∇ = ∆ x + ∆ y 经典边缘提取算法的缺点是受噪声干扰比较大，不够准确 2.1 Marr边缘检测算子 先对图像作平滑，然后在做边缘检测，Marr用高斯函数作平滑，然后用 Laplacian算子检测边缘，简称LoG滤波器 ( )) 21 exp( 2 1 ( , , ) 2 2 2 2 G x y = − x + y πσ σ σ
将G(xy)与图像函数f(xy)做卷积,得到一个平滑的图像函数 f(x, y)=f(x,y)*G(x,y, o) 对该函数做拉普拉斯运算,提取边缘 可以证明: VIf(x,y)*G(,y, o]=f(x,y)*vG(x,y, o) 其中,VG(x,y,o)为LoG滤波器,也称为 Marr -Hildrech算子 VG(,y,o) 0G02G O 2 1)expc 20 σ称为尺度因子,大的值可用来检测模糊的边缘,小的值可用来检测聚焦 良好的图像细节
将G(x,y)与图像函数f(x,y)做卷积，得到一个平滑的图像函数: f (x, y) f (x, y) G(x, y,σ ) s = ∗ 对该函数做拉普拉斯运算，提取边缘。 可以证明： [ ( , ) ( , , )] ( , ) ( , , ) 2 2 ∇ f x y ∗G x y σ = f x y ∗∇ G x y σ 其中， ( , , ) 2 ∇ G x y σ 为LoG滤波器，也称为Marr-Hildrech算子 ( )) 21 1) exp( 2 ( 1 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 x y x y yG xG G x y − − + + = ∂∂ + ∂∂ ∇ = πσ σ σ σ 称为尺度因子，大的值可用来检测模糊的边缘，小的值可用来检测聚焦 良好的图像细节。 σ
LoG算子的形状如图2.2所示,常称为墨西哥草帽 2√20 这个滤波器的大小由O的数值或等价地由W 的数值来确定为了不使函数被过分地截短, 它应在足够大的窗口内作计算,窗口宽度通 常取为 图22V2G的横截面 a≥362D D0G滤波器 为了减少卷积的计算量,常用两个不同尺度的高斯函数之差来近似V2G 称为DoG滤波器, DoG--Difference of two gaussion function
图2.2 ∇2G 的横截面 LoG算子的形状如图2.2所示，常称为墨西哥草帽 w2D = 2 2σ 这个滤波器的大小由 的数值或等价地由 的数值来确定为了不使函数被过分地截短， 它应在足够大的窗口内作计算，窗口宽度通 常取为 ： σ w2D wd w2D ≥ 3.6 DoG滤波器 为了减少卷积的计算量，常用两个不同尺度的高斯函数之差来近似 G2 ∇ 称为DoG滤波器，DoG—Difference of two Gaussion function
DoG(o1,02/ 2TO exp( (x2+y2) exp(-(x+y) 兀O 通常,G1σ2=1.6时DoG最接近LoG 图23DoG算子
( )) 21 exp( 2 1 ( )) 21 exp( 2 1 ( , ) 2 2 22 22 2 2 21 21 1 2 DoG = − x + y − − x + y πσ σ πσ σ σ σ 通常， 时 σ 1 /σ 2 =1.6 DoG最接近LoG 图2.3 DoG算子
22 Canny边缘检测算子 Canny边缘检测的基本原理 设高斯函数为: G(x,y) ex 2丌o G(2 在某一方向n上G(xy)的一阶方向导数为:G aG nV G an 其中 cos e aG/a VG SIn aG/ay m是方向导数,VG是梯度矢量 我们将图象f(xy)与Gn作卷积,同时改变n的方向,G*fxy)取得最大值时的 n(∂(G*f(xy)/am=0对应的方向)就是正交于检测边缘的方向。由 G a(cos 6 G 0(Gn*∫(x,y) )*∫(x,y)+(sinb·-)*f(x,y) ax A n 06
