第三章系统的数学模型第三章系统的数学模型本章主要内容：3.1系统的微分方程3.2系统的传递函数3.3系统方块框图及其简化3.4输入和干扰同时作用下系统传递函数
第三章 系统的数学模型 第三章 系统的数学模型 本章主要内容： ◆ 3.1系统的微分方程 ◆ 3.2 系统的传递函数 ◆ 3.3 系统方块框图及其简化 ◆ 3.4 输入和干扰同时作用下系统传递函数
第三章系统的数学模型3.1系统的微分方程3.1.1建立微分方程的基本步骤（1）确定系统或各组成元件的输入、输出量。（2）根据运动规律和物理定律，列写出信号在传递过程中各环节的动态微分方程（3）按照系统的工作条件，对已建立的原始动态微分方程进行数学处理，并考虑相邻元件间是否存在负载效应。（4）消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的输入、输出量之间关系的微分方程（5）整理所得的微分方程
第三章 系统的数学模型 3.1 系统的微分方程 3.1.1 建立微分方程的基本步骤 （1）确定系统或各组成元件的输入、输出量。 （2）根据运动规律和物理定律，列写出信号在 传递过程中各环节的动态微分方程。 （3）按照系统的工作条件，对已建立的原始动 态微分方程进行数学处理，并考虑相邻元件间 是否存在负载效应。 （4）消除所列动态微分方程的中间变量，得到 描述系统的输入、输出量之间关系的微分方程。 （5）整理所得的微分方程
第三章系统的数学模型3.1.2机械系统的微分方程在机械系统中，有些部件具有较大的惯性和刚度，而另一些部件则惯性较小、柔性较大。我们将前一类部件的弹性忽略，将其视为质量块：而把后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的弹簧。机械系统可抽象为质量一弹簧一阻尼系统通过牛顿第二定律将质量一弹簧一阻尼系统中的运动（位移、速度和加速度）与力联系起来，建立机械系统的动力学方程，即机械系统的微分方程
第三章 系统的数学模型 3.1.2 机械系统的微分方程 在机械系统中，有些部件具有较大的惯性和 刚度，而另一些部件则惯性较小、柔性较大。我 们将前一类部件的弹性忽略，将其视为质量块； 而把后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的 弹簧。机械系统可抽象为质量—弹簧—阻尼系统。 通过牛顿第二定律将质量—弹簧—阻尼系统 中的运动（位移、速度和加速度）与力联系起来， 建立机械系统的动力学方程，即机械系统的微分 方程
第三章系统的数学模型例3一1组合机床动力滑台铣平面时的情况。工件动力滑台f.(t)mf(t)CCF=ma解根据牛顿第二定律d’y。(t)dy.(t)可得f.(t) -ky.(t)dt?dtd'y.(t)dy.(t) + ky(t) = f(t)得降幂排列，mdt?dt
第三章 系统的数学模型 例3－1 组合机床动力滑台铣平面时的情况。 ( ) 0 y t ( ) 0 y t m c f (t) i f (t) i c 工件 动力滑台 可得 2 2 d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) t y t k y t m t y t f t c o o o i − − = 降幂排列，得 ( ) ( ) d d ( ) d d ( ) 2 2 k y t f t t y t c t y t m o i o o + + = 解 根据牛顿第二定律 F = ma
第三章系统的数学模型例3一2 机械位移系统由弹簧K、质量块m、阻的作用下，质尼器c所组成。试写出在外办t)量块m的位移)的运动方程F(t)输入变量F(t)NK输出y。(t)y。(t)变量x(t)x(t)cdx(t)Kx(t)Cdtd'x(t)dx(t)解Kx(t) =mF(t)-dt?dt
第三章 系统的数学模型 K c y (t) o x(t) F(t) F(t) y (t) o x(t) t x t c d d ( ) Kx(t) 例3－2 机械位移系统由弹簧K、质量块m、阻 尼器c所组成。试写出在外力 的作用下，质 量块m的位移 的运动方程。 F(t) x(t) 输入变量 输出 变量 2 2 d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) t x t Kx t m t x t 解 F t − c − =
