第六章表面方向的检测 61成象过程 6.1.1辐射学基本知识 6.12图象的形成 61.3双向反射分布函数 62反射图和辐照方程 621表面方向的表示 622反射图 63根据影调恢复物体形状 631光度学立体视觉法 632松驰法 人们在日常生活和舞台艺术中广泛使用化妆品来改变形象说明人的视觉系统中具有某种根 据亮度的明暗分布(影调)推断物体形状的能力。人可能是根据物体的遮挡轮廓和影调来得到 关于物体形状的信息。虽然,影调可能在决定形状中只起次要作用,但是人的低层视觉理论中 除色觉以外,最令人感兴趣的问题是:我们根据影调线索到底能恢复哪些形状信息?从数学角 度理解,由影调恢复形状这个问题也许是严格硏究人类从影调恢复形状能力的一个先决条件 因此这里我们将扼要地阐明有关的基本概念。首先要理解图象是如何形成的,也就是了解图象 象素的亮度与景物中物体表面的辐射率之间的关系。然后再理解这个过程的逆过程,即如何根 据图象的亮度分布信息发现物体表面形状和反射率等特征。 6.1成象过程 为了理解成象过程,首先需要了解基本的辐射学知识。 6.1.1辐射学的基本知识n 这里先介绍辐射学中一些基本物理量的定义:辐射通量( Radiant Flux)φ和光电磁场辐射 强度( Radiant Intensity)I。l是每单位立体角射出的辐射通量。即: dφ 瓦/球面度 (6-1) 其中do是微分立体角。如图6.1所示,距离点r处的面积为dA的水平面所对的立体角: dA- cose 其中0是dA的法线与到点光源连线之间的夹角。 dA- cos9可被称为dA在O方向上的投影面积 立体角的单位是球面度( steradian)。整个球面所得的立体角为4m球面度。 辐照度( irradiance)E是单位表面积上的入射光通量,即入射光通量密度。 瓦/米2 (6-3) 其中dA是表面上小区域的面积,d是此面积上的入射光通量
107 第六章 表面方向的检测 6.1 成象过程 6.1.1 辐射学基本知识 6.1.2 图象的形成 6.1.3 双向反射分布函数 6.2 反射图和辐照方程 6.2.1 表面方向的表示 6.2.2 反射图 6.3 根据影调恢复物体形状 6.3.1 光度学立体视觉法 6.3.2 松驰法 人们在日常生活和舞台艺术中广泛使用化妆品来改变形象说明人的视觉系统中具有某种根 据亮度的明暗分布（影调）推断物体形状的能力。人可能是根据物体的遮挡轮廓和影调来得到 关于物体形状的信息。虽然，影调可能在决定形状中只起次要作用，但是人的低层视觉理论中， 除色觉以外，最令人感兴趣的问题是：我们根据影调线索到底能恢复哪些形状信息？从数学角 度理解，由影调恢复形状这个问题也许是严格研究人类从影调恢复形状能力的一个先决条件。 因此这里我们将扼要地阐明有关的基本概念。首先要理解图象是如何形成的，也就是了解图象 象素的亮度与景物中物体表面的辐射率之间的关系。然后再理解这个过程的逆过程，即如何根 据图象的亮度分布信息发现物体表面形状和反射率等特征。 6.1 成象过程 为了理解成象过程，首先需要了解基本的辐射学知识。 6.1.1 辐射学的基本知识[Hor 79] 这里先介绍辐射学中一些基本物理量的定义：辐射通量（Radiant Flux）和光电磁场辐射 强度（Radiant Intensity）I。 I 是每单位立体角射出的辐射通量。即： I d d = 瓦／球面度 (6-1) 其中 d 是微分立体角。如图 6.1 所示，距离点 r 处的面积为 dA 的水平面所对的立体角： d d A r ＝ cos 2 (6-2) 其中是 dA 的法线与到点光源连线之间的夹角。 dA cos 可被称为 dA 在 方向上的投影面积。 立体角的单位是球面度（steradian）。整个球面所得的立体角为 4球面度。 辐照度（irradiance） E 是单位表面积上的入射光通量，即入射光通量密度。 E d dA = 瓦／米 2 (6-3) 其中 dA 是表面上小区域的面积， d 是此面积上的入射光通量
从表面发出的光通量是用辐射率( radiance)或辐 射体亮度L来定义的,它表示从表面上单位面积,在单 位立体角中发出的功率。辐射率这个概念的复杂性在于 表面可在其可能辐射方向的整个球面上辐射,而且在不 同的方向上发出的能量不同。辐射率L是一个与方向有 关的量,它的定义是: d-g 瓦f米2·球面度 其中b是表面法线与辐射方向之间的夹角,dA是光源的 面积,d2如是光源在角方向d立体角内的辐射通量 图6.1水平面所对的立体角 图62点光源对表面的照明 下述例子可说明以上的某些概念(图62)。试研究下述情况下的辐射源。辐射源在某一表 面区域方向上的辐射强度为Ⅰ。此表面区域的面积为dA,表面法线跟该区域与辐射源连线的夹 角为θ。事实上如从辐射源观察此表面区域,那么好象只有垂直于连线的,面积为d4·cosθ的区 域被观察到。