《机械控制工程基础》课程教学资源（PPT课件）第五章 系统频率响应分析

第五章 系统频率响应分析第五章系统频率响应分析.本章主要内容：5.1频率特性概述5.2频率特性的极坐标图（Nyquist图）5.3频率特性的对数坐标图（Bode图）5.4 闭环频率特性5.5最小相位系统与非最小相位系统

第五章 系统频率响应分析 第五章 系统频率响应分析 本章主要内容： ◆ 5.1 频率特性概述 ◆ 5.2 频率特性的极坐标图（Nyquist图） ◆ 5.3 频率特性的对数坐标图（Bode图） ◆ 5.4 闭环频率特性 ◆ 5.5 最小相位系统与非最小相位系统

第五章系统频率响应分析5.1频率特性概述5.1.1频率特性的概念1.频率响应线性定常系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。线性定假设系统稳定X;(t)-X;(t)G(s)常系统若输入为X, (t) = X, sinot则稳态输X,(t) = X。(o)sin[ot +Φ(o)]出信号为

第五章 系统频率响应分析 5.1 频率特性概述 5.1.1 频率特性的概念 1. 频率响应 线性定常系统对正弦输入的稳态响应称为频率 响应。 假 设 系 统 稳 定 则稳态输 出信号为 ( ) ( )sin ( ) X t X t o o = +         X (t) G(s) i X (t) i 图5.1 线性定常系统 线性定 常系统 若输入为 X t X t i i ( ) = sin

第五章系统频率响应分析x;(t) = X, sin otxo(t) = X。 sin[ot +Φ(ot)]小C0Φ(の)输出信号也是一个正弦信号，其频率与输入信号相同，但幅值和相位发生了变化，如图所示

第五章 系统频率响应分析 输出信号也是一个正弦信号，其频率与输入信 号相同，但幅值和相位发生了变化，如图所示。 x t X t i( ) = i sin x (t) X sin[ t ( t)] o = o  +  0 ox i x  () t 图5.2 系统及稳态的输入输出波形

第五章系统频率响应分析K证明：设系统的传递函数为J G(s) =Ts + 1输入信号为X, (t) = X, sinotX;0X(s)Laplace变换为$? +?KX,0输出的X (s) = G(s)X(s) =一1/T为G(s)的极点或系统微分方程的特征根因S为负值，所以系统是稳定的，随着时间的推移，即t一00时，瞬态分量迅速衰减至零。X.KX.KT@VTsin(ot - arctanT)x。(t)=一1+T?0?V1+ T稳态分量瞬态分量

第五章 系统频率响应分析 1 G( ) + = Ts K 证明：设系统的传递函数为 s 输入信号为 X t X t i i ( ) = sin 2 2 i i X X ( )   + = s Laplace变换为 s X ( ) G( )X ( ) o i s = s s +1 = Ts K 2 2 Xi   +  s 输出的 Laplace变换为 sin ( t arctan ) 1 X e 1 X x (t) 2 2 i t 2 2 i o      T T K T K T T − +  + + = − 取Laplace逆变换得 −1/T G(s) i s 为 的极点或系统微分方程的特征根， 因 为负值，所以系统是稳定的，随着时间的 推移，即t→∞时，瞬态分量迅速衰减至零。 瞬态分量 稳态分量

第五章 系统频率响应分析此时系统只剩下稳态输出X.KX.(t)=稳态输出是一sin(ot - arctan Tの)V1+ T??个与输入同频输入信号为X, (t) = X, sinot率的正弦信号2.频率特性线性系统在正弦输入作用下，X.(0)A(の) =X,其稳态输出幅值和相位随频率の的变化而变化，这恰好反映幅频特性了系统本身特性，将反映该特β(@)= -arctan To和- arctan To性的表达式X相频特性，记为称为系统的频率特性

第五章 系统频率响应分析 ( ) sin ( t arctan ) 1 2 2 i    T T X K X t o − + = 此时系统只剩下稳态输出 输入信号为 X t X t i i ( ) = sin 稳态输出是一 个与输入同频 率的正弦信号 2. 频率特性 i o X X ( ) ( )  A  = () = −arctan T  i o X X () − arctan T 线性系统在正弦输入作用下， 其稳态输出幅值和相位随频率 的变化而变化，这恰好反映 了系统本身特性，将反映该特 性的表达式 和 称为系统的频率特性，记为 幅频特性 相频特性

第五章 系统频率响应分析3.频率特性与传递函数的关系设描述系统的微分方程为a.x(t)+ an--xg-)(t)+...+ a,x。(t)+ax.(t) =bmx(m)(t)+ bm-1x(m-1) + ..+ b,x;(t)+ b。x;(t)msm +bm-ism-l +...+b,s+b.X.(s)b.传递函数为 G(s)X,(s)a,s" +an-isn-l +...+a,s+a.当输入信号为正弦信号，即 x;(t)=X,sinotX,0X.(s)Laplace变换为s? +0?