第三章系统的数学模型d'x(t)dx(t)Kx(t) = mFtdt?dtd?x(t)dx(t)+ Kx(t) = F(t)mCdt?dt1c令T=/m/K2ET = c/Kk===K2/mkd’x(t)dx(t)+2ET+ x(t) = kF(t)dt?dtT称为时间常数，单位为秒，5为阻尼比。显然式中描述的质量块m的位移x(t）的运动方程是一个二阶线性定常微分方程
第三章 系统的数学模型 为阻尼比。 令 ( ) ( ) d d ( ) d d ( ) 2 2 Kx t F t t x t c t x t m + + = T = m K 2T = c K K k 1 = mk c 2 = ( ) ( ) d d ( ) 2 d d ( ) 2 2 2 x t k F t t x t T t x t T + + = T称为时间常数，单位为秒， 显然式中描述的质量块m的位移 的运动 方程是一个二阶线性定常微分方程x(t) 2 2 d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) t x t Kx t m t x t F t − c − =
第三章系统的数学模型例3一3 试列写图(a)所示的齿轮系的运动方程图中齿轮1和齿轮2的转速、齿数和半径分别用のZ和の2、2；表示其粘性摩擦系数及转动惯量分别是fi、J,和f2、J,；齿轮1和齿轮2的原动转矩及负载转矩分别是M㎡M,和M2、M。。MO,M022,M,(b)(a)齿轮系
第三章 系统的数学模型 例3－3 试列写图(a)所示的齿轮系的运动方程。 图中齿轮1和齿轮2的转速、齿数和半径分别 用 、 、 和 、 、 ； 表示其粘性摩擦系数 及转动惯量分别是 、 和 、 ；齿轮1和齿轮 2的原动转矩及负载转矩分别是 、 和 、 。 1 1 z 1 r 2 2 z 2 r 1 f 1 J 2 f 2 J Mm M1 M2 Mc Mm , 1 1 f 1 1 z ,M 2 2 z ,M 2 Mc 2 f 1 f 1 z 2 z 2 (a) (b) 齿轮系 2 J J 1 J
第三章系统的数学模型解：在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率亦相同，因此M,, = M,02Or =O,r2=齿数与半径成正比，即r2Z2可得 =M =M,22Z2齿轮1的运动方程为da1 + fio, + M, = Mdt
第三章 系统的数学模型 1 2 1 2 z z = 2 2 1 1 M z z 可得 M = 解：在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相 同，传送的功率亦相同，因此 M1 1 = M2 2 1 1 2 2 r = r 齿数与半径成正比，即 2 1 2 1 z z r r = M Mm f t J + 1 1 + 1 = 1 1 d d 齿轮1的运动方程为
第三章系统的数学模型齿轮2的运动方程为do2+f0, +M.=Mdt可得消去中间变量，doM.=MJ7dtJ2M =M +则得齿轮系微分方程为dai + fo, + M= M,dt
第三章 系统的数学模型 消去中间变量，可得 + + + = + 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 d d z z f M z z f t J z z M J m c 2 2 2 1 1 J z z J J = + 2 2 2 1 1 f z z f f = + = 2 1 z z 令 M Mc 则得齿轮系微分方程为 M Mm f t J + 1 + = 1 d d 2 2 2 2 2 d d f M M t J + + c = 齿轮2的运动方程为
第三章系统的数学模型例3一4 图(a)表示了一个汽车悬浮系统的原理图，试求汽车在行驶过程中的数学模型m质心x.(t)车体.(t(a)(b)
第三章 系统的数学模型 例3－4 图(a)表示了一个汽车悬浮系统的原理 图，试求汽车在行驶过程中的数学模型。 (a) (b) 质心 车体 m k c ( ) 0 x t x (t) i P