此区域对应的立体角为 do=dA·cosO/r2 球面度(6-5) 相应的辐射通量是 do=I dA cos e/r 瓦 (6 表面的辐照度就是入射辐射通量被表面区域的面积相除,即 e=do/dA=I cose/r 瓦/米2 (6-7) 这里还需要讨论一下亮度的概念。这是一个至少可用来表示两种不同概念的不正规术语 图象中的亮度与景物中表面的亮度是不同的概念。图象的亮度与图象平面的入射能量有关,应 该用图象平面的单位面积上射入的辐射能量,也就是辐照度E来测量。灰度又是图象辐照度的 定量量测。 景物中的亮度与从表面发出的能量有关。它应该用单位投影面积发射到单位立体角中的功 率,也就是用辐射率L来测量。景物的辐射率与图象的辐照度之间是有联系的,在以下的章节 中将研究景物中某点的辐射率与图象中相应成象点的辐照度的关系 景物的辐射率和哪些因素有关?由于一般情况下景物本身不是光源,而只是受到光照以后 产生反射。所以要先研究一下光线射到物体表面时发生的情况。当一束光线射到物体表面时 它可能被吸收,传播( transmmited)或反射,这与表面的性质以及表面的微观结构有关。如果 表面是平坦的,并且表面物质是均匀的,那么反射的射线将位于由入射光线和表面法线形成的 平面内,并使反射光线与法线间的夹角等于入射光线与法线间的夹角。这被称为镜面的或非传 108
108 从表面发出的光通量是用辐射率（radiance）或辐 射体亮度 L 来定义的，它表示从表面上单位面积，在单 位立体角中发出的功率。辐射率这个概念的复杂性在于 表面可在其可能辐射方向的整个球面上辐射，而且在不 同的方向上发出的能量不同。辐射率 L 是一个与方向有 关的量，它的定义是： L d dA d = 2 cos 瓦／米 2·球面度 (6-4) 其中 是表面法线与辐射方向之间的夹角， dA 是光源的 面积， d 2 是光源在 角方向 d 立体角内的辐射通量。 图 6.2 点光源对表面的照明 下述例子可说明以上的某些概念（图 6.2）。试研究下述情况下的辐射源。辐射源在某一表 面区域方向上的辐射强度为 I 。此表面区域的面积为 dA ，表面法线跟该区域与辐射源连线的夹 角为 。事实上如从辐射源观察此表面区域，那么好象只有垂直于连线的，面积为 dA cos 的区 域被观察到。此区域对应的立体角为 2 d = dA cos r 球面度 (6-5) 相应的辐射通量是： 2 d = IdA cos r 瓦 (6-6) 表面的辐照度就是入射辐射通量被表面区域的面积相除，即 2 E = d / dA = I cos r 瓦／米 2 (6-7) 这里还需要讨论一下亮度的概念。这是一个至少可用来表示两种不同概念的不正规术语。 图象中的亮度与景物中表面的亮度是不同的概念。图象的亮度与图象平面的入射能量有关，应 该用图象平面的单位面积上射入的辐射能量，也就是辐照度 E 来测量。灰度又是图象辐照度的 定量量测。 景物中的亮度与从表面发出的能量有关。它应该用单位投影面积发射到单位立体角中的功 率，也就是用辐射率 L 来测量。景物的辐射率与图象的辐照度之间是有联系的，在以下的章节 中将研究景物中某点的辐射率与图象中相应成象点的辐照度的关系。 景物的辐射率和哪些因素有关？由于一般情况下景物本身不是光源，而只是受到光照以后 产生反射。所以要先研究一下光线射到物体表面时发生的情况。当一束光线射到物体表面时， 它可能被吸收，传播（transmmited）或反射，这与表面的性质以及表面的微观结构有关。如果 表面是平坦的，并且表面物质是均匀的，那么反射的射线将位于由入射光线和表面法线形成的 平面内，并使反射光线与法线间的夹角等于入射光线与法线间的夹角。这被称为镜面的或非传 dA r 图 6.1 水平面所对的立体角
导性的反射( specular, metallic, or dielectic。具有这种表面的物体能产生周围物体的虚象 许多表面从微观的比例来说不是完全平坦的,因此会把入射光杂乱地反射到各个方向上(图 63(a)。如果局部表面的法线与平均法线方向之间的偏离不大,那么大多数光线将出现在理想 镜面反射方向附近,并将使表面有明暗变化,或是有光泽的。 还有些表面从微观上看是不均匀的。因此透过表面的光线将在折射系数不同的二个区域之 间的边界处产生折射和反射,从而造成光线的散射(图63(b))。被散射的光线可能以不同的方 向重新出现在进入点的附近,这就造成漫反射或无光泽反射( diffuse, flat or matte。白雪或白油 漆的表面层是这种性能表面的例子。通常部分光线在物体表面接近平坦的区域反射 图63表面的反射特性 (a)镜面反射表面上的波纹将使入射光线散射到各个方向上去。如果波纹与表面成象的分辨 率相比可忽略时,表面将呈显镜反射,而呈现光泽的表面。(b)表面层中各种成份的折射指数不 均匀使入射光线散射到各个方向,这种结构的表面产生无光泽反射 部分光线透射到更深的内部,经过在不均匀的内部多次折射和反射后重新反射出表面。这两种 光线的影响同时存在 在每种情况下,反射光的分布取决于入射光的方向和表面层的微观结构。实际上,什么样 的结构构成微观结构取决于观察者的观点。通常,在特定的成象情况下不能被分辨的表面结构 在这里被当作微观结构。例如,当从望远镜观察月亮时,较小的土丘和火山是微观结构的一部 分 6.1.2图象的形成 以下我们来研究物体表面的辐射与图象平面上的辐照之间的关系。成象系统的几何关系如