第五章 系统频率响应分析 3. 频率特性与传递函数的关系 a x (t) + a − x (t) + + a1 xo (t) + a o xo (t) = (n-1 ) n 1 o (n) n o   b x (t) b x b x (t) b x (t) 1 i o i (m 1) m 1 i (m) m i + + + + − −   1 o n 1 n 1 n n 1 o m-1 m 1 m m i o a a a a b b b b X ( ) X ( ) G( ) + + + + + + + + = = − − − s s s s s s s s s   x (t) X sin t i = i  设描述系统的微分方程为 传递函数为 当输入信号为正弦信号，即 2 2 i i X X ( )   + = s Laplace变换为 s

第五章 系统频率响应分析n-sm-l +...+b,s+b。 X,obmsm +bmX.(s) = G(s)X,(s)a,s" +an-,sn-l +...+a,s+a. s? +oBB若系统无重极点，则X。(s)=>S-10s+ J0S-S:i=1 其中，S;为系统特征方程的根；A、B、B(B*为B的共轭负数)为待定系数。对上式进行Laplace逆变换可得系统的输出为X.(t)-A,est +(Bejot +B*e-jat)i=1对稳定系统而言，系统的特征根S：均具有负实部当t一→8时，将衰减为零

第五章 系统频率响应分析 ) j B j B ( A X ( ) n * i 1 i i o  +  + − + − == s s s s 若系统无重极点，则 s = − = + + n i 1 s t j t * j t o i x (t) A e (Be B e ) i   2 2 i 1 o n 1 n 1 n n 1 o m-1 m 1 m m o i X a a a a b b b b X ( ) G( )X ( )   + + + + + + + + + = = − − − s s s s s s s s s s   i s A B B (B B * * i 、 、 为 的共轭负数)为待定系数。对上式进行Laplace逆 变换可得系统的输出为 其中， 为系统特征方程的根； 对稳定系统而言，系统的特征根 均具有负实部, 当t→∞时，将衰减为零。 i s

第五章 系统频率响应分析则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态响应为X。(t) = Bejot + B*e-jot若系统含有k个重极点，则x。(t)将含有tesjt(k=1，2，.….，k-1)这样一系列项。对于稳定的系统，由于s;的实部为负，t的增长没有e't的衰减快。所以tkesjt 的各项随着t一→oo也都趋于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有重极点，其稳态响应都如上式所示

第五章 系统频率响应分析 j t * j t o x (t) Be B e  −  = + 则上式只剩下其稳态分量，故系统的稳态 响应为 x (t) o t j t e k s i s k t t j e s t j t e k s 若系统含有k 个重极点，则 将含有 (k=1，2，.，k-1)这样一系列项。对于稳定的 系统，由于 的实部为负， 的增长没有 的衰减快。所以 的各项随着t→∞也都趋 于零。因此，对于稳定的系统不管系统是否有 重极点，其稳态响应都如上式所示

第五章 系统频率响应分析待定系数B和BX;0B=G(s)(s- jo)(s+ j)X0G(jの)lei<G(jo) . X,Xi[s=jo= G(jの).G(s2j2js+ joG(jo)le-j<G(jo) . X;BG(-jo)s=jo-2j-2j则系统的稳态响应为ej[at+ZG(jo)] - e-j[at+ZG(j0)]X.(t) =IG(j)/X2j=|G(jの)IX,sin[ot + ZG(jの)]

第五章 系统频率响应分析 待定系数 * B和B 2j X G(j ) e 2j X G(j ) j X G( ) ( j ) ( j )( j ) X B G( ) i j G( j ) i j i j i =  =  + = − − + =  = =            s s s s s s s s * B 2j X G(j ) e 2j X G( j ) i j G(j ) i j − =  − = −  −  =  s    | G(j ) | X sin[ t G(j )] 2j e e x (t) |G(j ) | X i j[ t G( j )] j[ t G( j )] o i         = +  − = + − + 则系统的稳态响应为

第五章 系统频率响应分析根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为X.()G(jの)A(の) =X;p(の) = ZG(jの)故G(jの)=|G(jo)lei<G(jo)就是系统的频率特性它是将取伐后的结果，是的复中(的s用变函数

第五章 系统频率响应分析 根据频率特性的定义可知，系统的幅频特 性和相频特性分别为      =  = = ( ) G(j ) | G(j )| X X ( ) ( ) i o      A  j G( j ) G(j ) G(j )e     = G(s) j  故 就是系统的频率特性， 它是将 中的s用 取代后的结果，是 的复 变函数