2.2 Canny边缘检测算子 Canny边缘检测的基本原理 设高斯函数为： ( )) 2 1 exp( 2 1 ( , ) 2 2 2 2 G x y = − x + y πσ σ 在某一方向 n 上G(x,y)的一阶方向导数为： 其中 G n G G n = ∇ ∂ ∂ = n = θθ sin cos n ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = G y G x G // n 是方向导数， 是梯度矢量 ∇G 我们将图象f(x,y)与Gn作卷积，同时改变n的方向， Gn*f(x,y)取得最大值时的 n ( 对应的方向 )就是正交于检测边缘的方向。由 0 [(cos ) ( , ) (sin ) ( , )] ( ( , )) = ∂ ∗ ∂ ∂ ∗ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ⋅ = ∂ ∂ ∗ θ θ θ f x y y G f x y x G G f x y n n ∂(Gn ∗ f (x, y))/ ∂n = 0
得 G G aG f(,y) **f(x f(x,y) tg0=GG*f(x, y) Cos0= a sin 0= VG*f(x,y VG*f(x,y ax VG*∫(x,y 因此,对应于O(Gn*f(x,y)Om=0的方向n *s f(x, y 在该方向上G*f(x,y)有最大的输出响应,边缘强度为VG*f(x,y Cany边缘检测的实现 将二维卷积分解为两个一维的滤波器: G krexp(- exp(-)=h(h,(y) 2 2 aG kyexp(-,exp(-,)=h(h,( k是常数 20 20
得 ( , ) ( , ) f x y x G f x y y G tg ∗ ∂ ∂ ∗ ∂ ∂ θ = ( , ) ( , ) cos G f x y f x y y G ∇ ∗ ∗ ∂ ∂ θ = ( , ) ( , ) sin G f x y f x y x G ∇ ∗ ∗ ∂ ∂ θ = 因此，对应于 的方向 ∂(Gn ∗ f (x, y))/ ∂n = 0 ( , ) ( , ) G f x y G f x y n ∇ ∗ ∇ ∗ = 在该方向上 有最大的输出响应，边缘强度为 G f (x, y) n ∗ ∇G ∗ f (x, y) Canny边缘检测的实现 将二维卷积分解为两个一维的滤波器： ) ( ) ( ) 2 )exp( 2 exp( 2 1 2 2 2 2 h x h y x y kx x G = − − = ∂ ∂ σ σ ) ( ) ( ) 2 )exp( 2 exp( 2 1 2 2 2 2 h y h x y x ky y G = − − = ∂ ∂ σ σ k是常数
将上式分别与图象作卷积,得输出 E、CG f(,y) E、OG 令 A(D)=E(j)+E, (i,d a(i, j)=arcee(i,j) E,(i,j) 则Ai,)代表图象上在()出的边缘强度,a(i,)是法向矢量 个象素满足以下三个条件时,被认为是图象的边缘点: (1)该点的边缘强度大于沿该点梯度方向的两个相邻象素点的边缘强度; (2)与该点梯度方向上相邻两点的方相差小于45度; (3)与该点为中心的3X3邻域内的边缘强度极大值小于某个阈值
将上式分别与图象作卷积，得输出 * f ( x, y ) x G Ex ∂ ∂ = * f ( x, y ) y G Ey ∂ ∂ = 令 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 A i j E i j E i j = x + y ] ( , ) ( , ) ( , ) [ E i j E i j i j arctg y x α = 则 代表图象上在 A ( i, j ) (i,j)出的边缘强度， 是法向矢量。 α ( i, j ) 当一个象素满足以下三个条件时，被认为是图象的边缘点： (1)该点的边缘强度大于沿该点梯度方向的两个相邻象素点的边缘强度； (2)与该点梯度方向上相邻两点的方相差小于45度； (3)与该点为中心的3x3邻域内的边缘强度极大值小于某个阈值