109 导性的反射（specular, metallic, or dielectic）。具有这种表面的物体能产生周围物体的虚象。 许多表面从微观的比例来说不是完全平坦的，因此会把入射光杂乱地反射到各个方向上（图 6.3(a)）。如果局部表面的法线与平均法线方向之间的偏离不大，那么大多数光线将出现在理想 镜面反射方向附近，并将使表面有明暗变化，或是有光泽的。 还有些表面从微观上看是不均匀的。因此透过表面的光线将在折射系数不同的二个区域之 间的边界处产生折射和反射，从而造成光线的散射（图 6.3(b)）。被散射的光线可能以不同的方 向重新出现在进入点的附近，这就造成漫反射或无光泽反射（diffuse, flat or matte）。白雪或白油 漆的表面层是这种性能表面的例子。通常部分光线在物体表面接近平坦的区域反射， (a) (b) (C) 图 6.3 表面的反射特性 (a) 镜面反射表面上的波纹将使入射光线散射到各个方向上去。如果波纹与表面成象的分辨 率相比可忽略时，表面将呈显镜反射，而呈现光泽的表面。(b) 表面层中各种成份的折射指数不 均匀使入射光线散射到各个方向，这种结构的表面产生无光泽反射。 部分光线透射到更深的内部，经过在不均匀的内部多次折射和反射后重新反射出表面。这两种 光线的影响同时存在。 在每种情况下，反射光的分布取决于入射光的方向和表面层的微观结构。实际上，什么样 的结构构成微观结构取决于观察者的观点。通常，在特定的成象情况下不能被分辨的表面结构 在这里被当作微观结构。例如，当从望远镜观察月亮时，较小的土丘和火山是微观结构的一部 分。 6.1.2 图象的形成[Bal 82] 以下我们来研究物体表面的辐射与图象平面上的辐照之间的关系。成象系统的几何关系如
图64所示。假设成象系统聚焦良好。从物体表面上的无限小面积dA。上发出的射线投影到图 象平面上某个面积dA上,并且没有来自物体表面其它部分的光线到达图象的这块面积。假设 系统是理想的,服从简单的几何光学原理 LENS fo 图64成象系统的几何关系 设dAp上的辐照度为Ep。为说明E与景物辐射率之间的关系。首先研究从小面积dA。到 达了透镜的光通量d。根据64式得,d等于光能量 dd=dln「 Loose, 积分域是透镜对着dA。所占的立体角。假设db到达图象平面的dAp上,那么根据(63)式,dAp 上的辐照度E等于: 由图6-4可知dA。和dA所对的立体角相等,所以有以下等式 dA COS a (6-10) 把(68)式和(6,10)式代入(69)式可得: f o Cos( ldo (6-11) 积分域是透镜对着dA所占的立体角,在大多数情况下可假设在此立体角内L是常量,因 此可以从积分内移出。最后do可近似地按透镜的透视面积(x/4)D2.cosa,被距离f0/cosa的 平方相除求得,即 cos a f 所以可求得: cosa.x·L 由上式可得出以下令人感兴趣的结论:(1)图象辐照度,即图象各点的亮度正比于景物中对 应空间点的辐射率L。(2)在上述比例系数中包括成象点偏离光轴的角度α。这说明这样的成象系 统的灵敏度是不均匀的。在理想情况下成象系统应被校准到使灵敏度不随α变化。上述结论还说 明为研究影响图象亮度的因素还需要进一步研究景物的辐射率
110 图 6.4 所示。假设成象系统聚焦良好。从物体表面上的无限小面积 dAo 上发出的射线投影到图 象平面上某个面积 dAp 上，并且没有来自物体表面其它部分的光线到达图象的这块面积。假设 系统是理想的，服从简单的几何光学原理。 图 6.4 成象系统的几何关系 设 dAp 上的辐照度为 Ep。为说明 Ep 与景物辐射率之间的关系。首先研究从小面积 dAo 到 达了透镜的光通量 d 。根据 6.4 式得， d 等于光能量 d = dAo Lcos rd (6-8) 积分域是透镜对着 dAo 所占的立体角。假设 d 到达图象平面的 dAp 上，那么根据(6.3)式，dAp 上的辐照度 Ep 等于： E d dA p p = (6-9) 由图 6-4 可知 dAo 和 dAp 所对的立体角相等，所以有以下等式： dA f dA f r p p 0 0 2 2 cos cos = (6-10) 把(6.8)式和(6.10)式代入(6.9)式可得： E f f p L d p = cos 0 2 (6-11) 积分域是透镜对着 dAo 所占的立体角，在大多数情况下可假设在此立体角内 L 是常量，因 此可以从积分内移出。最后 d 可近似地按透镜的透视面积 ( 4) 2 D cos ，被距离 f0 cos 的 平方相除求得，即 2 0 3 2 cos 4 f d D = (6-12) 所以可求得： E D f p L p = 1 4 2 4 cos (6-13) 由上式可得出以下令人感兴趣的结论：(1)图象辐照度，即图象各点的亮度正比于景物中对 应空间点的辐射率 L。(2)在上述比例系数中包括成象点偏离光轴的角度。这说明这样的成象系 统的灵敏度是不均匀的。在理想情况下成象系统应被校准到使灵敏度不随变化。上述结论还说 明为研究影响图象亮度的因素还需要进一步研究景物的辐射率
613双向反射分布函数( Bidirectional Reflectance distribution Function) 一般来说景物的表面不是光源,因此,景物表面的辐射是受到光源辐照产生反射的结果, 因此景物的辐射率就与表面的入射光通量、入射光被反射的比例,以及光反射的几何位置有关。 这就是说,表面的辐射率既与观察它的方向有关,又与对它照明的方向有关。为此我们先说明 规定方向的方法。如图6-5所示,我们可用表面各点上的局部坐标系来定义这些方向。设,表 图6-5双向反射分布函数 面的法线方向即为坐标系的Z轴,另两轴为该点切平面内任意正交的方向。一根射线的方向可 用这条射线与表面法线(Z轴)之间的夹角0,和此射线在表面上的垂直投影与表面上的一条参 考线(设为X轴)之间的夹角ψ来描述。θ和ψ分别被称为极线角( polar angle)和方位角( azimuth ange)。这样光线入射的方向可规定为(O,p),朝观察者辐射的方向可规定为(a,) 现在我们可定义一个双向反射分布函数(BRDF),这个函数可告诉我们当表面被从一个方 向照明,而从另一个方向观察时,此表面将显得多亮的信息。更精确地说,双向反射分布函数∫。 是反射到观察者方向(O,)上的辐射率de与光源的某一方向(O,9)入射的辐照度dE1之比: fE(O,,O29)= ILe(0i,pi,e,pe,Ei) dEi(0i,i) (6-14) f(0,中,日2,9)是一个四变量的函数,如直接用来研究图象的辐照度与表面形状之间的关 系会过于麻烦。所幸的是,对许多表面来说,如果表面绕表面法线旋转的话,辐射率不改变 这时,BRDF只与中。一-有关,而不是分别与中和有关。这对无光泽表面和镜面反射表面 来说是正确的。但对具有方向性微观结构的表面来说就不正确了。例如,有些金属矿石或某些 鸟的羽毛就是这样的 对于BRDF的形式有一个重要的约束:如果两个表面处于热平衡状态,从一个表面到另 个表面的辐射应该与相反方向的辐射相平衡。如果不这样的话,那么接收辐射多的表面就要被 加热,而另一个表面就会被冷却,这就破坏了热平衡。也就是破坏了热力学第二定理。这意味 着BRDF应受 Helmholtz可逆性条件的约束。即 f(,日,中)=f(,p;B,) 以下通过几个实例说明BRDF的性质和应用。 111
111 6.1.3 双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance Distribution Function） 一般来说景物的表面不是光源，因此，景物表面的辐射是受到光源辐照产生反射的结果， 因此景物的辐射率就与表面的入射光通量、入射光被反射的比例，以及光反射的几何位置有关。 这就是说，表面的辐射率既与观察它的方向有关，又与对它照明的方向有关。为此我们先说明 规定方向的方法。如图 6-5 所示，我们可用表面各点上的局部坐标系来定义这些方向。设，表 图 6-5 双向反射分布函数 面的法线方向即为坐标系的 Z 轴，另两轴为该点切平面内任意正交的方向。一根射线的方向可 用这条射线与表面法线（Z 轴）之间的夹角，和此射线在表面上的垂直投影与表面上的一条参 考线（设为 X 轴）之间的夹角来描述。和分别被称为极线角（polar angle）和方位角（azimath angle）。这样光线入射的方向可规定为 ( i , i) ，朝观察者辐射的方向可规定为 ( e , e ) 。 现在我们可定义一个双向反射分布函数（BRDF），这个函数可告诉我们当表面被从一个方 向照明，而从另一个方向观察时，此表面将显得多亮的信息。更精确地说，双向反射分布函数 e f 是反射到观察者方向 ( e , e ) 上的辐射率 dLe 与光源的某一方向 ( i , i) 入射的辐照度 dEi 之比： ( ) ( ) ( ) f dLe E dE e i i e e i i e e i i i i , , , , , , , , = (6-14) fe( i , i , e , e ) 是一个四变量的函数，如直接用来研究图象的辐照度与表面形状之间的关 系会过于麻烦。所幸的是，对许多表面来说，如果表面绕表面法线旋转的话，辐射率不改变。 这时，BRDF 只与 e − i 有关，而不是分别与 e 和 i 有关。这对无光泽表面和镜面反射表面 来说是正确的。但对具有方向性微观结构的表面来说就不正确了。例如，有些金属矿石或某些 鸟的羽毛就是这样的。 对于 BRDF 的形式有一个重要的约束：如果两个表面处于热平衡状态，从一个表面到另一 个表面的辐射应该与相反方向的辐射相平衡。如果不这样的话，那么接收辐射多的表面就要被 加热，而另一个表面就会被冷却，这就破坏了热平衡。也就是破坏了热力学第二定理。这意味 着 BRDF 应受 Helmholtz 可逆性条件的约束。即 f( i , i ; e , e ) = f( e , e ; i , i) (6-15) 以下通过几个实例说明 BRDF 的性质和应用
1.扩展的光源 迄今为止,我们所研究的是所有光线都来自一个方向的情况。实际上可能有几个光源,甚 至有几个扩展的光源,例如天空。在扩展光源的情况下我们需要考虑光源所占的立体角。试研 究天空中一块由80和产生的小区域(图6-6)。这个小区域的面积为r2sin0,,其中r 是小区域到原点的距离,因此,这个小区域所对的立体角为:C=sinO∞设,E(O,)是 从(,9)方向来的单位立体角内的辐射。那么从所研究天空中小区域来的辐射等于: E0, di)sing, 80, p2 图66扩展的光源,这时BRDF与光源辐照度的乘积应在所有入射方向上积分 整个天空对表面的总辐照度就等于 E0=∫BQ,4) sin e, cos e, de, ds的 其中cose项是由于考虑从(O,p)方向观察时表面的投影而引入的 为求得表面的辐射率,我们必须在所有光线可能射入方向的球面上对BRDF与辐照度的乘 积作积分。因此, L(.)=厂10则)c0 上述积分中的cos1项也是由于投影造成的。积分的结果是变量θ。和ψ的函数,它们确定朝观 察者发射的射线的方向。 2.表面反射特性 (1)朗伯表面 理想漫反射表面或朗伯表面具有以下两个性质。第一,不论表面被如何辐照,在所有的观 察方向上都是呈现相同的亮度,即L是与方向无关的常数。第二,所有的入射光都被反射,并 无吸收。根据定义可推论朗伯表面的BRDF∫(O,;,ψ)应该常数。为确定这个常数可把表 面的辐射率在所有的方向作出积分,并使这样求得的总辐射M与总的辐照Eo相等。根据L的 112
112 1. 扩展的光源 迄今为止，我们所研究的是所有光线都来自一个方向的情况。实际上可能有几个光源，甚 至有几个扩展的光源，例如天空。在扩展光源的情况下我们需要考虑光源所占的立体角。试研 究天空中一块由 i和 i 产生的小区域（图 6-6）。这个小区域的面积为 r i i i 2 sin ，其中 r 是小区域到原点的距离，因此，这个小区域所对的立体角为： = sin i i i 设， E( i , i) 是 从 ( i , i) 方向来的单位立体角内的辐射。那么从所研究天空中小区域来的辐射等于： E( i i) i i i , sin 图 6.6 扩展的光源，这时 BRDF 与光源辐照度的乘积应在所有入射方向上积分 整个天空对表面的总辐照度就等于： ( ) E E i i i id idi , sin cos 2 0 0 − = (6.16) 其中 cos i 项是由于考虑从 ( i , i) 方向观察时表面的投影而引入的。 为求得表面的辐射率，我们必须在所有光线可能射入方向的球面上对 BRDF 与辐照度的乘 积作积分。因此， ( ) ( ) ( ) e e i i e e E i i i id id i L f , , ; , , sin cos 2 − 0 = (6.17) 上述积分中的 cos i 项也是由于投影造成的。积分的结果是变量 e 和 e 的函数，它们确定朝观 察者发射的射线的方向。 2. 表面反射特性 (1) 朗伯表面 理想漫反射表面或朗伯表面具有以下两个性质。第一，不论表面被如何辐照，在所有的观 察方向上都是呈现相同的亮度，即 L 是与方向无关的常数。第二，所有的入射光都被反射，并 无吸收。根据定义可推论朗伯表面的 BRDF f( i , i ; e , e ) 应该常数。为确定这个常数可把表 面的辐射率在所有的方向作出积分，并使这样求得的总辐射 M 与总的辐照 E0 相等。根据 L 的
定义(6-4)可知在方向上的do立体角内发出的光能量等于 doe= lecoseedo Le cosee sin eedeedpe 所以总辐射M等于 M=L_Jb Lsinee coseed0edde=Lr 上式中由于L是常数,所以可移到积分符号前面。移出L后余下部分的积分值为π。所以有 =M=Lx,利用这个结果,以及BRDF的定义可得朗伯表面的BRDF等于 L 1 f(O1,;0.,中)= E。M丌 其中∫是朗伯表面的双向反射分布函数,它等于常数 如果光源是辐射率为L的扩展光源。那么由(O,向)方向上的无限小立体角do1产生的辐照 dE1=L1cosO,do,利用(619式所表示的朗伯表面的BDFf(O,p;O2,)=可求得: Lr=(r)L; cos 8, do, 20) 这是朗伯表面的余弦定理 (2)理想镜面反射 理想的镜面表面以下述方式反射光线:出射角( exitant angle)O等于入射角,并且入射和 出射光线在包含法线的平面内。表面区域在(O,中)方向上反射的辐射率等于相应入射方向受到 的辐照,即: L2(029)=E(O,9)=E(O,9+z) 因此,表面形成了辐射源的虚象。根据BRDF的定义可得 Le=[-JfE, cos e, sin 0, de, do 如果使 ∫=叫(1-b)(9--x) /sine,cos (6-23) 就可满足(6.21)式所述条件。这被称为理想镜面反射的BRDF的双重δ函数形式。如果是扩展的 光源,那么(622)式可推广为: L(0,)= a(0-0),(0.--E5(0,4)m1cd sin 0. cos0 (6-24) 62反射图和辐照方程 对理解表面的反射特性来说BRDF是至关重要的,但对研究表面方向与图象影调的关系来 说直接应用BRDF是不方便的,而要应用这节中将要讨论的反射图。直接应用BRDF不便的原 因首先是定义BRDF时所用的是局部坐标系。如前所述,这些局部坐标系的Z轴是与局部表面 的法线方向重合。为了说明表面方向与图象亮度之间的关系需要采用全局坐标系。这就是以观 察者为中心的坐标系。我们先从在这样的坐标系中表面方向的合理表示方法开始。 113
113 定义(6-4)可知在 e 方向上的 d e 立体角内发出的光能量等于 d Le d Le d d e e e e e e = = cos cos sin 所以总辐射 M 等于 M = L e ed ed e = L − 0 2 sin cos (6-18) 上式中由于 L 是常数，所以可移到积分符号前面。移出 L 后余下部分的积分值为。所以有 E0 = M = L ，利用这个结果，以及 BRDF 的定义可得朗伯表面的 BRDF 等于： f ( ) L E L M i i e e , ; , = = = 0 1 (6-19) 其中 f 是朗伯表面的双向反射分布函数，它等于常数 1 。 如果光源是辐射率为 Li 的扩展光源。那么由 ( i , i) 方向上的无限小立体角 d i 产生的辐照 dEi = Li id i cos ，利用(6.19)式所表示的朗伯表面的 BRDF f ( i i e e ) , ; , = 1 可求得： Lr = ( ) Li id i 1 cos (6-20) 这是朗伯表面的余弦定理。 (2) 理想镜面反射 理想的镜面表面以下述方式反射光线：出射角（exitant angle） e 等于入射角，并且入射和 出射光线在包含法线的平面内。表面区域在 ( e , e ) 方向上反射的辐射率等于相应入射方向受到 的辐照，即： Le( e , e ) = Ei( i , i) = Ei( e , e +) (6-21) 因此，表面形成了辐射源的虚象。根据 BRDF 的定义可得： Le = − f Ei i id id i 0 2 cos sin (6-22) 如果使： f = ( i − e ) ( e i ) i i − − sin cos (6-23) 就可满足(6.21)式所述条件。这被称为理想镜面反射的 BRDF 的双重 函数形式。如果是扩展的 光源，那么(6.22)式可推广为： ( ) ( ) ( ) L e e i e e i i i , sin cos = − − − − 0 2 Ei( i i) i id id i , sin cos (6-24) 6.2 反射图和辐照方程 对理解表面的反射特性来说 BRDF 是至关重要的，但对研究表面方向与图象影调的关系来 说直接应用 BRDF 是不方便的，而要应用这节中将要讨论的反射图。直接应用 BRDF 不便的原 因首先是定义 BRDF 时所用的是局部坐标系。如前所述，这些局部坐标系的 Z 轴是与局部表面 的法线方向重合。为了说明表面方向与图象亮度之间的关系需要采用全局坐标系。这就是以观 察者为中心的坐标系。我们先从在这样的坐标系中表面方向的合理表示方法开始
621表面方向的表示 平滑的表面上每点都有切平面。这些切平面的方向可被用来表示表面在这点的方向。表面 的法线向量就是垂直于切平面的单位向量,可以用它来研究这些切平面的方向。法线向量有两 个自由度。因为一个向量有三个分量,而它们的平方和必须等于 我们所选的全局坐标系应与成象系统相固定,使一根坐标轴与成象系统的光轴对齐是较方 便的。可把坐标原点放在透镜的中心,使另外两根坐标轴与成象平面平行。为组成右手坐标系 可使Z指向图象(图67)。 图67观察者为中心的坐标系 这样,表面就可以用函数z=f(x,y)来描述。它表示点离透镜平面的垂直距离(即z坐标)随该 点(x,y)坐标变化的情形。下面我们希望用z坐标,以及z坐标对x和y坐标的偏导数来表示法 线向量。 因为法线向量垂直于切平面内所有的线,所以可用切平面内任意两个不平行向量的叉积来 求得法线向量。设想从给定点(x,y沿x轴方向移动一小步δx,按泰勒级数,在z轴上的变化 可表示为: dx+e 其中e是高次项。我们可用p和q分别表示z对x和y的一阶偏导数。因此,p是表面沿x轴方 向的斜率,q是沿y轴的斜率。(图68)。p和q与表面小区域的方向之间的关系如图6-8所示 如沿x方向位移δx,高度的变化为p6x;相似地,沿y方向位移δy,高度的变化为qδy。 114
114 6.2.1 表面方向的表示 平滑的表面上每点都有切平面。这些切平面的方向可被用来表示表面在这点的方向。表面 的法线向量就是垂直于切平面的单位向量，可以用它来研究这些切平面的方向。法线向量有两 个自由度。因为一个向量有三个分量，而它们的平方和必须等于 1。 我们所选的全局坐标系应与成象系统相固定，使一根坐标轴与成象系统的光轴对齐是较方 便的。可把坐标原点放在透镜的中心，使另外两根坐标轴与成象平面平行。为组成右手坐标系 可使 Z 指向图象（图 6.7）。 图 6.7 观察者为中心的坐标系 这样，表面就可以用函数 z = f(x, y) 来描述。它表示点离透镜平面的垂直距离（即 z 坐标）随该 点 (x, y) 坐标变化的情形。下面我们希望用 z 坐标，以及 z 坐标对 x 和 y 坐标的偏导数来表示法 线向量。 因为法线向量垂直于切平面内所有的线，所以可用切平面内任意两个不平行向量的叉积来 求得法线向量。设想从给定点 (x, y) 沿 x 轴方向移动一小步 x ，按泰勒级数，在 z 轴上的变化 可表示为： z z x = x + e 其中 e 是高次项。我们可用 p 和 q 分别表示 z 对 x 和 y 的一阶偏导数。因此，p 是表面沿 x 轴方 向的斜率，q 是沿 y 轴的斜率。（图 6.8）。p 和 q 与表面小区域的方向之间的关系如图 6-8 所示。 如沿 x 方向位移 x ，高度的变化为 p x ；相似地，沿 y 方向位移 y ，高度的变化为 q y
p dx 图68用z对x,y的一阶偏导数p,q表示表面方向 我们用向量形式把沿x轴的位移表示为(6x0p6x)2。因此,在切平面的(x,y点处有 条平行于向量x=(0p)的直线。相似地,还有一条平行于向量yy=(01q)的直线。由 这两个向量作叉积就可求得表面的法线。还没有确定的是让法线指向观察者,还是背离观察者 如果让法线向量指向观察者,则有 Yy=(p -q 1) 可把向量(Pq)称为表面的梯度( gradient of surface因为它的分量p和q分别是表面沿x和y 方向的斜率。单位向量就等于 由于观察者在z轴方向上,所以观察者方向的单位向量是(001)。我们可用向量点积求 得表面法线与透镜方向(即观察者方向)之间的夹角 我们如何来规定光源的方向呢?假设与物体大小相比,光源远离物体。我们可用固定向量 来规定光源的方向,即如果表面上有一个小区域垂直于光源来的射线,就用这个小区域的法线 向量作为光源的方向。如果这个表面的法线是(-ps-q),那么梯度(P3,q)可用来说明光 源的方向(设光源与观察者位于物体的同一边) 在以下讨论中,我们假设光源和观察者都远离被成象的物体 622反射图( Reflectance map) 为了研究图象的影调与表面方向之间的关系,首先需要一种表达工具,以便能清楚地表示 115
115 图 6.8 用 z 对 x，y 的一阶偏导数 p, q 表示表面方向 我们用向量形式把沿 x 轴的位移表示为 ( x p x) T 0 。因此，在切平面的 (x, y) 点处有一 条平行于向量 ( ) x T = 1 0 p 的直线。相似地，还有一条平行于向量 ( ) y T = 0 1 q 的直线。由 这两个向量作叉积就可求得表面的法线。还没有确定的是让法线指向观察者，还是背离观察者。 如果让法线向量指向观察者，则有： ( ) n x y p q T = = − − 1 (6-25) 可把向量 ( p, q) 称为表面的梯度（gradient of surface）。因为它的分量 p 和 q 分别是表面沿 x 和 y 方向的斜率。单位向量就等于： ( ) n n n p q p q T 0 2 2 1 1 = = − − + + (6-26) 由于观察者在 z 轴方向上，所以观察者方向的单位向量是 (0 0 1) T 。我们可用向量点积求 得表面法线与透镜方向（即观察者方向）之间的夹角 e 。 cos e p q = + + 1 1 2 2 (6-27) 我们如何来规定光源的方向呢？假设与物体大小相比，光源远离物体。我们可用固定向量 来规定光源的方向，即如果表面上有一个小区域垂直于光源来的射线，就用这个小区域的法线 向量作为光源的方向。如果这个表面的法线是 (−ps −qs ) T 1 ，那么梯度 ( ps , qs) 可用来说明光 源的方向（设光源与观察者位于物体的同一边）。 在以下讨论中，我们假设光源和观察者都远离被成象的物体。 6.2.2 反射图（Reflectance map） 为了研究图象的影调与表面方向之间的关系，首先需要一种表达工具，以便能清楚地表示
表面方向与景物亮度之间的关系,并能记录关于物体表面反射特性和光源分布的信息。这种表 达工具就是反射图。由反射图可进而建立辐照方程来说明图象亮度与表面方向间的关系。 试考虑辐射源E对朗伯表面照明的情况。景物反射产生的辐射率是: L=-Ecos8 ≥61≥0 (6-28) 其中1是表面法线与光源方向之间的夹角。因为辐射率不能是负的,所以上式中把1限制在 ≥1≥0范围内,在此范围外时辐射率将为零。取相应单位向量的点积可求得: 1+Psp+qsq cos0:= 1+p2+qy1+p3+q 把上式代入(6-28)式就可以得到景物辐射率与表面方向之间的关系。所得结果用所谓的反射图 据上两式可知在远离的点光源照射朗伯表面的情况下,引 表示。为便于在以后推导辐照方程。通常以某种方法使反射图归一化,使它的最大值为1。根 R(p, q)= 1+ Psp+qs q 1+P*+9v1+ps+qs 因此,除去一个固定的比例系数外,反射图说明了景物辐射率与表面之间的关系。反射图与物 体的表面材料的特性以及光源的几何位置有关,它可通过理论计算或实验测量得到 把表面的(Pq)作为梯度(Pq)的函数来表示是很方便的。p,q平面被称为梯度空间,空间 中的每一点都对应于一个特定的表面方向。例如,原点表示所有与观察方向垂直的平面。通常 F(Pq)是以梯度空间中的等亮度线的形式来表示的。如图69所示,在朗伯表面的情况下等亮 度线是p平面中相互环套的圆锥截面。因为N(pq)=C意味着: (++932=-(+p2+)+r2+ 上式经过整理后就可得到一组表示圆锥面的方程组。可以证明在(pq)=(P,q)处(pq) 图69朗伯表面情况下,在(Pq空间中用等亮度线形式表示的F(pq 取最大值。它位于环套的圆锥面的中央。风(P引)=0的点都沿图69中的左边的直线 另一个例子,试考虑一个在所有方向上辐射能量相等的表面(实际上这样的表面在物理上 是无法实现的。但下面将会看到对此略作修正就是可以实现的)。这样的表面在从斜的方向观察 116
116 表面方向与景物亮度之间的关系，并能记录关于物体表面反射特性和光源分布的信息。这种表 达工具就是反射图。由反射图可进而建立辐照方程来说明图象亮度与表面方向间的关系。 试考虑辐射源 E 对朗伯表面照明的情况。景物反射产生的辐射率是： L = E i i 1 2 0 cos (6-28) 其中 i 是表面法线与光源方向之间的夹角。因为辐射率不能是负的，所以上式中把 i 限制在 2 i 0 范围内， i 在此范围外时辐射率将为零。取相应单位向量的点积可求得： cosi s s s s p p q q p q p q = + + + + + + 1 1 1 2 2 2 2 (6-29) 把上式代入(6-28)式就可以得到景物辐射率与表面方向之间的关系。所得结果用所谓的反射图 表示。为便于在以后推导辐照方程。通常以某种方法使反射图归一化，使它的最大值为 1。根 据上两式可知在远离的点光源照射朗伯表面的情况下， R( p, q) 等于 R( p q) p p q q p q p q s s s s , = + + + + + + 1 1 1 2 2 2 2 因此，除去一个固定的比例系数外，反射图说明了景物辐射率与表面之间的关系。反射图与物 体的表面材料的特性以及光源的几何位置有关，它可通过理论计算或实验测量得到。 把表面的 R( p, q) 作为梯度 ( p, q) 的函数来表示是很方便的。 p, q 平面被称为梯度空间，空间 中的每一点都对应于一个特定的表面方向。例如，原点表示所有与观察方向垂直的平面。通常 R( p, q) 是以梯度空间中的等亮度线的形式来表示的。如图 6.9 所示，在朗伯表面的情况下等亮 度线是 pq 平面中相互环套的圆锥截面。因为 R( p, q) = C 意味着： (1 ) (1 )(1 ) 2 2 2 2 2 2 + ps p + qsq = c + p + q + ps + qs 上式经过整理后就可得到一组表示圆锥面的方程组。可以证明在 ( p, q) = ( ps , qs) 处 R( p, q) 图 6.9 朗伯表面情况下，在 R( p, q) 空间中用等亮度线形式表示的 R( p, q) 取最大值。它位于环套的圆锥面的中央。 R( p, q) = 0 的点都沿图 6-9 中的左边的直线。 另一个例子，试考虑一个在所有方向上辐射能量相等的表面（实际上这样的表面在物理上 是无法实现的。但下面将会看到对此略作修正就是可以实现的）。这样的表面在从斜的方向观察
